1、高考必考-函數的凹凸性在高考中的應用 目的: 了解函數的凹凸性，掌握增量法解決凹凸曲線問題。 培養(yǎng)學生探索創(chuàng)新能力，鼓勵學生進行研究型學習。教學重點：掌握增量法解決凹凸曲線問題教學難點：函數的凹凸性定義及圖像特征教學過程：一、 課題導入 1. 2013屆高三第一次月考試題12得分統(tǒng)計表班級考試人數答對人數答錯人數正確率高三（1）班（理）54193535.1%高三（11）班（文）61124919.7%2.組織學生現場解答月考試題12并進行得分統(tǒng)計，以引出課題題目：一高為、滿缸水量為的魚缸的截面如圖1所示，其底部碰了一個小洞，滿缸水從洞中流出若魚缸水深為時水的體積為，則函數（）的大致圖象可能是圖2

2、中的（）（選自中學數學教學參考2001年第12合期）的試題集綿 圖1 圖2函數凹凸性問題是近幾年高考與平時訓練中的一種新題型這種題情景新穎、背景公平，能考查學生的創(chuàng)新能力和潛在的數學素質，體現“高考命題范圍遵循教學大綱，又不拘泥于教學大綱”的改革精神但由于函數曲線的凹凸性在中學教材中既沒有明確的定義，又沒有作專門的研究，因此，就多數學生而言，對這類凹凸性曲線問題往往束手無策；而教師的“導數”理解又不能被學生所接受所以，對這類非常規(guī)性問題作一探索，并引導學生去得到一般性的解法，無疑對學生數學素質的提高和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)以及在迅速準確解答高考中出現此類的試題都是十分重要的。二、 新課講授1、凹凸函數

3、定義及幾何特征引出凹凸函數的定義：如圖3根據單調函數的圖像特征可知：函數與都是增函數。但是與遞增方式不同。不同在哪兒？把形如的增長方式的函數稱為凹函數，而形如的增長方式的函數稱為凸函數。凹凸函數定義（根據同濟大學數學教研室主編高等數學第201頁）：設函數為定義在區(qū)間上的函數，若對（a，b）上任意兩點、，恒有：（1），則稱為（a，b）上的凹函數；（2），則稱為（a，b）上的凸函數。凹凸函數的幾何特征：幾何特征1（形狀特征）圖4（凹函數） 圖5（凸函數） 如圖，設是凹函數y=曲線上兩點，它們對應的橫坐標，則，過點作軸的垂線交函數于A，交于B， 凹函數的形狀特征是：其函數曲線任意兩點與之間的部分位于

4、弦的下方;凸函數的形狀特征是：其函數曲線任意兩點與之間的部分位于弦的上方。簡記為：形狀凹下凸上。幾何特征2（切線斜率特征） 圖6（凹函數） 圖7（凸函數）設是函數y=曲線上兩點，函數曲線與之間任一點A處切線的斜率：凹函數的切線斜率特征是：切線的斜率y=隨x增大而增大；凸函數的切線斜率特征是：切線的斜率y=隨x增大而減??；簡記為：斜率凹增凸減。幾何特征3（增量特征）圖8（凹函數） 圖9（凸函數） 圖10（凹函數） 圖11（凸函數）設函數（）為凹函數，函數（）為凸函數，其函數圖象如圖8、9所示，由圖10、11可知，當自變量逐次增加一個單位增量時，函數（）的相應增量，越來越大；函數（）的相應增量，越

5、來越?。挥纱?，對的每一個單位增量，函數的對應增量（1，2，3，）凹函數的增量特征是：越來越大；凸函數的增量特征是：越來越??；簡記為：增量凹大凸小。弄清了上述凹凸函數及其圖象的本質區(qū)別和變化的規(guī)律，就可準確迅速、簡捷明了地解決有關凹凸的曲線問題函數凹凸性的應用應用1 凹凸曲線問題的求法下面我們用增量特征（增量法）準確迅速、簡捷明了地解決有關凹凸的曲線問題題目：一高為、滿缸水量為的魚缸的截面如圖12所示，其底部碰了一個小洞，滿缸水從洞中流出若魚缸水深為時水的體積為，則函數（）的大致圖象可能是圖13中的（） 圖12 圖13解：據四個選項提供的信息（從），我們可將水“流出”設想成“流入”，這樣，每當增

6、加一個單位增量時，根據魚缸形狀可知V的變化開始其增量越來越大，但經過中截面后則越來越小，故關于的函數圖象是先凹后凸的，因此，選例1向高為的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深的函數關系的圖象如圖14所示，那么水瓶的形狀是（圖15中的）（）（1998年全國高考題）圖15 圖14 解：因為容器中總的水量（即注水量）V關于的函數圖象是凸的，即每當增加一個單位增量，V的相應增量越來越小這說明容器的上升的液面越來越小，故選 圖16例2在某種金屬材料的耐高溫實驗中，溫度隨著時間變化的情況由微機記錄后再顯示的圖象如圖16所示現給出下面說法：前5分鐘溫度增加的速度越來越快； 前5分鐘溫度增加的速度越來越慢

7、； 5分鐘以后溫度保持勻速增加； 5分鐘以后溫度保持不變其中正確的說法是（） 解：因為溫度關于時間的圖象是先凸后平行直線，即5分鐘前每當增加一個單位增量，則相應的增量越來越小，而5分鐘后是關于的增量保持為0，故選 注：本題也選自中學數學教學參考2001年第12合期的試題集綿，用了增量法就反成了“看圖說畫”A BC D例3（06重慶 理）如圖所示，單位圓中弧AB的長為x，f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的倍，則函數y=f(x)的圖象是（ ） 圖17解：易得弓形AxB的面積的2倍為f(x)=-sin由于是直線，每當增加一個單位增量，的對應增量不變；而sin是正弦曲線，在0，上是凸的，在，

8、2上是凹的，故每當增加一個單位增量時，對應的增量（=1，2，3，）在0，上越來越小，在，2上是越來越大，故當增加一個單位增量時，對應的f(x)的變化，在0，上其增量f(x)（1，2，3，）越來越大，在，2上，其增量f(x)則越來越小，故f(x)關于的函數圖象，開始時在0，上是凹的，后來在，2上是凸的，故選D例4（07 江西） 四位好朋友在一次聚會上，他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖所示盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半設剩余酒的高度從左到右依次為h1，h2，h3，h4，則它們的大小關系正確的是（）圖18Ah2h1h4 Bh1h2h3 Ch3h2h

9、4 Dh2h4h1解： 設內空高度為H, 剩余酒的高度關于酒杯中酒的體積函數從左到右依次為V1（h）、V2（h）、V3(h)、V4（h），根據酒杯的形狀可知函數V1（h）、V2（h）、V4（h）的圖象可為圖19 因為函數V1（h）、V2（h）為凹函數, V1（h）當h從H，h增加一個單位增量， V（1，2，3，）增大，則h1> 0.5H =h4；同理V2（h）當h從H，h增加一個單位增量，V（1，2，3，）增大，則h2> 0.5H =h4；所以h1> h4、 h2> h4；由V1（h）、V2（h）圖象可知，h從Hh2，V1（h）>V2（h）,而0.5 V1（h）&

10、gt;V1（h）,V2（h）=0.5 V2（h）,則當V1（h）=0.5 V1（h）時h1> h2，所以答案為A. 應用2 凹凸函數問題的求法例1、(2005·湖北卷) 在y=2x, y=log2x, y=x2, y=cos2x這四個函數中,當0<x1<x2<1時, 恒成立的函數的個數是( ).A.0 B.1 C.2 D.3分析：運用數形結合思想,考察各函數的圖象.注意到對任意x1,x2I,且x1<x2,當f(x)總滿足 時,函數f(x)在區(qū)間I上的圖象是“上凸”的,由此否定y=2x,y=x2,y=cos2x，應選B。本小題主要考查函數的凹凸性，試題給出

11、了四個基本初等函數，要求考生根據函數的圖像研究函數的性質-凹凸性，對試題中的不等關系式：，既可以利用函數的圖像直觀的認識，也可以通過代數式的不等關系來理解?？疾榈闹攸c是結合函數的圖像準確理解凹凸的含義.例2、（05北京卷理13）對于函數f(x)定義域中任意的x1，x2（x1x2），有如下結論： f(x1x2)=f(x1)·f(x2)； f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)；>0； . 當f(x)=lgx時，上述結論中正確結論的序號是 （） 。本題把對數的運算（）、對數函數的單調性（）、對數函數圖像的凹凸性（）等知識有機的合成為一道多項填空題，若對函數的性質有較清楚

12、的理解便不會有困難，而靠死記硬背的考生就會有問題。通過以上的例子可以看出在高三復習時，有必要留意以高等數學知識為背景的創(chuàng)新題與信息題，也有必要讓學生了解簡單高等數學與初等數學結合的知識，這樣既可以達到簡化運算、避免易錯點的目的，還可以突破難點，找到規(guī)律性的解題途徑，更為高等數學的學習打下良好的基礎。同時使學生們認識到知識學的越多、越深入，解決起問題來越有規(guī)律性、越簡單。從而使他們渴望學習，渴望積累，更進一步的增加分析問題，解決問題的能力。三、 學生練習1、如圖20所示，半徑為2的切直線于，射線從出發(fā)繞著點順時針旋轉到旋轉過程中，交于記為、弓形的面積為=（），那么（）的圖象是圖18中的（） 圖2

13、0 圖212、如圖22所示，液體從球形漏斗漏入一圓柱形燒杯中，開始時漏斗中盛滿液體，經過3分鐘漏完，已知燒杯中液面上升的速度是一個常量，是漏斗中液面下落的距離，則與下落時間（分）的函數關系用圖象表示可能是圖11中的（）圖22 圖233、（94年高考）已知函，判斷與的大小，并加以證明。4、 在， 四個函數中，當時，使成立的函數是 ( ) A. B . C. D.解答：1、解：易得弓形的面積為=2（-sin）由于是直線，每當增加一個單位增量，的對應增量不變；而sin是正弦曲線，在0，上是凸的，在，2上是凹的，故每當增加一個單位增量時，對應的增量（=1，2，3，）在0，上越來越小，在，2上是越來越大，故當增加一個單位增量時，對應的的變化，開始時在