1、利用三角形的中線來構造全等三角形（倍長中線法）倍長中線法：即把中線延長一倍，來構造全等三角形。圖1GCFBAED1、如圖1，在ABC中，AD是中線，BE交AD于點F，且AEEF試說明線段AC與BF相等的理由簡析由于AD是中線，于是可延長AD到G，使DGAD，連結BG，則在ACD和GBD中，ADGD，ADCGDB，CDBD，所以ACDGBD（SAS），所以ACGB，CADG，而AEEF，所以CADAFE，又AFE BFG，所以BFGG，所以BFBG，所以ACBF說明要說明線段或角相等，通常的思路是說明它們所在的兩個三角形全等，而遇到中線時又通常通過延長中線來構造全等三角形利用三角形的角平分線來構

2、造全等三角形法一：如圖，在ABC中，AD平分BAC。在AB上截取AE=AC，連結DE。（可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻折三角形來構造全等三角形。） 法二：如圖，在ABC中，AD平分BAC。延長AC到F，使AF=AB，連結DF。(可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻折三角形來構造全等三角形。)法三：在ABC中，AD平分BAC。作DMAB于M，DNAC于N。(可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻折三角形來構造全等三角形)（還可以用“角平分線上的點到角的兩邊距離相等”來證DM=DN）2、已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是ABC的角平分線，AD=CD，求證：A+C=180°法一：證

3、明：在BC上截取BE，使BE=AB，連結DE。 法二：延長BA到F，使BF=BC，連結DF。 BD是ABC的角平分線（已知） BD是ABC的角平分線（已知）1=2（角平分線定義） 1=2（角平分線定義）在ABD和EBD中 在BFD和BCD中 AB=EB（已知） BF=BC（已知）1=2（已證） 1=2（已證） BD=BD（公共邊） BD=BD（公共邊）ABDEBD（） BFDBCD（）A3（全等三角形的對應角相等）FC（全等三角形的對應角相等AD=DE（全等三角形的對應邊相等）DF=DC（全等三角形的對應邊相等） AD=CD（已知），AD=DE（已證） AD=CD（已知），DF=DC（已證）D

4、E=DC（等量代換）DF=AD（等量代換）4=C（等邊對等角） 4=F（等邊對等角）3+ 4180° （平角定義）， FC（已證）A3（已證） 4=C（等量代換）A+ C180°（等量代換） 3+ 4180°（平角定義）A+ C180°（等量代換）法三：作DMBC于M，DNBA交BA的延長線于N。 BD是ABC的角平分線（已知）1=2（角平分線定義） DNBA，DMBC（已知）N=DMB=90°（垂直的定義）在NBD和MBD中N=DMB （已證）1=2（已證） BD=BD（公共邊）NBDMBD（） ND=MD（全等三角形的對應邊相等） DNBA

5、，DMBC（已知）NAD和MCD是Rt在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已證） AD=CD（已知）RtNADRtMCD（） 4=C（全等三角形的對應角相等） 3+ 4180°（平角定義），A3（已證）A+ C180°（等量代換）法四：作DMBC于M，DNBA交BA的延長線于N。 BD是ABC的角平分線（已知） DNBA，DMBC（已知） ND=MD（角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等） DNBA，DMBC（已知）NAD和MCD是Rt在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已證） AD=CD（已知）RtNADRtMCD（） 4=C（全等三角形的對應角相等） 3+

6、4180°（平角定義）A3（已證）A+ C180°（等量代換）利用高可以高線為對稱軸構造全等三角形EDCBA3、在ABC中，ADBC，若C2B試比較線段BD與AC+CD的大小簡析由于ADBC，所以可在BD上截取DEDC，于是可得ADEADC（SAS），所以AEAC，AEDC，又C2B，所以AED2B，而AEDB+BAE，即BBAE，所以BEAEAC，所以BDBE+DEAE+DEAC+CD 說明利用三角形高的性質，在幾何解題時，可以高線為對稱軸構造全等三角形求解利用特殊圖形可通過旋轉變換構造全等三角形圖4PPBAC4、設點P為等邊三角形ABC內任一點，試比較線段PA與PB+P

7、C的大小簡析由于ABC是等邊三角形，所以可以將ABP繞點A旋轉60°到ACP的位置，連結PP，則ACPABP（SAS），所以APAP，CPBP，APP是等邊三角形，即PPPA，在CPP中，因為PPPC+PC，所以PAPB+PC說明由于圖形旋轉的前后，只是位置發(fā)生了變化，而形狀和大小都沒有改變，所以對于等邊三角形、正方形等特殊的圖形我們可以利用旋轉的方法構造全等三角形來解題利用利用平行線構造全等三角形F圖5MEABCD5、ABC中，ABAC，E是AB上任意一點，延長AC到F，連接EF交BC于M，且EMFM試說明線段BE與CF相等的理由簡析由于BE與CF的位置較散，故可考慮將線段CF平移

8、到ED，所以過點E作 EDCF，則EDBACB，EDMFCM，由于EMFM，EMDFMC，所以EMDFMC（AAS），所以EDCF，又因為ABAC，所以BACB，即BEDB，所以EBED，所以BECF說明這里通過輔助線將較散的結論相對集中，使求解的難度降低綜合練習1、如圖，已知ABC中，AD是BAC的角平分線，AB=AC+CD，求證：C=2B法一：證明：在AB上截取AE，使AE=AC，連結DE。 AD是BAC的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）在AED和ACD中 AE=AC（已知）1=2（已證） AD=AD（公共邊）AEDACD（）C3（全等三角形的對應角相等)ED=CD（全等三角形的對應

9、邊相等）又AB=AC+CD=AE+EB（已知）EB=DC=ED（等量代換）B=4（等邊對等角）3= B+4= 2B（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和）C=2B（等量代換）法二：延長AC到F，使CF=CD，連結DF。 AD是BAC的角平分線（已知）1=2（角平分線定義） AB=AC+CD，CF=CD（已知） AB=AC+CF=AF（等量代換）在ABD和AFD中 AB=AF（已證）1=2（已證） AD=AD（公共邊）ABDAFD（）FB（全等三角形的對應角相等） CF=CD（已知）B=3（等邊對等角）ACB= 2F（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和）ACB=2B（等量代換）2、如圖，已知直線MNPQ，且AE平分BAN、BE平分QBA，DC是過E的任意線段，交MN于點D，交PQ于點C。求證：AD+AB=BC。法一