1、 5.3 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 考綱解讀 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 要求 咼考示例 ?？碱}型 預(yù)測(cè)熱度 1.數(shù)量積的定義 (1) 平面向量的數(shù)量積 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物 理意義； 了解平面向量的數(shù)量積與向量投影 的關(guān)系； 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算； 能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾 角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的 垂直關(guān)系. (2) 向量的應(yīng)用 會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面 幾何問(wèn)題； 會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題 與其他一些實(shí)際問(wèn)題 理解 2017 浙江,10; 2016 天津,7; 2015 湖北,11; 2014 課標(biāo) n ,3 選擇題 填空題 2.平面

2、向量的 長(zhǎng)度問(wèn)題 掌握 2017 課標(biāo)全國(guó) I ,13； 2017 浙江,15; 2016 北京,4; 2014 浙江,8 選擇題 填空題 3.平面向量的夾 角、 兩向量垂直及數(shù) 量積的應(yīng)用 掌握 2017 課標(biāo)全國(guó) n ,12； 2017 山東,12; 2016 山東,8; 2015 重慶,6; 2014 重慶,4 選擇題 填空題 分析解讀 1.理解數(shù)量積的定義、幾何意義及其應(yīng)用.2.掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律；掌握求向量長(zhǎng)度的方 法.3.會(huì)用向量數(shù)量積的運(yùn)算求向量夾角 ，判斷或證明向量垂直.4.利用數(shù)形結(jié)合的方法和函數(shù)的思想解決最值 等綜合問(wèn)題. 五年高考 考點(diǎn)一數(shù)量積的定義 1. (2

3、017 浙江,10,5 分)如圖,已知平面四邊形 ABCD,AR BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 與 BD 交于點(diǎn) O.記 I 1= ,1 2= ,I 3= ,則（ ） D A.I 1 I 2I 3 B.l 1 I 3I 2 C.l 3| 1| 2 D.l 2| 1| 3 答案 C 2. （2016 天津,7,5 分）已知 ABC 是邊長(zhǎng)為 1 的等邊三角形，點(diǎn) D,E 分別是邊 AB,BC 的中點(diǎn)，連接 DE 并延長(zhǎng)到點(diǎn) F,使得 DE=2EF 則的值為（ ） A. - B. C. D. 答案 B 3. （2014 課標(biāo) n ,3,5 分）設(shè)向量 a,b 滿足 |a+b|=,|a

4、-b|=, 則 a b=（ ） A. 1 B.2 2017 年高考“最后三十天”專題透析 好教育云平臺(tái) 教育因你我而變 2 C.3 D.53 答案 A 4. （2015 湖北,11,5 分）已知向量丄，|=3,貝,= _ . 答案 9 教師用書(shū)專用（5） 5. （2013 湖北,6,5 分）已知點(diǎn) A（-1,1）、B（1,2）、C（-2,-1） 、D（3,4）,則向量在方向上的投影為 （ ） A. B. C.- D.- 答案 A 考點(diǎn)二 平面向量的長(zhǎng)度問(wèn)題 1. （2016 北京,4,5 分）設(shè) a,b 是向量.則“ |a|=|b| ”是“ |a+b|=|a - b| ”的（ ） A.充分而不

5、必要條件 B.必要而不充分條件 答案 D 2. （2014 浙江,8,5 分）記 maxx,y=minx,y= 設(shè) a,b 為平面向量，則（ A.min|a+b|,|a- b| min|a|,|b| 2 2 2 C. max|a+b| ,|a-b| |a| +|b| 答案 D 3. （2017 課標(biāo)全國(guó) I ,13,5 分）已知向量 a,b 的夾角為 60 ,|a|=2,|b|=1, 答案 2 教師用書(shū)專用（4） 4. （2013 天津,12,5 分）在平行四邊形 為 _ . 答案 考點(diǎn)三 平面向量的夾角、兩向量垂直及數(shù)量積的應(yīng)用 1. （2016 山東,8,5 分）已知非零向量 m,n滿足

6、4|m|=3|n|,cos=. 若 n丄（tm+n）,則實(shí)數(shù) t 的值為（ ） A.4 B.-4 C. D.- 答案 B 2. （2015 山東,4,5 分）已知菱形 ABCD 勺邊長(zhǎng)為 a, / ABC=60 ,則=（ ） 八 22 A.-a B.-a 2 2 C.a D.a 答案 D 3. （2015 福建,9,5 分）已知丄，|=,|=t. 若點(diǎn) P 是厶 ABC 所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且=+,則的最大值等于（ ） A.13 B.15 C.19 D.21 答案 A 4. （2017 山東,12,5 分）已知 e1,e2是互相垂直的單位向量.若 ee 2與&+入 e2的夾角為 60 ,

7、則實(shí)數(shù) 入的值 是 _ . C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 2 D.max|a+b| ,|a-b| 2 |a| 2+|b| 2 則 |a+2b|= _ ABCD 中,AD=1, / BAD=60 ,E 為 CD 的中點(diǎn).若 =1,則 AB 的長(zhǎng) 2017 年高考“最后三十天”專題透析 好教育云平臺(tái) 教育因你我而變 4 答案 教師用書(shū)專用（5 8） 5. （2015 重慶,6,5 分）若非零向量 a,b 滿足|a|=|b|, 且（a- b）丄（3a+2b）,貝U a 與 b 的夾角為（ ） A. B. C. D. n 答案 A 6. （2015 四川,7,5 分）設(shè)四邊形 ABCE

8、為平行四邊形,|=6,|=4. 若點(diǎn) M,N 滿足=3,=2,貝,=（ ） A.20 B.15 C.9 D.6 答案 C 7. （2014 重慶,4,5 分）已知向量 a=（k,3）,b=（1,4）,c=（2,1）, 且（2a- 3b）丄 c,則實(shí)數(shù) k=（ ） A.- B.0 C.3 D. 答案 C 8. （2014 安徽,15,5 分）已知兩個(gè)不相等的非零向量 a,b,兩組向量 xi,x 2,x 3,x 4,x 5和 yi,y 2,y 3,y 4,y 5均由 2 個(gè) a 和 3 個(gè) b 排列而成.記 S=Xi y 1+X22+X33+X44+X55,S min表示 S 所有可能取值中的最小

9、值 .則下列命題正確 的是 _ （寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào) ）. S有 5 個(gè)不同的值 若 a 丄 b,則Snin與|a|無(wú)關(guān) 若 a/ b,則Sin與|b|無(wú)關(guān) 若 |b|4|a|,則 Smin0 若|b|=2|a|,S min=8|a| 2,則 a 與 b 的夾角為 答案 三年模擬 A 組 20162018 年模擬基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)一數(shù)量積的定義 1. （2018 北京朝陽(yáng)期中，7）如圖，在直角梯形 ABCD 中,AB / CD,ADLDC,E 是 CD 的中點(diǎn)，DC=1,AB=2,則=（ ） A.5 B.-5 C.1 D.-1 答案 D 2. （2017 福建龍巖二模，7）已知向量與的夾角為

10、60 ,且|=3,|=2, 若=m+n,且丄，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A. B. C.6 D.4 答案 A 3. （2017 江西撫州七校聯(lián)考，7）在 Rt AOB 中， =0,|=,|=2,AB 邊上的高線為 OD,點(diǎn) E 位于線段 OD 上，若=, 則向量在向量上的投影為（ ） A. B.1 C.1 或 D.或 答案 D 4. （2017 廣東惠州調(diào)研,13）已知|a|=4,|b|=2, 且 a 與 b 的夾角為 120 ,則（a- 2b） （a+b）= _ . 答案 12 5 考點(diǎn)二 平面向量的長(zhǎng)度問(wèn)題 5. （2018 全國(guó)名校大聯(lián)考 ,10）設(shè)向量 a,b,c 滿足|a|=|b|=2,a

11、 b= -2,=60 ,則|c|的最大值等于 （ ） A.4 B.2 C. D.1 答案 A 6. （2017 福建漳州八校 4 月聯(lián)考,5）在厶 ABC 中,|+|=,|+|=卜卜|,|=|=|,|=|=3, 貝,的值為（ ） A.3 B.-3 C.- D. 答案 D 7. （2017 湖南永州一模,11）已知向量 a 與向量 b 的夾角為,且|a|=|b|=2, 若向量 c=xa+yb（x R 且 x豐0,y R）, 則的最大值為（ ） A. B. C. D.32017 年高考“最后三十天”專題透析 好教育云平臺(tái) 教育因你我而變 6 答案 A 8. （2016 江西贛南五校二模，6） AB

12、C 的外接圓的圓心為 O,半徑為 1,2=+且|=|,則向量在方向上的投影為 （ ） A. B. C.- D.- 答案 A 考點(diǎn)三 平面向量的夾角、兩向量垂直及數(shù)量積的應(yīng)用 2 2 2 2 9. （2018 福建三明一中期中，8）已知 0 是厶 ABC 所在平面上一點(diǎn)，滿足| +| =| +| ,則點(diǎn) 0（ ） A. 在過(guò)點(diǎn) C 且與 AB 垂直的直線上 B. 在/A 的平分線所在直線上 C. 在邊 AB 的中線所在直線上 D. 以上都不對(duì) 答案 A 10. （2017 豫南九校 4 月聯(lián)考,4）已知向量 a=（m,2）,b=（2,-1）, 且 a 丄 b,則等于（ ） A.- B.1 C.2

13、 D. 答案 B 11. （人教 A 必 4,二,2-4A,7,變式）若&,e2是平面內(nèi)夾角為 60的兩個(gè)單位向量，則向量 a=2e1+e2,b=-3e 1+2e2 的夾角為（ ） A.30 B.60 C.90 D.120 答案 D 12. （2017 河北衡水中學(xué)?？?15）已知在 ABC 所在平面內(nèi)有兩點(diǎn) P、Q,滿足+=0,+=,若|=4,|=2,S AAPC=, 則的值為 _ . 答案 4 B 組 20162018 年模擬提升題組 （滿分：40 分 時(shí)間:35 分鐘） 一、選擇題（每小題 5 分,共 20 分） 1. （2018 廣東廣州華南師大附中 ,10）如圖，半徑為 1

14、的扇形 AOB 中，/ AOB=,P是弧 AB 上的一點(diǎn)，且滿足 A. B. C.1 D. 答案 C 2. （2018 四川成都七中期中 ）在厶 ABC 中,BC=5,G,O 分別為 ABC 的重心和外心，且=5,則厶 ABC 的形狀是 （ ） A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.上述三種情況都有可能 答案 B 3. （2017 湖南郴州質(zhì)量檢測(cè)，9）已知 A,B 是單位圓 O 上的兩點(diǎn)（O 為圓心）,/ AOB=120，點(diǎn) C 是線段 AB 上不與 A、 B 重合的動(dòng)點(diǎn),MN 是圓 O 的一條直徑，則的取值范圍是（ ） A. B.-1,1） OPLOB,M,N 分別是線段 O

15、A,OB 上的動(dòng)點(diǎn)，則 7 C. D.-1,0） 答案 A 4. （2017 湖北黃岡二模,10）已知平面向量 a,b,c 滿足|a|=|b|=1,a 丄（a -2b）,（c- 2a） （c -b）=0,則|c|的最大值 與最小值的和為（ ） A.0 B. C. D. 答案 D 二、填空題（每小題 5 分,共 10 分） 5. _（2017 河南鄭州一中模擬,14） 如圖,Rt ABC 中，/C=9C ,其內(nèi)切圓切 AC 邊于 D 點(diǎn),0 為圓心若|=2|=2, 則， _ . 答案-3 6. _ （2016 福建福州 3 月質(zhì)檢,14）已知在 ABC 中,AB=4,AC=6,BC=,其外接圓的

16、圓心為 O,則= _ 答案 10 三、解答題（共 15 分） 7. （2018 湖南中原名校第四次質(zhì)量考評(píng) ,17）已知兩個(gè)不共線的向量 a,b 滿足 a=（1,）,b=（cos 0 ,sin 0 ）, 0 R. （1） 若 2a-b 與 a-7b 垂直,求|a+b|的值; 當(dāng) 0 時(shí),若存在兩個(gè)不同的 0 ,使得|a+b|=|ma|成立，求正數(shù) m 的取值范圍. 解析 （1）由條件知|a|=2,|b|=1, 又 2a-b 與 a-7b 垂直， 所以（2a- b） （a -7b）=8- 15a b+7=0,所以 a b=1. 所以 |a+b| 2=|a| 2+2a b+|b| 2=4+2+1=

17、7,故 |a+b|=. 2 2 （2） 由 |a+b|=|ma|,得 |a+b| =|ma| , 2 2 2 2 即 |a| +2a- b+3|b | =m|a| , 2 即 4+2a b+3=4m, 2 7+2（cos 0 +sin 0 ）=4m , 故 4sin=4m2-7. 2 2 由 0 ,得 0 + ,又 0 要有兩解，結(jié)合三角函數(shù)圖象可得,6 4m -7W4,即 Wm 0 所以 w m .故正數(shù) m 的取值范圍為. C 組 20162018 年模擬方法題組 方法 1 求向量長(zhǎng)度的方法 1. （2018 四川雙流中學(xué)期中，9）已知平面向量，滿足|=|=1, =-,若|=1,則|的最大

18、值為（ ） A.-1 B.-1 C.+1 D.+1 答案 D 2. （2017 河南高三 4 月質(zhì)檢,9）在厶 ABC 中，/ BAC=60 ,AB=5,AC=4,D 是 AB 上一點(diǎn)，且=5,則|等于（ ） A.6 B.4 C.2 D.1 答案 C 2017 年高考“最后三十天”專題透析 好教育云平臺(tái) 教育因你我而變 8 3. （2017 廣東五校協(xié)作體聯(lián)考,15） 已知 a,b 是兩個(gè)互相垂直的單位向量 ，且 c a=c b=1,則對(duì)任意的正實(shí)數(shù) t, 的最小值是 _ . 答案 2 方法 2 求向量夾角問(wèn)題的方法 4. （2018 云南玉溪模擬,4）已知向量 a=（1,1）,2a+b=（4,2）, 貝 U 向量 a,b 的夾角余弦值為（ ） A. B.- C. D.-9 答案 C 5. （2017 河南天一大聯(lián)考（一）,7）已知|a|=,a b=-,且（a- b） （a+b）= -15,則向量 a 與 b 的夾角 0 為（ ） A. B. C. D. 答案 C 6. （2017 河南百校聯(lián)盟 4 月聯(lián)考,14）已知非零向量 a,b 滿足:2a （2a - b）=b （b -2a）,|a-b|=3|a|, 則 a 與 b 的 夾角為 _ . 答案 90 方法 3 數(shù)形結(jié)合的方法和方