1、1.1 一個簡單例子證明存在兩個無理數(shù)，使是有理數(shù)1傳統(tǒng)證明方法是，假設(shè)對于任何兩個無理數(shù)，都有是無理數(shù)。那么就有一定是無理數(shù)，進而也是無理數(shù)，而是有理數(shù)，所以假設(shè)不成立而我們?nèi)绻?，我們已知和都是無理數(shù)，此時是有理數(shù)，問題得證。上面這個問題中我們用到的第二種方法就是中學(xué)中常用的構(gòu)造法。構(gòu)造法的發(fā)展歷史到底什么是構(gòu)造法呢？構(gòu)造法就是按照固定方式，經(jīng)過有限步驟能夠?qū)崿F(xiàn)的方法。引用韋爾（H.Weyl）在數(shù)學(xué)的思維方式一文中的一句話“當(dāng)數(shù)學(xué)家們轉(zhuǎn)向抽象時，有一件最為門外漢所不能理解的事情，那就是直覺的圖像必須被轉(zhuǎn)化為一種符號構(gòu)造?！?這表明構(gòu)造法從數(shù)學(xué)產(chǎn)生時就已經(jīng)存在，因為數(shù)學(xué)發(fā)展所必須具備的數(shù)學(xué)符

2、號就是用來構(gòu)造對象的。除此之外，數(shù)學(xué)最初的定義有很多都是構(gòu)造性的定義，比如：將線段繞其一個端點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，它的另一端點所畫出的圖形叫圓。構(gòu)造法起源于數(shù)學(xué)之初，但它的發(fā)展是在19世紀(jì)末。19世紀(jì)末，克羅內(nèi)克和龐加萊基于數(shù)學(xué)的可信性，提出了“存在必須是被構(gòu)造的”觀點，創(chuàng)立了早期的直觀數(shù)學(xué)學(xué)派。但是他們把直觀數(shù)學(xué)推崇到極致，反對一切非構(gòu)造性數(shù)學(xué)內(nèi)容，搞得數(shù)學(xué)復(fù)雜難懂。隨后馬爾科夫提出算法數(shù)學(xué)，把一切數(shù)學(xué)概念歸結(jié)為一個基本概念算法的構(gòu)造性方法。但是算法數(shù)學(xué)以遞歸函數(shù)為基礎(chǔ)，大部分人同樣難以理解。直到1867年美國數(shù)學(xué)家比肖泊發(fā)表構(gòu)造性分析一書，擺脫了算法數(shù)學(xué)對遞歸函數(shù)的依賴，宣告現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)的形

3、成。時至今日，構(gòu)造法不僅開創(chuàng)了組合數(shù)學(xué)、計算機科學(xué)等新領(lǐng)域，而且在數(shù)值分析，拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域也大有用武之地。31.3 中學(xué)數(shù)學(xué)需要數(shù)學(xué)構(gòu)造法除了高等數(shù)學(xué)，現(xiàn)在的中學(xué)階段對于構(gòu)造法也是相當(dāng)重視的。高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中就明確規(guī)定了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅包括數(shù)學(xué)內(nèi)容，數(shù)學(xué)語言，更重要是數(shù)學(xué)思想、方法。 在高中數(shù)學(xué)解題過程里，我們常常會遇到無從下手、常規(guī)的方法不能快速、有效解決的問題，這時我們可以另辟蹊徑，利用這種特殊的數(shù)學(xué)方法嘗試解決問題構(gòu)造法。運用構(gòu)造法解題常常是因為我們常規(guī)思維定式探求解題思路受阻，這時我們根據(jù)題設(shè)特點，用已知元素和關(guān)系式構(gòu)造一個新的數(shù)學(xué)形式，如：函數(shù)、方程、圖形等，這樣可以繞過阻礙，得到解題的思

4、路和方法。中學(xué)階段應(yīng)用構(gòu)造法時所需要構(gòu)造的新的數(shù)學(xué)形式很多，包括構(gòu)造圖形、構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造命題、構(gòu)造向量類、構(gòu)造特殊模型等。我們就上面七種構(gòu)造形式來一一探究，熟悉構(gòu)造法解題過程中運用的構(gòu)造技巧，以及構(gòu)造法解題的本質(zhì)，對問題的化歸。代數(shù)是數(shù)字和文字的組合，但是這并不代表代數(shù)和圖形完全沒有關(guān)系，對于一些代數(shù)的問題，我們?nèi)绻芡ㄟ^途徑構(gòu)造相應(yīng)的圖形，此時解題過程便十分直觀、清晰。 已知求證：.4因為所以，證明：構(gòu)造如圖的直角三角形，根據(jù)定理，三角形兩邊之和大于第三邊，所以，而，所以綜上所述，上面這個問題因為出現(xiàn)了形如的式子，所以我們想到構(gòu)造一個直角三角形，如果題目中沒有給出這么明顯

5、的唯一特征，我們能不能構(gòu)造呢？正數(shù)，滿足條件，求證：由求證的不等式，我們想到這是不是和面積有關(guān)，于是我們構(gòu)造一個三角形，并且題干中證明：構(gòu)造一個如圖的等邊三角形，其中各個邊角的關(guān)系如下，考慮圖形中的面積關(guān)系，有，又，帶入，得+<,整理得：.5上面得解題方法中利用了三角形的面積公式，不等式兩邊的都是，所以約掉，最后化簡到的形式?？紤]到面積更為簡單的形式可以是長方形的面積，此時我們可以構(gòu)造一個矩形，又，我們不妨構(gòu)造一個如圖1.3的正方形.方法二，證明：構(gòu)造一個如圖所示的正方形PQRT，其中各邊關(guān)系如下，又正方形有如下關(guān)系，帶入數(shù)據(jù)得。雖然數(shù)與形是數(shù)學(xué)中不同的領(lǐng)域，但是這兩個領(lǐng)域不是相互獨立的

6、。解題中亦是如此，如果在數(shù)學(xué)問題中我們給一些代數(shù)關(guān)系賦予幾何意義，那么問題往往變得形象、直觀。當(dāng)然在利用圖形直觀分析解決問題時，我們構(gòu)造的圖形也有簡單復(fù)雜之分，所以構(gòu)造圖形時我們要注意一點，構(gòu)造幾何圖形要有正確的思考方法，不能盲目去套用圖形。從上面兩個問題中我們可以簡單總結(jié)一下思考原則：首先尋找題目中的條件與所求結(jié)論中的幾何含義，然后考慮可以借用哪些有關(guān)的幾何概念和性質(zhì)，最后根據(jù)這些選擇一個最好的幾何圖形。方程作為數(shù)學(xué)解題中一個很重要的工具，是因為方程能把未知和已知聯(lián)系在一起。遇到一些無從下手的問題時，構(gòu)造方程可以把條件和結(jié)論之間聯(lián)系起來，使問題中隱藏的關(guān)系顯露出來，從而快速找到問題的突破口，

7、進而解決問題。例2.1 若，且，求證：題干中給出的是的具體值，要求的結(jié)論是的取值范圍，我們嘗試由出發(fā)，有，此時出現(xiàn)了要求的，但是多出來了，我們不妨利用方程，把解出來,這是和顯然是方程的兩個根，于是題目隱藏的關(guān)系暴露出來，解題思路也由此而生。證明：由，有，顯然，設(shè)，則構(gòu)造二次方程，則為方程的兩個實根故，解得，即 上面的過程中構(gòu)造了一個方程，然后我們要求的的取值范圍就變成了，二次方程有實根，解一個判別式大于等于零的不等式。例2.2 已知，滿足和，求證：中至少有一個不小于2。6和例2.1中類似，我們可以通過構(gòu)造方程來發(fā)現(xiàn)隱藏的關(guān)系。證明：由，顯然中至少有個大于零，不妨設(shè)，則，構(gòu)造二次方程，則為二次方

8、程的兩個實根，故，即，又，解得， 上面兩個問題都是通過構(gòu)造二次方程，發(fā)現(xiàn)題目已知與結(jié)論之間的關(guān)系，然后利用二次方程的判別式解決問題。其實還有一種情況，題目中結(jié)論形式與二次方程的判別式極為相似，此時我們需要構(gòu)造二次方程，從而使用二次方程的判別式。我們不妨把這類構(gòu)造方程方法稱作構(gòu)造判別式法。例2.3 設(shè)，且，這時要求證： 這個問題我們?nèi)绻苯油ㄟ^不等式方法去證明，難免會有些繁瑣，但是如果我們仔細(xì)思考不等式的形式，就會發(fā)現(xiàn)這和，即有類似之處，于是我們需要做得就是構(gòu)造一個有實根的二次方程，因此解題思路就出現(xiàn)了。證明：構(gòu)造方程因為，所以構(gòu)造的方程是二次方程，又把帶入發(fā)現(xiàn)滿足方程，故為方程一實根，所以二次

9、方程判別式，代入數(shù)據(jù)，即有的時候，題干中不一定出現(xiàn)了判別式的形式，這時候要靠我們化簡來發(fā)現(xiàn)構(gòu)造方程的前提。例2.4 設(shè)，求證：.7由于不等式中沒有出現(xiàn)判別式的形式，所以我們第一步需要構(gòu)造一個判別式的形式，因為，所以我們在不等式兩邊同乘以，就出現(xiàn)了判別式的形式，解題思路便隨之而來。證明：因為，所以有，構(gòu)造方程，方程經(jīng)過配方，化簡為，顯然方程至多有一個實根，此時，代入數(shù)據(jù)，即也就是從這兩個例子中，我們看到構(gòu)造判別式法其實也需要構(gòu)造方程，只是這里構(gòu)造二次方程有一定技巧，要結(jié)合結(jié)論要證明的不等式構(gòu)造二次方程，還要確保二次方程有（或者沒有）實根。無論是一般的構(gòu)造方程法還是特殊的構(gòu)造判別式法，我們主體思路

10、就是利用方程思想把題目中要證明的未知結(jié)論和題干中已知結(jié)合起來，如果是二次方程，一般利用判別式進行解答。函數(shù)作為中學(xué)階段最重要的一個領(lǐng)域之一，是因為數(shù)學(xué)中存在大量的函數(shù)關(guān)系。如果我們研究的問題本質(zhì)上屬于函數(shù)關(guān)系，那么我們可以構(gòu)造一個（或多個）由已知條件構(gòu)成的函數(shù)模型，通過研究函數(shù)的性質(zhì)，進而解決要求的結(jié)論。例3.1 求證：這是個帶有絕對值的不等式，但是如果真的直接利用絕對值性質(zhì)去證明，短時間內(nèi)也無法下手。我們不妨整體把握，發(fā)現(xiàn)不等式中有一個我們常見的基本函數(shù)模型的身影，即，于是我們的解題思路就從的性質(zhì)出發(fā)。證明：構(gòu)造函數(shù)，同時，易知在上是遞增的，因為，所以，即上面構(gòu)造函數(shù)之后利用了函數(shù)的單調(diào)性來

11、證明不等式，當(dāng)然我們有時候還需要利用函數(shù)的其他性質(zhì)。例 3.2 解方程 8解這個復(fù)雜的方程看似無從下手，但注意到方程中與有相同的結(jié)構(gòu)，我們構(gòu)造函數(shù)，則原方程就轉(zhuǎn)化為了，這時我們想到只要函數(shù)為奇函數(shù)且單調(diào)，此題就可以快速解決，于是我們要研究的就是的單調(diào)性和奇偶性。解：構(gòu)造函數(shù)，原方程化為顯然，為奇函數(shù)下面證明具有單調(diào)性：設(shè)（1） 若，則所以 （2） 若，因為，所以，又，所以 （3） 若，顯然有，所以 由（1）（2）（3）可知，在上是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以原方程等價于即 ，解得 上面的例子中，我們觀察題目中的形式共同點，然后構(gòu)造了一個基本函數(shù)，然后通過研究這個函數(shù)單調(diào)性或奇偶性，來完成對結(jié)論的證明。

12、還有一些特殊情況，我們成功構(gòu)造函數(shù)后，利用的并不是函數(shù)單調(diào)性或是奇偶性，而是根據(jù)恒等式性質(zhì)來完成結(jié)論的證明。我們可以把這種特殊的構(gòu)造函數(shù)法稱作構(gòu)造恒等式法，下面兩個問題的解答就是利用了構(gòu)造恒等式法。 已知是互不相等的實數(shù)，求證：如果把式子左邊展開來證，顯然是非常復(fù)雜繁瑣的，注意到互不相等這一特點，我們可以構(gòu)造一個函數(shù)證明這個問題。證明：構(gòu)造函數(shù)由互不相等知，也互不相等，顯然是關(guān)于的不超過二次的函數(shù)，而，即恒成立也就是恒成立同樣的問題：已知是互不相等的實數(shù)，求證：和例3.3一樣，直接展開左式來證是十分復(fù)雜的，我們還是構(gòu)造一個函數(shù)來證明結(jié)論，不過這次構(gòu)造的函數(shù)需要一些技巧，要綜合式子左右兩邊來考慮

13、構(gòu)造的函數(shù)。證明：構(gòu)造一個函數(shù)，顯然是關(guān)于的不超過二次的函數(shù)，對于，帶入函數(shù)，有，故恒成立即恒成立令，帶入上式，得綜合構(gòu)造恒等式法，我們把構(gòu)造函數(shù)法所應(yīng)用的地方加以擴展，包括：不等式證明，方程的求解，以及恒等式的證明。運用構(gòu)造方程法我們必須要做的是根據(jù)題目中給出的形式共同點，需找其函數(shù)本質(zhì)，然后構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性，奇偶性，特殊的如恒等性）進行研究，以獲得解答最終問題的所需的目的性質(zhì)。細(xì)數(shù)最近幾年高考有關(guān)數(shù)列的綜合問題，一般考察數(shù)列問題所給出的數(shù)列不會是一般的等差、等比數(shù)列，這時候需要我們根據(jù)題目要求，構(gòu)造出一個特殊數(shù)列（等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)列或者是單調(diào)數(shù)列），9利用這些數(shù)列的性

14、質(zhì)，來解決有關(guān)計算或證明。 設(shè)，證明：拿到問題，第一時間想到的是，這個問題和上面提到的構(gòu)造函數(shù)法有雷同地方。但是數(shù)列和函數(shù)是有區(qū)別的，我們這時候可以構(gòu)造兩個數(shù)列，通過單調(diào)性來考慮證明最后的不等式。證明：構(gòu)造數(shù)列，因為，即為遞增數(shù)列且，故，即，也就是再構(gòu)造數(shù)列，即為遞減數(shù)列，且故，即，也就是綜上可知，當(dāng)然，構(gòu)造數(shù)列法不僅僅局限為數(shù)列問題中，除了在數(shù)列問題里構(gòu)造一個新數(shù)列，一些與自然數(shù)有關(guān)的問題，我們也是可以通過數(shù)列（數(shù)組）來求解的。例4.2 已知為兩兩各不相同的正整數(shù)，證明：為正整數(shù)，這和不等式右邊的有相似之處，我們可以通過構(gòu)造一個數(shù)列，來將左右兩邊聯(lián)系起來。證明：構(gòu)造兩個數(shù)列：，由柯西不等式，

15、有又題目中有，為兩兩各不相同的正整數(shù)，所以的一個最小取法為：，反過來，的一個最大取法為：即綜合柯西不等式，知由這個問題，我們看到與自然可數(shù)有關(guān)的問題，是可以通過構(gòu)造數(shù)列來簡化形式的。和構(gòu)造函數(shù)相似，最終都是通過研究數(shù)列的性質(zhì)，來完成求解或證明。在解答數(shù)學(xué)問題時，如果缺乏現(xiàn)成的依據(jù)，使我們不能從條件簡單迅速得到結(jié)論，那么我們不妨構(gòu)造一個與原命題基本等價的輔助命題，這樣只要輔助命題得證，原命題自然得證，一般把這種方法稱作構(gòu)造輔助命題法。例5.1 設(shè)，且，求證：10要證明，即要證，因為， 所以，而條件中，有，即這是我們根據(jù)條件能夠完成的步驟，這距離結(jié)論還有，我們是不是可以分兩步來證明。若能證明，則必

16、有，若還能證明，則必有，由此命題得證。證明：構(gòu)造一個待證的輔助命題：若，證明：，且任何自然數(shù)均可表示為1、若，則于是他們都不是7的整數(shù)倍，即，2、若，則于是，同樣不是7的整數(shù)倍，即，3、若，則于是，同樣都不是7的整數(shù)倍，即，4、若，則于是，也都不是7的整數(shù)倍，即，綜上，我們輔助命題得到證明，。再由題目知， 所以，而條件中，有，即，輔助命題中我們證明了，因此也就是我們對于一些運用數(shù)學(xué)歸納法證明的結(jié)論，在從這一步驟時往往需要利用放縮來從等式轉(zhuǎn)化到不等式，但是存在的問題就是，題目中沒有給我們放縮的條件，也就是不等式?jīng)]有上限或者下限，這時我們就要考慮是不是題目的結(jié)論太弱了，我們可不可以構(gòu)造一個命題的加

17、強命題。所謂一個命題的加強命題，是指它的結(jié)論是原命題結(jié)論的充分條件。我們可能存在一個思維定勢，一個命題的加強命題不是應(yīng)該比這個命題更難解決嗎?一般是這樣，但有時也并非如此。例 5.2 設(shè)，定義，求證：對于一切，有因為，則，但若利用數(shù)學(xué)歸納法證明，設(shè)當(dāng)，則很難推出，因為，我們僅從是不能求出大于多少的，但是如果原來小于一個數(shù)，那么由我們就可以知道大于多少了。又，于是我們構(gòu)造一個加強命題：對于一切，有，這樣就可以用數(shù)學(xué)歸納法來解決了。證明：我們構(gòu)造一個加強命題：設(shè)，定義，求證：對于一切，有我們利用數(shù)學(xué)歸納法來證明加強命題：（1）當(dāng)時，由知，所以當(dāng)時命題成立（2）假設(shè)當(dāng)時，有成立，則當(dāng)時，還有，所以時

18、命題也成立由（1）（2）知對于一切，有成立加強命題得證，同樣原命題也得證向量有其幾何意義，但又有著代數(shù)的運算性質(zhì)，所以它注定是幾何和代數(shù)之間的橋梁，這也是向量最近幾年在中學(xué)崛起的原因。向量不僅在解析幾何、立體幾何中的重要作用，有些看似與向量無關(guān)的問題，也可以通過構(gòu)造向量來解決。引入向量我們可以通過其幾何意義或者運算性質(zhì)，將問題化繁為簡，看清問題的本質(zhì)，迅速解決問題。 已知函數(shù)的最大值為，最小值為，求的值拿到這一道題的一般解法應(yīng)該是平方法，這樣一來將這個函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式，然后研究復(fù)合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)在定義域上性質(zhì)，求出最大值和最小值。這里涉及到是函數(shù)最值問題，看似與向量無關(guān)，但是仔細(xì)觀察函數(shù)的解析

19、式，我們能不能通過向量的坐標(biāo)形式把解析式簡化呢？于是我們可以構(gòu)造兩個向量，原來的解析式化簡為，我們要求的就是，思路很清楚了，就是利用數(shù)形結(jié)合思想來解決問題。解：構(gòu)造兩個向量，原來的解析式化簡為，又， ，帶入解析式得到，我們根據(jù)向量的幾何意義及特點，知道表示的是半徑為2的圓，于是得到圖形6.1：當(dāng)時，當(dāng)時，所以要求的除了運用到向量的坐標(biāo)表示，很多時候我們還需要用到向量的一個重要性質(zhì)：例 6.2 已知，并且，求證：我們由已知 （1）化簡得即 （2）從（1）（2）兩個等式我們發(fā)現(xiàn)可以組合為結(jié)論所需的形式，于是我們構(gòu)造兩個向量，然后利用向量的性質(zhì)，問題迎刃而解。證明：由已知可得構(gòu)造向量，由，那么帶入得

20、即，故這類問題的解題步驟，一般是構(gòu)造向量，然后利用向量的性質(zhì)解決問題。其實復(fù)數(shù)也有類似性質(zhì)，又因為復(fù)數(shù)在幾何意義和代數(shù)運算上與向量有很多相似之處，所以我們把構(gòu)造復(fù)數(shù)法并入構(gòu)造向量法中，統(tǒng)稱為構(gòu)造向量類。例 6.3 設(shè)，且，求證：11顯然這個問題直接平方來做會有一定的運算量，我們?nèi)绻軌蚯擅顦?gòu)造兩個復(fù)數(shù)那么是不是能使問題迅速解決呢？又問題中與復(fù)數(shù)的模形式類似，于是我們構(gòu)造的復(fù)數(shù)為，這樣一來，答案很容易得到。證明：構(gòu)造兩個復(fù)數(shù)，則由，帶入得即也就是結(jié)論得證2.7 構(gòu)造特殊模型其實以上所有構(gòu)造法都可以視作構(gòu)造模型，比如構(gòu)造圖形模型，構(gòu)造函數(shù)模型，構(gòu)造方程模型等。下面介紹兩個特殊的模型，通過構(gòu)造特殊模

21、型，我們把抽象的純數(shù)學(xué)問題巧妙轉(zhuǎn)換為易解的實際問題。 已知是正整數(shù)，求滿足的正整數(shù)解的對數(shù)關(guān)于不定方程解的個數(shù)是大學(xué)組合數(shù)學(xué)里涉及的內(nèi)容，但是在高中數(shù)學(xué)里我們完全可以通過構(gòu)造模球、放球、插空等模型來解決這類問題。解：方程的解可以轉(zhuǎn)化為這樣的模型：有9個完全相同的球，放入4個盒子內(nèi)，要求每個盒子內(nèi)必須有球，有多少種不同放法？為了求這種模型的放法，我們再次構(gòu)造模型：有9個完全相同的球并排放置，我們需要插5個空，每兩個空之間球的個數(shù)代分別表4個盒子中球的個數(shù)。12其中A，B兩個空必須選中，所以就相當(dāng)于從剩下的8個空里選取3個空于是這種插空法就共有種，也就是我們的答案，滿足的正整數(shù)解的對數(shù)有對例 7.2 的三個內(nèi)角都是的整數(shù)倍，且三個內(nèi)角不全相等，這樣的三角形有多少個？由三角形內(nèi)角和為，