1、 在上一節(jié)我們已經(jīng)看到，直接用定義計(jì)算定積分是十分繁難的，因此我們期望尋求一種計(jì)算定積分的簡(jiǎn)便而又一般的方法。我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)定積分與不定積分之間有著十分密切的聯(lián)系，從而可以利用不定積分來計(jì)算定積分。微積分基本公式微積分基本公式變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系 設(shè)設(shè)某某物物體體作作直直線線運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)，已已知知速速度度)(tvv 是是時(shí)時(shí)間間間間隔隔,21TT上上t的的一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，且且0)( tv，求求物物體體在在這這段段時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)所所經(jīng)經(jīng)過過的的路路程程.變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為 21)(TTdttv另一方面這段路程可表示為

2、另一方面這段路程可表示為)()(12TsTs ).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其其中中 一、問題的提出一、問題的提出 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，并并且且設(shè)設(shè)x為為,ba上上的的一一點(diǎn)點(diǎn)， xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)( 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變變動(dòng)動(dòng)，則則對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)，.)()( xadttfx記記積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) 二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)

3、數(shù)abxyo定理定理 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是數(shù)是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 積分上限函數(shù)的性質(zhì)積分上限函數(shù)的性質(zhì)xx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x一

4、般情況一般情況 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb可可導(dǎo)導(dǎo)， 則則dttfxFxbxa )()()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xF 為為 )()()()(xbxadttfdxdxF )()()()(xaxafxbxbf 注注此定理表明連續(xù)函數(shù)取變上限定積分再對(duì)此定理表明連續(xù)函數(shù)取變上限定積分再對(duì)上限自變量上限自變量 x 求導(dǎo)，其結(jié)果就等于被積求導(dǎo)，其結(jié)果就等于被積函數(shù)在上限自變量函數(shù)在上限自變量 x 處的函數(shù)值處的函數(shù)值若上限不是若上限不是 x 而是而是 x 的函數(shù)的函數(shù) a(x)，則求導(dǎo)時(shí)必須按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行則求導(dǎo)時(shí)必須按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行 )()()()(xaaxaxafd

5、ttfdxd（微積分基本公式）（微積分基本公式）如如果果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，則則)()()(aFbFdxxfba . . 三、三、Newton-Leibniz公式公式牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba baxF)( 注注微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： (1) 一個(gè)一個(gè)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間,ba上的定積分等于上的定積分等于它在它在該區(qū)間該區(qū)間上的上的任意一個(gè)原函數(shù)任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間,ba上的上的增量增量. （2） N-L公式揭示了積分學(xué)兩類基本問題公式揭示了積分學(xué)兩類基本問題不

6、定積分與定積分兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系不定積分與定積分兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系（3求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題. （4） 為定積分的計(jì)算提供了一個(gè)普遍、有效而又為定積分的計(jì)算提供了一個(gè)普遍、有效而又簡(jiǎn)便的方法，使得定積分的計(jì)算大為簡(jiǎn)化。簡(jiǎn)便的方法，使得定積分的計(jì)算大為簡(jiǎn)化。注意注意當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)，時(shí)，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.)1sincos2(20 dxxx解解 原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 設(shè)設(shè) , , 求求 . . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在

7、2 , 1 上上規(guī)規(guī)定定當(dāng)當(dāng)1 x時(shí)時(shí)，5)( xf, 102152dxxdx原原式式xyo126 例例4 4 求求 例例7 7 求求 .112dxx 解解當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，x1的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 例例 8 8 計(jì)計(jì)算算曲曲線線xysin 在在, 0 上上與與x軸軸所所圍圍 成成的的平平面面圖圖形形的的面面積積. 解解 面積面積 0sin xdxA 0cosx. 2 xyo 1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xadttfx)()(2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(xfx 3.微積分基本公式微積分基本公式)()()(aFbFdxxfba 牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之