1、會計學(xué)1二元函數(shù)二元函數(shù)(hnsh)的極限的極限55003第一頁，共37頁。一、二元函數(shù)(hnsh)的極限 f2RD 0P定義1 設(shè)二元函數(shù) 定義在上, 為 D 的 一個聚點, A 是一實數(shù). 若0,0, 使得當(dāng) 0(;)PUPD 時, 都有 在對PD 不致產(chǎn)生誤解時, 也可簡單地寫作 f0PP則稱在 D 上當(dāng)時以 A 為極限, 記作 第1頁/共36頁第二頁，共37頁。0P00( , ),(,)x yxy當(dāng) P, 分別用坐標(biāo) 表示時, 上式也 常寫作(xizu) 例1 依定義驗證證 因為(yn wi) 227xxyy22(4)2(1)xxyy第2頁/共36頁第三頁，共37頁。不妨先限制(xin

2、zh)在點(2, 1)的方鄰域 內(nèi)來討論(toln), 于是有第3頁/共36頁第四頁，共37頁。0,min (1,),14 取取|2|, |1|xy 當(dāng)( ,)(2,1)x y 且且 時, 就有 這就證得 所以(suy)第4頁/共36頁第五頁，共37頁。例2 設(shè) 證明( ,)(0,0)lim( ,)0.x yf x y 證(證法一) 0, 由由第5頁/共36頁第六頁，共37頁。可知 222 ,0,xy 當(dāng)當(dāng)時時 便便有有故( ,)(0,0)lim( ,)0.x yf x y 注意 不要把上面(shng min)的估計式錯寫成：第6頁/共36頁第七頁，共37頁。( ,)(0, 0)x y ( ,

3、)(0, 0),x y 因為的過程只要求 即 220,xy 0.xy 而并不要求 (證法二) 作極坐標(biāo)變換 cos ,sin .xryr 這時 ( ,)(0, 0)x y 0r 等價于( 對任何 ). 由于 因此，220,2,rxy只須只須對任何 第7頁/共36頁第八頁，共37頁。都有 下述定理(dngl)及其推論相當(dāng)于一元函數(shù)極限的海涅歸結(jié)原則(而且(r qi)證明方法也相類似). 定理16.5 0lim( )PPP Df PA 的充要條件是：對于 D 的 任一子集 E,只要 仍是 E 的聚點,就有0P第8頁/共36頁第九頁，共37頁。1ED 01lim( )PPP Ef P 推論1 若,

4、P0 是 E1 的聚點, 使 不存在, 則0lim( )PPP Df P 也不存在 120,E ED P 推論2 若 是它們的聚點，使得12AA 0lim( )PPP Df P 都存在，但, 則不存在第9頁/共36頁第十頁，共37頁。推論3 極限 0lim( )PPP Df P 存在的充要條件是：D 中任 一滿足條件00lim,nnnnPPPPP 且且點點列列的的 它所 對應(yīng)的函數(shù)列()nf P都收斂 下面三個例子(l zi)是它們的應(yīng)用 22( ,)xyf x yxy ( ,)(0, 0)x y 例3 討論當(dāng)時是否存在極限(jxin)( 注: 本題結(jié)論很重要, 以后常會用到. ) 解 當(dāng)動點

5、 (x, y) 沿著直線 而趨于定點 (0, 0) ymx第10頁/共36頁第十一頁，共37頁。時，由于2( ,)( ,)1mf x yf x mxm , 因此有 這說明動點沿不同斜率 m 的直線(zhxin)趨于原點時, 對應(yīng) 的極限(jxin)值不相同，因而所討論的極限(jxin)不存在第11頁/共36頁第十二頁，共37頁。如圖 16-15 所示, 當(dāng) (x, y) 沿任何(rnh)直線趨于原點時, 相應(yīng)的 ( ,)f x y都趨于 0, 但這并不表明此函數(shù)在 第12頁/共36頁第十三頁，共37頁。( , )(0, 0)x y 時的極限為 0. 因為當(dāng) (x, y) 沿拋物線 2(01)y

6、kxk( ,)f x y 趨于點 O 時, 將趨于1. 所以極限 ( , )(0,0)lim( , )x yf x y不存在. ( , )xyf x yxy ( ,)(0, 0)x y 例5 討論在 時不 存在(cnzi)極限 解 利用定理(dngl) 16.5 的推論 2, 需要找出兩條路徑, 沿 著此二路徑而使 ( ,)(0, 0)x y 時, 得到兩個相異 的極限(jxin) 第13頁/共36頁第十四頁，共37頁。第一條路徑簡單地取,yx 此時有 第二條路徑可考慮能使( , )xyf x yxy 的分子與 分母化為同階的無窮小, 導(dǎo)致極限(jxin)不為 0. 按此思路 的一種有效選擇,

7、 是取 2.yxx 此時得到 第14頁/共36頁第十五頁，共37頁。這就達到(d do)了預(yù)期的目的 ( 非正常極限(jxin) ) 的定義 定義2 設(shè) D 為二元函數(shù)f的定義域， 000(,)P xy是 D 的一個聚點. 若 0,0,M 使得 0PP 則稱 f在 D 上當(dāng) 時, 有非正常極限 , 記作 ( , )f x y 下面再給出當(dāng) 時, 000( , )(,)P x yP xy第15頁/共36頁第十六頁，共37頁?；?0lim( ).PPf P 仿此可類似(li s)地定義：例6 設(shè) 221( ,)23f x yxy . 證明 證 此函數(shù)(hnsh)的圖象見圖16 -16. 第16頁/

8、共36頁第十七頁，共37頁。第17頁/共36頁第十八頁，共37頁。2222234()xyxy0,M 因 , 故對只需取 這就證得結(jié)果(ji gu) 二元函數(shù)極限的四則法則(fz)與一元函數(shù)極限相仿, 特 同, 這里(zhl)不再一一敘述.( , )f x y( )f P看作點函數(shù)別把 時, 相應(yīng)的證法也相 第18頁/共36頁第十九頁，共37頁。二、累次(lic)極限是以任何方式趨于 這種極限也稱為重 00(,),xy的的極限. 下面要考察 x 與 y 依一定(ydng)的先后順序, 相繼趨 在上面討論的00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y中, 自變量 ( , )x y0 x于

9、與 時 f 的極限, 這種極限稱為累次極限. 0y定義3 ( , ),( , ),f x yx yDDxy設(shè)在軸、 軸上的投設(shè)在軸、 軸上的投第19頁/共36頁第二十頁，共37頁。如果進一步還存在(cnzi)極限 累次(lic)極限, 記作 0()xx0()yy則稱此 L 為 先對 后對的 ( , )f x y0lim( ,)xxf x y，它一般與 y 有關(guān), 記作 存在極限存在極限第20頁/共36頁第二十一頁，共37頁。類似地可以(ky)定義先對 y 后對 x 的累次極限: 注 累次極限與重極限是兩個(lin )不同的概念, 兩者之間沒有蘊涵關(guān)系(gun x). 下面三個例子將說明這一點.

10、 22( ,)xyf x yxy ( , )f x y例7 設(shè) . 由例 3 知道 當(dāng)( , )(0, 0)x y 0y 時的重極限不存在. 但當(dāng)時, 有 第21頁/共36頁第二十二頁，共37頁。從而(cng r)又有 同理可得 這說明 f 的兩個累次極限(jxin)都存在而且相等. 累次極限(jxin)分別為 例8 設(shè) , 它關(guān)于原點的兩個 22( , )xyxyf x yxy第22頁/共36頁第二十三頁，共37頁。當(dāng)沿斜率不同的直線,( ,)(0, 0)ymxx y 時, 有 訴我們, 這個(zh ge)結(jié)果是必然的. ) 因此該函數(shù)的重極限不存在. ( 下面的定理 16.6 將告 第23

11、頁/共36頁第二十四頁，共37頁。例 設(shè)11( ,)sinsinf x yxyyx, 它關(guān)于原點的兩 個累次極限都不存在. 這是因為對任何 0,y 而而當(dāng)當(dāng)0 x 時, f 的第二項不存在極限. 同理, f 的第一 項當(dāng) 時也不存在極限. 但是由于 0y 故按定義知道 時 f 的重極限存在, 且 ( , )(0,0)x y 第24頁/共36頁第二十五頁，共37頁。下述定理告訴我們: 重極限(jxin)與累次極限(jxin)在一定條件 下也是有聯(lián)系(linx)的. 定理16.6 若 f (x, y) 的重極限 與 00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y累次極限 00lim lim(

12、 ,)xxyyf x y都存在, 則兩者必定相等. 證 設(shè) 0,0, 0( ,)(;)P x yUP 則使得當(dāng)時, 有第25頁/共36頁第二十六頁，共37頁。的 x, 存在(cnzi)極限 另由存在(cnzi)累次極限之假設(shè), 對任一滿足不等式 0yy回到不等式(1), 讓其中, 由 (3) 可得故由 (2), (4) 兩式, 證得0lim( )xxxA , 即第26頁/共36頁第二十七頁，共37頁。由這個定理立即導(dǎo)出如下兩個便于應(yīng)用(yngyng)的推論. 00lim lim( ,)xxyyf x y00lim lim( ,)yy xxf x y, 推論1 若重極限 和累次極限 00( ,)

13、(,)lim( ,)x yxyf x y都存在(cnzi), 則三者必定相等. 推論(tuln)2 若累次極限都存在但不相等, 則重極限00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y必定 不存在. 第27頁/共36頁第二十八頁，共37頁。請注意: (i) 定理 16.6 保證了在重極限(jxin)與一個累次 極限都存在時, 它們必相等. 但對另一個(y )累次極限的 存在(cnzi)性卻得不出什么結(jié)論, 對此只需考察本節(jié)習(xí)題 之 2(5). (ii) 推論 1 給出了累次極限次序可交換的一個充分條件. (iii) 推論 2 可被用來否定重極限的存在性(如例8 ). 第28頁/共36頁第二

14、十九頁，共37頁。 0000( , )(,)()f x yP xyUP在點的某鄰域內(nèi)在點的某鄰域內(nèi) 例10 設(shè) 試證明: 0000lim lim( ,)lim lim( ,).xxyyyy xxf x yf x y 第29頁/共36頁第三十頁，共37頁。證 01 (lim( )0,(ii),yyyA 證明存在由條件證明存在由條件第30頁/共36頁第三十一頁，共37頁。根據(jù)柯西準(zhǔn)則, 證得0lim( ).yyyA 存在存在1 0( , )(),x yUPy 當(dāng)且與當(dāng)且與利用條件 (ii) 與結(jié)論 , 0y第31頁/共36頁第三十二頁，共37頁。又有|( )|,xA即即這就證得第32頁/共36頁第三十三頁，共37頁。注 本例給出了二累次(lic)極限相等的又一充分條件. 與 定理(dngl)16. 6 的推論1 相比較, 在這里的條件 (i) 與 (ii) 成立時, 重極限00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y 未必存在. 第33頁/共36頁第三十四頁，共37頁。復(fù)習(xí)(fx)思考題試問累次(lic)極限是否就是動點1( , )1617x yl 按圖中兩條特殊路徑按圖中兩條特殊路徑第34頁/共36頁第三十五頁，共37頁。第35頁/共36頁第三十六頁，共37頁。No