1、極限思想的辯證思考摘 要: 極限理論貫穿整個(gè)微積分學(xué), 是微積分的重要內(nèi)容和難點(diǎn)。認(rèn)識(shí)極限思想是把握和理解極限理論的前提。通過(guò)極限思想與辨證哲學(xué)的緊密, 加強(qiáng)極限思想的辨證理解 , 有助于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。關(guān)鍵詞 : 極限思想 ; 辨證哲學(xué) ; 對(duì)立統(tǒng)一0 引言。微積分是研究客觀世界運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的一門(mén)學(xué)科 , 我們引入極限概念對(duì)客觀世界運(yùn)動(dòng)過(guò)程加以描述 , 用極限方法建立其數(shù)量關(guān)系并研究其運(yùn)動(dòng)結(jié)果。 極限理論是微積分學(xué)的基礎(chǔ)理論 , 貫穿整個(gè)微積分學(xué)。 要學(xué)好微積分 , 必須認(rèn)識(shí)和理解極限理論 , 而把握極限理論的前提 , 首先要認(rèn)識(shí)極限思想。 極限思想蘊(yùn)涵著豐富的辯證思想 , 是變

2、與不變、過(guò)程與結(jié)果、有限與無(wú)限、近似與精確、量變與質(zhì)變以及否定與肯定的對(duì)立統(tǒng)一。1 極限思想與辯證哲學(xué)的。極限思想是變與不變的對(duì)立統(tǒng)一?！白儭迸c“不變”反映了客觀事物運(yùn)動(dòng)變化與相對(duì)靜止兩種不同狀態(tài) , 不變是相對(duì)的 , 變是絕對(duì)的 , 但它們?cè)谝欢l件下又可相互轉(zhuǎn)化。例如 , 平面內(nèi)一條曲線 C 上某一點(diǎn) P 的切線斜率為 kp。除 P 點(diǎn)外曲線上點(diǎn)的斜率 k 是變量 ,kp 是不變量 , 曲線上不同的點(diǎn)對(duì)應(yīng)不同的斜率 K, 斜率 k 不可能等于 kp,k 與 kp 是變與不變的對(duì)立關(guān)系 ; 同時(shí) , 它們之間也體現(xiàn)了一種相互相互依賴的關(guān)系。 當(dāng)曲線上的點(diǎn)無(wú)限接近 P 點(diǎn)過(guò)程中 , 斜率 k

3、無(wú)限接近 kp, 變化的量向不變的量逐漸接近。當(dāng)無(wú)限接近的結(jié)果產(chǎn)生質(zhì)的飛躍時(shí) , 變量轉(zhuǎn)化為不變量 , 即“變”而“不變” , 這體現(xiàn)了變與不變的統(tǒng)一關(guān)系。極限思想是過(guò)程與結(jié)果的對(duì)立統(tǒng)一。過(guò)程和結(jié)果在哲學(xué)上是辯證統(tǒng)一的關(guān)系 , 在極限思想中也充分體現(xiàn)了結(jié)果與過(guò)程的對(duì)立統(tǒng)一。 在上例中 , 當(dāng)曲線上的點(diǎn)無(wú)限接近點(diǎn) P 的變化過(guò)程中 ,k 是變化過(guò)程 ,kp 是變化結(jié)果。一方面 , 無(wú)論曲線上點(diǎn)多么接近點(diǎn) P, 都不能與點(diǎn) P 重合 , 同樣曲線上變化點(diǎn)的斜率 k 也不等于 kp, 這體現(xiàn)了過(guò)程與結(jié)果的對(duì)立性 ; 另一方面 , 隨著無(wú)限接近過(guò)程的進(jìn)行 , 斜率 k 越來(lái)越接近 kp, 二者之間有緊

4、密的 , 無(wú)限接近的變化結(jié)果使得斜率 k 轉(zhuǎn)化為 kp, 這體現(xiàn)了過(guò)程與結(jié)果的統(tǒng)一性。 所以 , 通過(guò)研究曲線上點(diǎn)斜率 k 的變化過(guò)程得到 P 點(diǎn)的斜率 kp 就是過(guò)程與結(jié)果的對(duì)立統(tǒng)一。極限思想是有限與無(wú)限的對(duì)立統(tǒng)一。在辨證法中 , 有限與極限是對(duì)立統(tǒng)一的。無(wú)限與有限有本質(zhì)的不同 , 但二者又有 , 無(wú)限是有限的發(fā)展 , 同時(shí)借助極限法 , 從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限。例如 , 在極限式 lim n xn=a 中 xn 對(duì)應(yīng)數(shù)列中的每一項(xiàng) , 這些不同的數(shù)值 xn 既有相對(duì)靜止性 , 又有絕對(duì)的運(yùn)動(dòng)性。數(shù)列中的每一項(xiàng) xn 和 a 都是確定不變的量 , 是有限數(shù) ; 隨著 n 無(wú)限增大 , 有限數(shù) xn

5、向 a 無(wú)限接進(jìn) , 正是這些有限數(shù) xn 的無(wú)限變化 , 體現(xiàn)了無(wú)限運(yùn)動(dòng)的變化過(guò)程 , 這種無(wú)限運(yùn)動(dòng)變化結(jié)果是數(shù)值。因此在極限思想中無(wú)限是有限的發(fā)展 , 有限是無(wú)限的結(jié)果 , 他們既是對(duì)立又是統(tǒng)一的。極限思想是近似與精確的對(duì)立統(tǒng)一。近似與精確是對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系 , 在一定條件下可相互轉(zhuǎn)化 , 這種轉(zhuǎn)化是理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的重要方法。在極限抽象的概念中 , 引入實(shí)例如“圓內(nèi)接正多邊形面積” , 其內(nèi)結(jié)多邊形面積是該圓面積的近似值 , 當(dāng)多邊形的邊數(shù)無(wú)限增大時(shí) , 內(nèi)結(jié)多變形面積無(wú)限接近圓面積 , 取極限后就可得到圓面積的精確值 , 這就是借助極限法 , 從近似認(rèn)識(shí)精確。又如在極限式 li m n xn

6、=a 中 , 當(dāng) n 無(wú)限增大時(shí) , 數(shù)列的項(xiàng)x1,x2, ,xn 反映變量 xn 無(wú)限的變化過(guò)程 , 而 a 反映了變量 xn 無(wú)限變化的結(jié)果 , 每個(gè) xn 都是 a 的近似值 , 并且當(dāng) n 越大 , 精確度越高 ; 當(dāng) n 趨于無(wú)窮時(shí) , 近似值 xn 轉(zhuǎn)化為精確值 a。雖然近似與精確是兩個(gè)性質(zhì)不同、完全對(duì)立的概念 , 但是通過(guò)極限法 , 建立兩者之間的 , 在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。 因此近似與精確既是對(duì)立又是統(tǒng)一的。極限思想是量變與質(zhì)變的對(duì)立統(tǒng)一。在唯物辨證法中 ,任何事物都具有質(zhì)和量?jī)蓚€(gè)方面, 都是質(zhì)和量的統(tǒng)一體。質(zhì)是指事物成為它自身并區(qū)別于其他事物的內(nèi)在規(guī)定性, 量是指事物存在

7、的規(guī)模、發(fā)展程度和速度 ,以及它的構(gòu)成成分在空間上的排列組合等可以用數(shù)量來(lái)表示的規(guī)定性。量變和質(zhì)變既有區(qū)別又有, 兩者之間有著辯證關(guān)系。量變是質(zhì)變的準(zhǔn)備 ,量的變化達(dá)到一定的度 ,就不可避免地引起質(zhì)變 , 只有質(zhì)的變化才是事物根本性質(zhì)的變化 , 量變質(zhì)變規(guī)律在數(shù)學(xué)研究工作中起重要作用。對(duì)任何一個(gè)單位圓的內(nèi)接正多邊形 , 事物的質(zhì)是圓的內(nèi)接多邊形, 量是內(nèi)接多邊形的邊數(shù) , 當(dāng)邊數(shù)無(wú)限增加 , 得到的仍是圓內(nèi)接正多邊形, 是量變 , 不是質(zhì)變 , 量變體現(xiàn)事物發(fā)展的連續(xù)性 ,在事物量變過(guò)程中 ,保持事物本身質(zhì)的穩(wěn)定性。 但當(dāng)邊數(shù)增加的無(wú)限過(guò)程中 , 由于量的動(dòng)態(tài)變化 , 多邊形越來(lái)越接近圓 ,

8、為質(zhì)變創(chuàng)造條件 , 多邊形面積就變轉(zhuǎn)化為圓面積 , 促進(jìn)量質(zhì)轉(zhuǎn)化 , 達(dá)到矛盾統(tǒng)一。極限思想是否定與肯定的對(duì)立統(tǒng)一。任何事物的內(nèi)部都包含著肯定因素和否定因素, 都是肯定方面和否定方面的對(duì)立統(tǒng)一。單位圓和它的內(nèi)接正多邊形分別是兩個(gè)事物的對(duì)立面 , 內(nèi)接正多邊形是事物對(duì)自身的肯定 , 其中也包含著否定 , 這種內(nèi)在的否定因素是通過(guò)圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的改變而體現(xiàn)的。 隨著圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)逐漸增加至無(wú)窮時(shí) , 內(nèi)接多邊形的面積轉(zhuǎn)化為該單位圓的面積 , 促使該事物轉(zhuǎn)化為自己的對(duì)立面 , 由肯定達(dá)到自身的否定 , 這體現(xiàn)了否定與肯定的對(duì)立 ; 圓的內(nèi)接正多邊形和圓雖是兩個(gè)對(duì)立的事物 , 但是二者之間有

9、緊密的 , 圓內(nèi)接正多邊形的面積可以轉(zhuǎn)化為圓的面積 , 而單位圓是通過(guò)逐步增加內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)的 , 從而建立了這二者的 , 體現(xiàn)了否定與肯定的統(tǒng)一。2 極限思想與辨證哲學(xué)的研究意義。在唯物辯證法中 , 客觀事物之間相互影響、相互制約和相互作用的關(guān)系無(wú)處不在 , 即使是性質(zhì)完全不同、矛盾對(duì)立的兩個(gè)事物 , 也都有其相互的一面。所以 , 在微積分的學(xué)習(xí)過(guò)程中 , 不容忽視唯物辯證法普遍思想的滲透。 辯證思維在數(shù)學(xué)思維中的滲透和理解 , 其實(shí)質(zhì)就是按照唯物辯證法的原則 , 在和發(fā)展中把握認(rèn)識(shí)對(duì)象 , 在對(duì)立統(tǒng)一中認(rèn)識(shí)事物。 通過(guò)上述分析 , 極限思想貫穿唯物辨證哲學(xué)的范疇 , 它揭示了變與不變、過(guò)程與結(jié)果、有限與無(wú)限、近似與精確、量變與質(zhì)變的對(duì)立統(tǒng)一。 我們?cè)诶斫鈽O限思想時(shí)必須把單一、 封閉、靜態(tài)的形式邏輯思維提高到多維、開(kāi)放、動(dòng)靜態(tài)相結(jié)合的辯證邏輯思維。 數(shù)學(xué)思維與哲學(xué)思想的融合是學(xué)好數(shù)學(xué)的高層次要求 , 領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維中的哲學(xué)思想和在哲學(xué)思想的指導(dǎo)下進(jìn)行數(shù)學(xué)思維 , 是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、理解數(shù)學(xué)知識(shí) , 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要方法和手段。 參考文獻(xiàn) :沈長(zhǎng)華 : 微積分概念的發(fā)展及其哲學(xué)解析D; 蘭州大學(xué)碩士學(xué)位論文 20XX:10-15 。吳振英、陳湛本 : 論極限的思想方法J;