1、 關于實數(shù)理論的幾點思考 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)04級 鄭維堅請證明兩者的等價性這對實數(shù)系來說，當然是這樣。但前三條都與實數(shù)系的“序”有關，而柯西列卻與“序”無關，所以完備性不叫連續(xù)性一、 實數(shù)理論的引入實數(shù)理論的引入是具有其歷史必然性的。盡管牛頓、萊布尼茲早在十七世紀時便建立了微積分的演算體系，但這套微積分的概念與演算，是以直觀的基礎的，概念并不準確，推導公式有明顯的邏輯矛盾。直至19世紀，矛盾已積累到非解決不可的程度，于是在這種形勢下，實數(shù)理論作為極限理論的堅實基礎被引入了，并使微積分的演算體系嚴格化。（以上內容參考了數(shù)學分析簡明教程）二、 實數(shù)系各種性質的等價表述概論經(jīng)過這幾個月來的學習，我

2、對實數(shù)理論有了一些自己的體會。我認為，對實數(shù)系中與實數(shù)有關的各種性質（如實數(shù)連續(xù)性、完備性、實數(shù)閉區(qū)間的緊致性，連通性等）的描述，無外乎有兩種方式：一種是用集合的觀點來闡述，如戴德金分劃，非空有上界的實數(shù)子集有上確界、有限覆蓋定理、區(qū)間套定理及聚點定理，另一種是用序列的觀點來描述，如有理數(shù)基本列的等價類，單調上升有上界的序列有極限，緊致性定理以及柯西收斂原理。1、實數(shù)的連續(xù)性對于數(shù)系的連續(xù)性戴德金是這樣定義的：如果一個有大小順序的稠密的數(shù)系S，它的任一個分劃都有S中唯一的數(shù)存在，它不小于下類中的每一個數(shù)，也不大于上類中的每一個數(shù)，那么稱數(shù)系S是連續(xù)的。以上的定義是通過集合（即下類與上類）來表述

3、的，不過我覺得也能按照康托的思路用序列的方式加以定義，即對于一個有大小順序的稠密數(shù)系S，若所有（有理數(shù)）基本列的等價類與S中的所有數(shù)一一對應，則稱S是連續(xù)的。言歸正傳，實數(shù)連續(xù)性是極限理論的基礎，微積分正是在實數(shù)系這樣一個連續(xù)的數(shù)系中才有了大顯身手的舞臺。關于實數(shù)連續(xù)性的等價描述共有三種：(1) 對于實數(shù)系的每一個分劃AB，存在唯一的實數(shù)r，使得對任意aA，bB,有arb(2) 非空有上界的實數(shù)子集必有上確界存在。(3) 單調上升有上界的實數(shù)列必有極限存在。我認為其實柯西收斂原理也反映了實數(shù)連續(xù)性，而且如果我先前補充的定義可行的話，則康托對實數(shù)的定義“每一個（有理數(shù)）基本列的等價類都代表一個實

4、數(shù)”也可視為實數(shù)連續(xù)性的一種描述，不過它是建立在另一種定義之上的下面談談我對這三個等價描述的理解： （1）很直觀的描述了實數(shù)連續(xù)性。 （2）（3）的表述則較為“含蓄”一些，其實（2）與（3）描述實數(shù)連續(xù)性的思路是一樣的，即表明實數(shù)系在數(shù)軸上的任何地方都沒有空隙，二者所不同的只是（2）從集合的角度來描述，而（3）從序列的角度來表述。課本中已證明了（1）Û（2），（1）Û（3）及（2）Þ（3），現(xiàn)在證明（3）Þ（2）。設M為實數(shù)子集E的上界，來證明r = supER。若有E最大值，則此最大值即為上確界。若E無最大值，任取x0E，將x0，M二等分，若右半?yún)^(qū)間含

5、有E中的點，則記右半?yún)^(qū)間為a1, b1,否則就記左半?yún)^(qū)間為a1,b1。然后將a1,b1再二等分，用同樣的方法選出a2,b2，如此無限分下去，我們便得到一個閉區(qū)間的集合an , bn，同時得到兩串序列an，bn，其中an單調上升有上界（如b1）, bn單調下降有下界（如a1），且bn an = ( b1 a1 ) / 2n ®0(n®時）。由單調上升有上界知有r存在，使得r = an , 又bn= an + ( b1 a1 ) / 2n 知對任意ran , bn (對任意n) ，又由于an單調上升，r = an an . 若存在kN , s.t. E中有一點x1r, bk,則

6、按二等分法的規(guī)則，ak > r , 這與ran(對任意n) 相矛盾。所以E中任何一點x r. 又由an= r知對任意，存在 N，s.t. aNr< aN > r.這也就是說存在x2E，s.t. x2 aN > r.于是就證明了r 是E的上確界。 2、 實數(shù)閉區(qū)間的緊致性緊致性是點集拓撲中的概念，它是用來描述一類集合的，在Rk中，集合E是緊致的 Û E是閉且有界的 Û E的每個無限子集在E內有極限點。實數(shù)閉區(qū)間是R中既閉且有界的集合，因此實數(shù)閉區(qū)間具有緊致性，這是實數(shù)開區(qū)間所不具備的一個性質。（以上關于緊致性的介紹參考了Rudin的數(shù)學分析原理） 對于

7、實數(shù)閉區(qū)間的緊致性，我們也可以從集合與序列的角度分別加以描述。(1) 緊致性定理是從序列的角度來描述實數(shù)閉區(qū)間緊致性的，下面用緊致 性定理證明單調上升有上界的實數(shù)列有極限。 設Xn單調上升有上界，由緊致性定理， Xn 存在收斂子序列 Xnk ,設a = Xnk Xn 單調上升， Xnk 為其子序列對任意 n > n1 , k, s. t. Xnk Xn Xnk+1n 時 k 由夾逼性定理知 Xn存在且等于a(2) 區(qū)間套定理與有限覆蓋定理是從集合的角度來描述實數(shù)閉區(qū)間緊致性的。我個人覺得這兩個定理是作為一對矛盾而對立統(tǒng)一地存在的，理由如下：有限覆蓋定理中描述緊致性的工具是開區(qū)間，而區(qū)間套

8、定理描述緊致性的工具是閉區(qū)間。閉區(qū)間與開區(qū)間本身便是一對矛盾，對立而統(tǒng)一的。有限覆蓋定理說的是有限個小的開區(qū)間覆蓋住一個大的閉區(qū)間，其功能在于把每一點的局部性質轉化到整個閉區(qū)間上，這即是由局部到整體的思想；而區(qū)間套定理說的是一個大區(qū)間里套一個小區(qū)間，小區(qū)間里再套一個小小區(qū)間，如此下去，最后套出一個點來，其功能是由點集的整體性質得出某一點的局部性質，這即是由整體到局部的思想。從以上兩點來看，有限覆蓋定理與區(qū)間套定理是非常辯證地聯(lián)系在一起的。盡管這兩個定理歸根到底都是運用集合的語言闡述閉區(qū)間的緊致性（這正是它們的“統(tǒng)一”之所在），但在實際應用時，我們卻可通過它們相互“對立”的方面來判斷對于一個命題

9、證明用哪一個定理更方便。1。 對于那些由整體到局部的命題常常適合用區(qū)間套定理來證明。如確界定理、單調有界原理、柯西收斂原理的充分性、緊致性定理、聚點原理都屬于這一類型，它們都指出，在某一條件下，作為整體的實數(shù)閉區(qū)間中有某種“點”存在（這種“點”包括確界點，極限點，收斂點以及聚點） 下面舉幾個例子 用區(qū)間套定理證明非空有界的實數(shù)子集必有上確界： 證明證明過程與本文先前用單調有界原理證明確界定理的過程大致相同，只是當構造出區(qū)間套an,bn時，直接由區(qū)間套定理得出 存在ran,bn (對任意n )，且 an= bn= r 用區(qū)間套定理證明單調有界原理可用的方法構造區(qū)間套并由區(qū)間套定理得出an= r&

10、#222;對任意，存在N, s.t. aNr< aN > rÞ 存在N0, s.t. XN0 an> rÞ rXN0<.又Xn單調上升對任意，存在N0，當n.>N0時（Xn>X N0）有rXn<ÞrXn<于是Xn = r(對于證明對任意n , Xn r ，可參見本文先前用單調有界原理證明確界定理的過程) 2。 A、對于那些由局部到整體的命題常常適合用有限覆蓋定理直接證明，即構造一個與欲證結論有關的覆蓋，利用覆蓋的有限性來證明命題。例如：用有限覆蓋定理證明一致連續(xù)性定理（證明過程見數(shù)學分析簡明教程P305） 一致連續(xù)性

11、定理將每一個點的局部性質推廣到函數(shù)在整個閉區(qū)間上的整體性質。因此適合用有限覆蓋定理直接證明。子覆蓋的有限性在證明過程中的作用在于表明了=min1/2，n/2中的n是有限的，所以集合1/2，n/2是有最小值的，即是存在的。設f(x)在a,b上定義，且在每一點處函數(shù)的極限存在，求證f(x)在a,b上有界。 該命題也是由函數(shù)在點的局部性質推及到其在閉區(qū)間上的整 體性質，所以適宜用有限覆蓋定理直接證明。 證：由函數(shù)極限的局部有界性，對任意 x0a,b，存在 Mx0>0，x0>0， s.t. f (x) Mx0 (x(x0x0 , x0 +x0) 設E = （x0x0 , x0 +x0）x0

12、a,b，則E是a, b的一個覆蓋，則此時存在a,b的一個有限覆蓋： E = （xixi , xi +xi）i = 1,2,n 設f (x) Mxi , x (xixi , xi +xi）(i = 1,2,n) 記M = max Mxii=1,2,n,則有f (x)M,x(xixi , xi +xi)(對任意i)。注意到E 構成a,b的一個有限覆蓋，故 f (x) M（xa,b）B、對于那些由整體到局部的命題常常適合用(運用了有限覆蓋定理的)反證法來證明，即構造一個與欲證結論有關的覆蓋，然后再通過子覆蓋的有限性來推出矛盾結果。（因為用反證法時，這些由整體到局部的命題又顛倒過來，變成由局部到整體以

13、至推出矛盾，因此還是適合用有限覆蓋定理）下面舉兩個例子，用有限覆蓋定理證明聚點定理。（聚點定理是由點集的整體性質得出某一點的局部性質） 證： 設S為直線上的有界無限點集，于是存在a,b使Sa,b用反證法，假設a,b中任何點都不是S的聚點，則對每一點xa,b存在相應的x>0，使得U(x, x)內至多包括S的有限多個點，令H = U(x, x)xa,b則H是a,b的一個開覆蓋，由有限覆蓋定理，H中存在有限個鄰域 U(x1, x1), ,U(xn, xn)，它們構成了a,b的有限覆蓋，從而也覆蓋了S，由于每個鄰域至多含有S的有限個點，故這n個領域的并集也至多只含S的有限個點，于是S有點自己的體會，不錯！集也至多只為有限點集，這與題設S為無限點集矛盾，故得證。（此命命題證明參考了裴禮文數(shù)學分析典型問題與方法） 設f（x）在a,b上無界，求證存在ca,b , s.t.對任意 > 0,函數(shù)f (x) 在（c , c + ）a,b上無界（此命題也是由點集的整體性質得出某一點的局部性質，因此用有限覆蓋定理的反證法） 證：用反證法，設對任意xa,b，存在x > 0，s.t. f (x)在（xx , x+x）上有界。設E = （xx, x +x）xa,b,則E是a,b的一個覆蓋，則此時存在a,b的一個有限覆蓋E = （xixi , xi