1、三、例題選講例1 圖65中的幾何體是一個正方體，圖66是這個正方體的一個平面展開圖，圖67（a）、（b）、（c）也是這個正方體的平面展開圖，但每一展開圖上都有四個面上的圖案沒畫出來，請你給補上。分析與解：從圖65和圖66中可知： 與；與；與互相處于相對面的位置上。只要在圖67（a）、（b）、（c）三個展開圖中，判定誰與誰處在互為對面的位置上，則標有數(shù)字的四個空白面上的圖案便可以補上。先看圖67中的（a），仔細觀察可知，1與4，3與處在互為對面的位置上。再看圖67中的（b），同上，1與3，2與處在互為對面的位置上。最后再看圖67中的（c），同上，1與，2與4處在互為對面的位置上。圖67（a）、（

2、b）、（c）標有數(shù)字的空白面上的圖案見圖68中的（a）、（b）、（c）。例2 圖69中的幾何體是一個長方體，四邊形APQC是長方體的一個截面（即過長方體上四點A、P、Q、C的平面與長方體相交所得到的圖形），P、Q分別為棱A1B1、B1C1的中點，請在此長方體的平面展圖上，標出線段AC、CQ、QP、PA來。分析與解：只要能正確畫出圖69中長方體的平面展開圖，問題便能迎刃而解。圖610中的粗實線，就是題目中所要標出的線段AC、CQ、QP、PA。例3 在圖611中，M、N是圓柱體的同一條母線上且位于上、下底面上的兩點，若從M點繞圓柱體的側(cè)面到達N，沿怎么樣的路線路程最短？分析與解：沿圓柱體的母線MN

3、將圓柱的側(cè)面剪開鋪平，得出圓柱的側(cè)面展開圖，見圖612，從M點繞圓柱體的側(cè)面到達N點。實際上是從側(cè)面展開圖的長方形的一個頂點M到達不相鄰的另一個頂點N。而兩點間以線段的長度最短。所以最短路線就是側(cè)面展開圖中長方形的一條對角線，見圖612和圖613。例4 圖614中的幾何體是一棱長為4厘米的正方體，若在它的各個面的中心位置上，各打一個直徑為2厘米，深為1厘米的圓柱形的孔，求打孔后幾何體的表面積是多少（=3.14）？分析與解：因為正方體的棱長為2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方體沒有被打透。這一來打孔后所得幾何體的表面積，等于原來正方體的表面積，再加上六個完全一樣的圓柱的側(cè)面積、這六個圓柱的高為1

4、厘米，底面圓的半徑為1厘米。正方體的表面積為42×6=96（平方厘米）一個圓柱的側(cè)面積為2×1×1=6.28（平方厘米）幾何體的表面積為96+6.28×6=133.68（平方厘米）答：（略）例5 圖615是由18個邊長為1厘米的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積是多少？分析與解：從圖615中可以看出，18個小正方體一共擺了三層，第一層2個，第二層7個，因為18-7-2=9，所以第三層擺了9個。另外，上、下兩個面的表面積是相同的，同樣，前、后；左、右兩個面的表面積也是分別相同的。因為小正方體的棱長是1厘米，所以上面的表面積為12×9=9（平

5、方厘米）前面的表面積為12×8=8（平方厘米）左面的表面積為12×7=7（平方厘米）幾何體的表面積為9×2+8×2+7×2=答：（略）例6 圖616中所示圖形，是一個底面直徑為20厘米的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6厘米，高20厘米的一個圓錐體鉛錘，當鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降幾厘米？（=3.14）分析與解：因為玻璃杯是圓柱形的，所以鉛錘取出后，水面下降部分實際是一個小圓柱，這個圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣，是一直徑為20厘米的圓，它的體積正好等于圓錐體鉛錘的體積，這個小圓柱的高就是水面下降的高度。因為圓錐形鉛錘的體

6、積為設(shè)水面下降的高度為x，則小圓柱的體積為x（20÷2）2×x=100x（立方厘米）所以有下列方程：60=100x，解此方程得：x=0.6（厘米）答：鉛錘取出后，杯中水面下降了0.6厘米。例7橫截面直徑為2分米的一根圓鋼，截成兩段后，兩段表面積的和為75.36平方分米，求原來那根圓鋼的體積是多少（=3.14）？分析與解：根據(jù)圓柱體的體積公式，體積=底面積×高。假設(shè)圓鋼長為x，因為將圓鋼截成兩段后，兩段表面積的和，等于圓鋼的側(cè)面積加上四個底面圓的面積，所以有下面式子：2×（2÷2）×x+4×（2÷2）2 =2x+4根

7、據(jù)題目中給出的已知條件，可得下面方程：2x+4=75.36解方程：圓鋼的體積為×（2÷2）2×1031.4（立方分米）答：（略）。例8 一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為10厘米、圓心角為216°的扇形，求此圓錐的體積是多少（=3.14）？分析與解：要想求出圓錐的體積，就要先求出它的底面圓的半徑與高。按題意畫圖617。在圖617中，字母R、h分別表示底面圓的半徑和圓錐體的高，根據(jù)弧長公式：弧長=2R×n÷360（這里R是圓的半徑，n為弧所對圓心角的度數(shù)），便可求出弧長來。這個弧長就是底面圓的周長，再利用周長公式，就可求出底面圓的半徑R。

8、另外從圖617中可以看出：圓錐的高、母線、底面圓的半徑正好構(gòu)成一個直角三角形，利用勾股定理便可求出圓錐的高h。所以 2R=12，得R=6（厘米）在直角三角形中，根據(jù)勾股定理有：102=h2+R2，即h2=102-R2 =100-36=64，h=8（厘米）答：（略）例9 圖618中的圖形是一個正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點。現(xiàn)在沿三角形GFH所在平面鋸掉正方體的一個角，問鋸掉的這塊的體積是原正方體體積的幾分之幾？分析與解：因為鋸掉的是立方體的一個角，所以HA與AG、AF都垂直。即HA垂直于三角形AGF所在的立方體的上底面，實際上鋸掉的這個角，是以三角形AGF為底面，H為頂點的

9、一個三棱錐，如果我們假設(shè)正方體的棱長為a，則正方體的體積為a3。三棱錐的底面是直角三角形AGF，而角FAG為90°，G、F又分別為AD、而三棱錐的體積等于底面積與高的乘積再除以3，所以鋸掉的那一角的體積為答：（略）例10 圖619是一個里面裝有水的三棱柱封閉容器，圖620是這個三棱柱的平面展開圖。當以A面作為底面放在桌面上時，水高2厘米，如果以B面與C面分別作為底面放在桌面上時，水面高各為多少厘米？分析與解：我們先求以A面作為底面放在桌面上時容器內(nèi)的水的體積。此時水的體積，與以梯形FJQP為底面、JI為高的棱柱的體積相等。棱柱的體積等于底面積乘以高，從圖620可以看出，此棱柱的高JI

10、為12厘米，梯形FJQP的下底FJ為3厘米，高QJ為2厘米。因為PTJQ是個長方形，所以QJ=PT=2厘米，而Q點是GJ的中點，PQ平行于FJ，這樣可以推算出QP為FJ的一半，為1.5厘米，這一來梯形FJQP的面積為以C面為底面時，水的體積與以C（即三解形EHI）為底面，高為某數(shù)值此時水面的高度為：54÷6=9（厘米）以B面作為底面時，原來以A面為底面時不裝水的那一部分，現(xiàn)在應裝水，原來裝水的某一部分現(xiàn)在應空出來，下面來討論這兩份之間的數(shù)量關(guān)系。為方便起見，我們把C面適當放大成圖621，在圖621中，因為PQ平行于FJ，PT垂直于FJ，所以JQPT是一長方圖6ZI形，故JQ、PT、Q

11、G的長都是2厘米，TJ、PQ的長為1.5厘米，因為FJ長為3厘米，所以FT的長也為1.5厘米，這一來三角形FPT與PQG的形狀一樣，面積相等。這便說明原來以三角形PFT為底面，JI為高的裝水的棱柱的體積，與現(xiàn)在以三角形PQG為底面，JI為高裝水的棱柱的體積是相等的。所以以B面為底面時，水面的高度等于PQ的長度，即水面高為1.5厘米。答：（略）第八講 比和比例關(guān)系比和比例，是小學數(shù)學中的最后一個內(nèi)容，也是學習更多數(shù)學知識的重要基礎(chǔ).有了“比”這個概念和表達方式，處理倍數(shù)、分數(shù)等問題，要方便靈活得多.我們希望，小學同學學完這一講，對“除法、分數(shù)、比例實質(zhì)上是一回事，但各有用處”有所理解.

12、這一講分三個內(nèi)容：一、比和比的分配；二、倍數(shù)的變化；三、有比例關(guān)系的其他問題.一、比和比的分配最基本的比例問題是求比或比值.從已知一些比或者其他數(shù)量關(guān)系，求出新的比.例1 甲、乙兩個長方形，它們的周長相等.甲的長與寬之比是32，乙的長與寬之比是75.求甲與乙的面積之比.解：設(shè)甲的周長是2.甲與乙的面積之比是答：甲與乙的面積之比是864875.作為答數(shù)，求出的比最好都寫成整數(shù).例2 如右圖，ABCD是一個梯形，E是AD的中點，直線CE把梯形分成甲、乙兩部分，它們的面積之比是107.求上底AB與下底CD的長度之比.解：因為E是中點，三角形CDE與三角形CEA面積相等.三角形ADC與三角形ABC高相

13、等，它們的底邊的比ABCD=三角形ABC的面積三角形ADC的面積 =（10-7）（7×2）= 314.答：ABCD=314.兩數(shù)之比，可以看作一個分數(shù)，處理時與分數(shù)計算幾乎一樣.三數(shù)之比，卻與分數(shù)不一樣，因此是這一節(jié)講述的重點.例3 大、中、小三種杯子，2大杯相當于5中杯，3中杯相當于4小杯.如果記號表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求與之比.解：大杯與中杯容量之比是52=104，中杯與小杯容量之比是43，大杯、中杯與小杯容量之比是1043.=（10×2+4×3+3×4）（10×5+4×4+3×3）=4475.答：兩者容量

14、之比是4475.把52與43這兩個比合在一起，成為三樣東西之比1043，稱為連比.例3中已告訴你連比的方法，再舉一個更一般的例子.甲乙=35，乙丙=74，35=3×75×7=2135，74=7×54×5=3520，甲乙丙=213520.花了多少錢？解：根據(jù)比例與乘法的關(guān)系，連比后是甲乙丙=2×163×163×2=324863.答：甲、乙、丙三人共花了429元.例5 有甲、乙、丙三枚長短不相同的釘子，甲與乙，而它們留在墻外的部分一樣長.問：甲、乙、丙的長度之比是多少？解：設(shè)甲的長度是6份.x=54.乙與丙的長度之比是而甲與乙的

15、長度之比是 65=3025. 甲乙丙=302526.答：甲、乙、丙的長度之比是302526.于利用已知條件65，使大部分計算都整數(shù)化.這是解比例和分數(shù)問題的常用手段.例6 甲、乙、丙三種糖果每千克價分別是22元、30元、33元.某人買這三種糖果，在每種糖果上所花錢數(shù)一樣多，問他買的這些糖果每千克的平均價是多少元？解一：設(shè)每種糖果所花錢數(shù)為1，因此平均價是答：這些糖果每千克平均價是27.5元.上面解法中，算式很容易列出，但計算卻使人感到不易.最好的計算方法是，用22，30，33的最小公倍數(shù)330，乘這個繁分數(shù)的分子與分母，就有：事實上，有稍簡捷的解題思路.解二：先求出這三種糖果所買數(shù)量之比.不妨

16、設(shè)，所花錢數(shù)是330，立即可求出，所買數(shù)量之比是甲乙丙=151110.平均數(shù)是（15+11+10）÷3=12.單價33元的可買10份，要買12份，單價是下面我們轉(zhuǎn)向求比的另一問題，即“比的分配”問題，當一個數(shù)量被分成若干個數(shù)量，如果知道這些數(shù)量之比，我們就能求出這些數(shù)量.例7 一個分數(shù)，分子與分母之和是100.如果分子加23，分母加32，解：新的分數(shù)，分子與分母之和是（10+23+32），而分子與分母之比23.因此例8 加工一個零件，甲需3分鐘，乙需3.5分鐘，丙需4分鐘，現(xiàn)有1825個零件要加工，為盡早完成任務，甲、乙、丙應各加工多少個？所需時間是多少？解：三人同時加工，并且同一時

17、間完成任務，所用時間最少，要同時完成，應根據(jù)工作效率之比，按比例分配工作量.三人工作效率之比是他們分別需要完成的工作量是所需時間是700×3=2100分鐘）=35小時 .答：甲、乙、丙分別完成700個，600個，525個零件，需要35小時.這是三個數(shù)量按比例分配的典型例題.例9 某團體有100名會員，男會員與女會員的人數(shù)之比是1411，會員分成三個組，甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多.各組男會員與女會員人數(shù)之比是：甲：1213，乙：53，丙：21，那么丙有多少名男會員？解：甲組的人數(shù)是100÷2=50（人）.乙、丙兩組男會員人數(shù)是 56-24=32 （人）.答：丙組有12

18、名男會員.上面解題的最后一段，實質(zhì)上與“雞兔同籠”解法一致，可以設(shè)想，“兔例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程長之比依次是123.小龍走各段路程所用時間之比依次是456.已知他上坡時速度為每小時3千米，路程全長50千米.問小龍走完全程用了多少時間？解一：通常我們要求出小龍走平路與下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.上坡、平路、下坡的速度之比是走完全程所用時間答：小龍走完全程用了10小時25分.上面是通常思路下解題.123計算中用了兩次，似乎重復計算，最后算式也頗費事.事實上，靈活運用比例有簡捷解法.解二：全程長是上坡這一段長的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的時設(shè)小龍走完全

19、程用x小時.可列出比例式 二、比的變化已知兩個數(shù)量的比，當這兩個數(shù)量發(fā)生增減變化后，當然比也發(fā)生變化.通過變化的描述，如何求出原來的兩個數(shù)量呢？這就是這一節(jié)的內(nèi)容.例11 甲、乙兩同學的分數(shù)比是54.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，則他們的分數(shù)比是57.甲、乙原來各得多少分？解一：甲、乙兩人的分數(shù)之和沒有變化.原來要分成5+4=9份，變化后要分成5+7=12份.如何把這兩種分法統(tǒng)一起來？這是解題的關(guān)鍵.9與12的最小公倍數(shù)是36，我們讓變化前后都按36份來算.54=（5×4）（4×4）=2016.57=（5×3）（7×3）=1521.甲少得22.

20、5分，乙多得22.5分，相當于20-15=5份.因此原來甲得22.5÷5×20=90（分），乙得 22.5÷5×16=72（分）.答：原來甲得90分，乙得72分.我們再介紹一種能解本節(jié)所有問題的解法，也就是通過比例式來列方程.解二：設(shè)原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根據(jù)得分變化，可列出比例式.（5x-22.5）（4x+22.5）=57即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5）15x=12×22.5 x=18.甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.解：其他球的數(shù)量沒有改變.增加8個紅球后，紅球與

21、其他球數(shù)量之比是5（14-5）=59.在沒有球增加時，紅球與其他球數(shù)量之比是1（3-1）=12=4.59.因此8個紅球是5-4.5=0.5（份）.現(xiàn)在總球數(shù)是答：現(xiàn)在共有球224個.本題的特點是兩個數(shù)量中，有一個數(shù)量沒有變.把12寫成4.59，就是充分利用這一特點.本題也可以列出如下方程求解：（x+8）2x=59.例13 張家與李家的收入錢數(shù)之比是85，開支的錢數(shù)之比是83，結(jié)果張家結(jié)余240元，李家結(jié)余270元.問每家各收入多少元？解一：我們采用“假設(shè)”方法求解.如果他們開支的錢數(shù)之比也是85，那么結(jié)余的錢數(shù)之比也應是85.張家結(jié)余240元，李家應結(jié)余x元.有240x=85，x=150（元）

22、.實際上李家結(jié)余270元，比150元多120元.這就是85中5份與83中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出答：張家收入720元，李家收入450元.解二：設(shè)張家收入是8份，李家收入是5份.張家開支的3倍與李家開支的8倍的錢一樣多.畫示意圖：張家開支的3倍是（8份-240）×3.李家開支的8倍是（5份-270）×8.從圖上可以看出5×8-8×3=16份，相當于 270×8-240×3=1440（元）.因此每份是1440÷16=90（元）.張家收入是90×8=720（元），李家收入是9

23、0×5=450（元）.本題也可以列出比例式：（8x-240）（5x-270）=83.然后求出x.事實上，解方程求x的計算，與解二中圖解所示是同一回事，圖解有算術(shù)味道，而且一些數(shù)量關(guān)系也直觀些.例14 A和B兩個數(shù)的比是85，每一數(shù)都減少34后，A是B的2倍，求這兩個數(shù).解：減少相同的數(shù)34，因此未減時，與減了以后，A與B兩數(shù)之差并沒有變，解題時要充分利用這一點.85，就是8份與5份，兩者相差3份.減去34后，A是B的2倍，就是21，兩者相差1.將前項與后項都乘以3，即21=63，使兩者也相差3份.現(xiàn)在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是342=17.A數(shù)是17

24、×8=136，B數(shù)是17×5=85.答：A，B兩數(shù)分別是136與85.本題也可以用例13解一“假設(shè)”方法求解，不過要把減少后的21，改寫成84.例15 小明和小強原有的圖畫紙之比是43，小明又買來15張.小強用掉了8張，現(xiàn)有的圖畫紙之比是52.問原來兩人各有多少張圖畫紙？解一：充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性.4+3=7，5+2=7，15-8=7.原來總數(shù)分成7份，變化后總數(shù)仍分成7份，總數(shù)多了7張，因此，新的1份=原來1份+1原來4份，新的5份，5-4=1，因此新的1份有15-1×4=11（張）.小明原有圖畫紙11×5-15=40（張），小強原有圖畫紙11&#

25、215;2+8=30（張）.答：原來小明有40張，小強有30張圖畫紙.解二：我們也可采用例13解一的“假設(shè)”方法.先要將兩個比中的前項化成同一個數(shù)（實際上就是通分）43=201552=208.但現(xiàn)在是208，因此這個比的每一份是當然，也可以采用實質(zhì)上與解方程完全相同的圖解法.解三：設(shè)原來小明有4“份”，小強有3“份”圖畫紙.把小明現(xiàn)有的圖畫紙張數(shù)乘2，小強現(xiàn)有的圖畫紙張數(shù)乘5，所得到的兩個結(jié)果相等.我們可以畫出如下示意圖：從圖上可以看出，3×5-4×2=7（份）相當于圖畫紙15×2+8×5=70（張）.因此每份是10張，原來小明有40張，小強有30張.例

26、11至15這五個例題是同一類型的問題.用比例式的方程求解沒有多大差別.用算術(shù)方法，卻可以充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性，找到較簡捷的解法，也啟示一些隨機應變的解題思路.另外，解方程的代數(shù)運算，對小學生說來是超前的，不容易熟練掌握.例13的解一，也是一種通用的方法.“假設(shè)”這一思路是很有用的，希望讀者能很好掌握，靈活運用.從課外的角度，我們更應啟發(fā)小同學善于思考，去找靈巧的解法，這就要充分利用數(shù)據(jù)的特殊性.因此我們總是先講述靈巧的解法，利于心算，促進思維.例16 粗蠟燭和細蠟燭長短一樣.粗蠟燭可以點5小時，細蠟燭可以點4小時.同時點燃這兩支蠟燭，點了一段時間后，粗蠟燭長是細蠟燭長的2倍.問這兩支蠟燭點

27、了多少時間？我們把問題改變一下：設(shè)細蠟燭長度是2，每小時點等需要時間是答：這兩支蠟燭點了3小時20分.把細蠟燭的長度和每小時燒掉的長度都乘以2，使原來要考慮的“2倍”變成“相等”，思考就簡捷了.解這類問題這是常用的技巧.再請看一個稍復雜的例子.例17 箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球數(shù)是白球數(shù)的3倍多2只.每次從箱子里取出7只白球，15只紅球，經(jīng)過若干次后，箱子里剩下3只白球，53只紅球，那么，箱子里原來紅球數(shù)比白球數(shù)多多少只？解：因為紅球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以對3倍的白球，每次取15只，最后應剩51只.因為白球每次取7只，最后剩下3只，所以對3倍的白球，每次取

28、7×321只，最后應剩 3×3 9只.因此.共取了（51- 3×3）÷（7×3-15） 7（次）.紅球有 15×7 53 158（只）.白球有 7×7352（只）.原來紅球比白球多 158-52106（只）.答：箱子里原有紅球數(shù)比白球數(shù)多106只.三、比例的其他問題 ，這里必須用分數(shù)來說，而不能用比.實際上它還是隱含著比例關(guān)系：（甲-7）乙= 23.因此，有些分數(shù)問題，就是比例問題.加33張，他們兩人取的畫片一樣多.問這些畫片有多少張？答：這些畫片有261張.解：設(shè)最初的水量是1，因此最后剩下的水是樣重，就有因此原有水的重量

29、是答：容器中原來有8.4千克水.例18和例19，通常在小學數(shù)學中，叫做分數(shù)應用題.“比”有前項和后項，當兩項合在一起寫成一個分數(shù)后，才便于與其他數(shù)進行加、減運算.這就是把比（或除法）寫成分數(shù)的好處.下面一個例題卻是要把分數(shù)寫成比，計算就方便些.例20 有兩堆棋子， A堆有黑子 350個和白子500個， B堆有黑子 堆中拿到 A堆黑子、白子各多少個？子100個，使余下黑子與白子之比是（40-100）10031.再要從 B堆拿出黑子與白子到A堆，拿出的黑子與白子數(shù)目也要保持31的比.現(xiàn)在 A堆已有黑子 350 100 450個），與已有白子500個，相差從B堆再拿出黑子與白子，要相差50個，又要符

30、合31這個比，要拿出白子數(shù)是50÷（3-1）25（個）.再要拿出黑子數(shù)是 25×3 75（個）.答：從B堆拿出黑子 175個，白子25個.人，問高、初中畢業(yè)生共有多少人？解一：先畫出如下示意圖：6-51，相當于圖中相差 17-125（份），初中總?cè)藬?shù)是 5×630份，因此，每份人數(shù)是520÷（30-17）= 40（人）.因此，高、初中畢業(yè)生共有40×（1712） 1160（人）.答：高、初中畢業(yè)生共1160人.計算出每份是例21與例14是完全一樣的問題，解一與例14的解法也是一樣的.（你是否發(fā)現(xiàn)？）解二是通常分數(shù)應用題的解法，顯然計算不如解一簡

31、便.例18，19，20，21四個例題說明分數(shù)與比例各有好處，你是否從中有所心得？當然關(guān)鍵還是在于靈活運用.下的錢共有多少元？解：設(shè)鋼筆的價格是1.這樣就可以求出，鋼筆價格是張剩下的錢數(shù)是李剩下的錢數(shù)答：張、李兩人剩下的錢共28元.題中有三個分數(shù)，但它們比的基準是不一樣的.為了統(tǒng)一計算單位，設(shè)定鋼筆的價格為1.每個人原有的錢和剩下的錢都可以通過“1”統(tǒng)一地折算.解分數(shù)應用題中，設(shè)定統(tǒng)一的計算單位是常用的解題技巧.作為這一講最后的內(nèi)容，我們通過兩個例題，介紹一下“混合比”.用100個銀幣買了100頭牲畜，問豬、山羊、綿羊各幾頭？這是十八世紀瑞士大數(shù)學家歐拉（17071783）提出的問題.們設(shè)1頭豬

32、和5頭綿羊為A組，3頭山羊和2頭羊綿為B組.A表示A組的數(shù)，B表示B組的數(shù)，要使（1 5）× A（3 2）× B100，或簡寫成 6A5B100.就恰好符合均價是1.類似于第三講雞兔同籠中例17，很明顯，A必定是5的整數(shù)倍.A5， B 4， 6×5 5×450，50是 100的約數(shù)，符合要求.A5，豬 5頭，綿羊 25頭，B=4，山羊12頭，綿羊8頭.豬山羊綿羊=512（258）.現(xiàn)在已把15和32兩種比，組合在一起通常稱為混合比.要注意，這樣的問題常常有多種解答.A= 5， B14或 A15，B2才能產(chǎn)生解答，相應的豬、山羊、綿羊混合比是54253或1

33、5679.答：有三組解答.買豬、山羊、綿羊的頭數(shù)是10，24，66；或者5，42，53；或者15，6，79.求混合比是一種很實用的方法，對數(shù)學有興趣的小學同學，學會這種方法是有好處的，會增加靈活運用比例的技巧.通常求混合比可列下表：下面例題與例23是同一類型，但由于題目的條件，解法上稍有變化.例24 某商品76件，出售給33位顧客，每位顧客最多買三件，買 1件按定價，買2件降價 10，買 3件降價 20.最后結(jié)算，平均每件恰好按原定價的 85出售，那么買3件的顧客有多少人？解：題目已給出平均數(shù) 85，可作比較的基準.1人買3件少 5×3；1人買2件多 5×2；1人買1件多

34、15 ×1.1人買3件與1人買1件成A組，即按11比例，2人買3件與3人買2件成B組，即按23的比例.A組是2人買4件，每人平均買2件.B組是5人買12件，每人平均買2.4件.現(xiàn)在已建立了一個雞兔同籠型問題：總腳數(shù)76，總頭數(shù)33，兔腳數(shù)2.4，雞腳數(shù)2.B組人數(shù)是（76-2×33）÷（24-2） 25（人），A組人數(shù)是 33-258（人），其中買 3件4人，買 1件4人.10 4 14（人）.答：買3件的顧客有14位.建立兩種比的A組和B組，與例23的解題思路完全一致，只是后面解法稍有不同.因為對A組和B組，不僅要從人數(shù)考慮滿足2A+5B33，還要從買的件數(shù)考慮

35、滿足 4A12B76.這已完全確定了A組和B組的數(shù)，不必再求混合比第一講 行程問題走路、行車、一個物體的移動，總是要涉及到三個數(shù)量：距離走了多遠，行駛多少千米，移動了多少米等等；速度在單位時間內(nèi)（例如1小時內(nèi)）行走或移動的距離；時間行走或移動所花時間.這三個數(shù)量之間的關(guān)系，可以用下面的公式來表示：距離=速度×時間很明顯，只要知道其中兩個數(shù)量，就馬上可以求出第三個數(shù)量.從數(shù)學上說，這是一種最基本的數(shù)量關(guān)系，在小學的應用題中，這樣的數(shù)量關(guān)系也是最常見的，例如總量=每個人的數(shù)量×人數(shù).工作量=工作效率×時間.因此，從行程問題入手，掌握一些處理這種數(shù)量關(guān)系的思路

36、、方法和技巧，就能解其他類似的問題.當然，行程問題有它獨自的特點，在小學的應用題中，行程問題的內(nèi)容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學，而且在中學數(shù)學、物理的學習中，也是一個重點內(nèi)容.因此，我們非常希望大家能學好這一講，特別是學會對一些問題的思考方法和處理技巧.這一講，用5千米/小時表示速度是每小時5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米一、追及與相遇有兩個人同時在行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問題”.實質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時間內(nèi)，比走得慢的人多走的距離，也就是要計算兩人走的距離之差.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時間內(nèi)，甲走

37、的距離-乙走的距離= 甲的速度×時間-乙的速度×時間=（甲的速度-乙的速度）×時間.通常，“追及問題”要考慮速度差.例1 小轎車的速度比面包車速度每小時快6千米，小轎車和面包車同時從學校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達城門，當面包車到達城門時，小轎車已離城門9千米，問學校到城門的距離是多少千米？解：先計算，從學校開出，到面包車到達城門用了多少時間.此時，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時，因此所用時間=9÷61.5（小時）.小轎車比面包車早10分鐘到達城門，面包車到達時，小轎車離城門9千米，說明小轎車的

38、速度是面包車速度是 54-648（千米/小時）.城門離學校的距離是48×1.572（千米）.答：學校到城門的距離是72千米.例2 小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問家到公園多遠？解一：可以作為“追及問題”處理.假設(shè)另有一人，比小張早10分鐘出發(fā).考慮小張以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時間是50 ×10÷（75- 50） 20（分鐘）?因此，小張走的距離是75× 20 1500（米）.答：從家到公園的距離是1500米.還有一種不少人采用的方法.家到公園的距離是一種解法好不好，首先是“易于思考”，其

39、次是“計算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢？對不同的解法進行比較，能逐漸形成符合你思維習慣的解題思路.例3 一輛自行車在前面以固定的速度行進，有一輛汽車要去追趕.如果速度是30千米/小時，要1小時才能追上；如果速度是 35千米/小時，要 40分鐘才能追上.問自行車的速度是多少？解一：自行車1小時走了30×1-已超前距離，自行車40分鐘走了自行車多走20分鐘，走了因此，自行車的速度是 答：自行車速度是20千米/小時.解二：因為追上所需時間=追上距離÷速度差1小時與40分鐘是32.所以兩者的速度差之比是23.請看下面示意圖：馬上可看出前一速度差是15.自行車速度是35- 15

40、20（千米/小時）.解二的想法與第二講中年齡問題思路完全類同.這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分？解：畫一張簡單的示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-44（千米）.而爸爸騎的距離是 4 8 12（千米）.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 12÷43（倍）.按照這個倍數(shù)計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×324（千米）.但事實上，爸

41、爸少用了8分鐘，騎行了41216（千米）.少騎行24-168（千米）.摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.881632.答：這時是8點32分.下面講“相遇問題”.小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實質(zhì)上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時出發(fā)，那么甲走的距離+乙走的距離=甲的速度×時間+乙的速度×時間=（甲的速度+乙的速度）×時間.“相遇問題”，常常要考慮兩人的速度和.例5 小張從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇？解：走同樣長的距離，小張花費的時間

42、是小王花費時間的 36÷123（倍），因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說，在同一時間內(nèi)，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小張走了1段，小張花費的時間是36÷（31）9（分鐘）.答：兩人在9分鐘后相遇.例6 小張從甲地到乙地，每小時步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時步行4千米.兩人同時出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離.解：畫一張示意圖離中點1千米的地方是A點，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發(fā)到相遇，小張比小王多走了

43、2千米小張比小王每小時多走（5-4）千米，從出發(fā)到相遇所用的時間是2÷（5-4）2（小時）.因此，甲、乙兩地的距離是（5 4）×218（千米）.本題表面的現(xiàn)象是“相遇”，實質(zhì)上卻要考慮“小張比小王多走多少？”豈不是有“追及”的特點嗎？對小學的應用題，不要簡單地說這是什么問題.重要的是抓住題目的本質(zhì)，究竟考慮速度差，還是考慮速度和，要針對題目中的條件好好想一想.千萬不要“兩人面對面”就是“相遇”，“兩人一前一后”就是“追及”.例7 甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，6小時后相遇于C點.如果甲車速度不變，乙車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，則

44、相遇地點距C點12千米；如果乙車速度不變，甲車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點距C點16千米.求A，B兩地距離.解：先畫一張行程示意圖如下設(shè)乙加速后與甲相遇于D點，甲加速后與乙相遇于E點.同時出發(fā)后的相遇時間，是由速度和決定的.不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加5千米，因此，不論在D點相遇，還是在E點相遇，所用時間是一樣的，這是解決本題的關(guān)鍵.下面的考慮重點轉(zhuǎn)向速度差.在同樣的時間內(nèi)，甲如果加速，就到E點，而不加速，只能到 D點.這兩點距離是 12 16 28（千米），加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時.因此，在D點（或E點）相遇所用時間是

45、28÷5 5.6（小時）.比C點相遇少用 6-5.60.4（小時）.甲到達D，和到達C點速度是一樣的，少用0.4小時，少走12千米，因此甲的速度是12÷0.430（千米/小時）.同樣道理，乙的速度是16÷0.440（千米/小時）.A到 B距離是（30 40）×6 420（千米）.答： A，B兩地距離是 420千米.很明顯，例7不能簡單地說成是“相遇問題”.例8 如圖，從A到B是1千米下坡路，從B到C是3千米平路，從C到D是2.5千米上坡路.小張和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時，平路速度都是4千米/小時，上坡速度都是2千米/小時.問：（1）小張和小王

46、分別從A， D同時出發(fā)，相向而行，問多少時間后他們相遇？（2）相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當某一個人達到終點時，另一人離終點還有多少千米？解：（1）小張從 A到 B需要 1÷6×60 10（分鐘）；小王從 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60 25（分鐘）；當小王到達 C點時，小張已在平路上走了 25-1015（分鐘），走了因此在 B與 C之間平路上留下 3- 1 2（千米）由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時間是2 ÷（4 4）×60 15（分鐘）.從出發(fā)到相遇的時間是25 15 40 （分鐘）.（2）相遇后，小王再走30分鐘

47、平路，到達B點，從B點到 A點需要走 1÷2×60=30分鐘，即他再走 60分鐘到達終點.小張走15分鐘平路到達D點，45分鐘可走小張離終點還有2.5-1.5=1（千米）.答：40分鐘后小張和小王相遇.小王到達終點時，小張離終點還有1千米.二、環(huán)形路上的行程問題人在環(huán)形路上行走，計算行程距離常常與環(huán)形路的周長有關(guān).例9 小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.（1）小張和小王同時從同一地點出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？（2）小張和小王同時從同一點出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王

48、？解：（1 ）75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個周長的行程.小張的速度是500÷1.25-180=220（米/分）.（2）在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈（一個周長），因此需要的時間是500÷（220-180）12.5（分）.220×12.5÷5005.5（圈）.答：（1）小張的速度是220米/分；（2）小張跑5.5圈后才能追上小王.例10 如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張在A點，小王在B點同時出發(fā)反向行走，他們在C點第一次相遇，C離A點80米；在D點第二次相遇，D點離B點6O米.求這個圓的周長.解：第一次相遇，兩

49、人合起來走了半個周長；第二次相遇，兩個人合起來又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應該是從A到C距離的3倍，即A到D是80×3240（米）.240-60=180（米）.180×2360（米）.答：這個圓的周長是360米.在一條路上往返行走，與環(huán)行路上行走，解題思考時極為類似，因此也歸入這一節(jié).例11 甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達另一村后就馬上返回）.在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達甲村后返回，在離甲村2千

50、米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少？解：畫示意圖如下：如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時間是40×3÷602（小時）.從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了6×2-210（千米）.小王已走了 62=8（千米）.因此，他們的速度分別是小張 10÷25（千米/小時），小王 8÷2=4（千米/小時）.答：小張和小王的速度分別是5千米/小時和4千米/小時.例12 小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達另一村后就馬上返回），他們在離甲村3.5

51、千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點離乙村多遠（相遇指迎面相遇）？解：畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了3.5×310.5（千米）.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是10.5-28.5（千米）.每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時，兩人已共同走了兩村距離（322）倍的行程.其中張走了3.5×724.5（千米），24.5=8.58.57.5（千米）.就知道第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1（千米）.答：第四次相遇地點離乙村1千米.下面仍回到環(huán)

52、行路上的問題.例13 繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點同時出發(fā)反向而行.小王以4千米/小時速度每走1小時后休息5分鐘；小張以6千米/小時速度每走50分鐘后休息10分鐘.問：兩人出發(fā)多少時間第一次相遇？解：小張的速度是6千米/小時，50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時間與行程列出下表：121527比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時10分至3小時15分之間.出發(fā)后2小時10分小張已走了此時兩人相距24-（811）=5（千米）.由于從此時到相遇已不會再休息，因此共同走完這5千米所需時間是5÷（46）0.5（小時）.2小時10分再加上半小時是2小時40分.答：他們

53、相遇時是出發(fā)后2小時40分.例14 一個圓周長90厘米，3個點把這個圓周分成三等分，3只爬蟲A，B，C分別在這3個點上.它們同時出發(fā)，按順時針方向沿著圓周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬蟲出發(fā)后多少時間第一次到達同一位置？解：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時候能到達同一位置.開始時，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C（5-3）厘米0.30÷（5-3）15（秒）.因此15秒后B與C到達同一位置.以后再要到達同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90÷（5-3）45（秒）.B與C到達同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是15，105，

54、150，195，再看看A與B什么時候到達同一位置.第一次是出發(fā)后30÷（10-5）=6（秒），以后再要到達同一位置是A追上B一圈.需要90÷（10-5）18（秒），A與B到達同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是6，24，42，78，96，對照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲到達同一位置.答：3只爬蟲出發(fā)后60秒第一次爬到同一位置.請思考， 3只爬蟲第二次到達同一位置是出發(fā)后多少秒？例15 圖上正方形ABCD是一條環(huán)形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時，在BC上的速度是120千米/小時，在CD上的速度是60千米/小時，在DA上的速度是80千米/小時.從CD上一點P，同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點相遇.如果從PC中點M，同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB上一點N處相遇.求解：兩車同時出發(fā)至相遇，兩車行駛的時間一樣多.題中有兩個“相遇”，解題過程就是時間的計算.要計算方便，取什么作計算單位是很重要的.設(shè)汽車行駛CD所需時間是1.根據(jù)“走同樣距離，時間與速度成反比”，可得出分數(shù)計算總不太方便，把這些所需時間都乘以24.這樣，汽車行駛CD，BC，AB，AD所需時間分別是2