1、LOGO2021-11-21122021-11-21 第 4 章 古典線性回歸模型的進(jìn)一步探討32021-11-21本章主要內(nèi)容 4.1 擬合優(yōu)度統(tǒng)計量 4.2 幸福定價模型 4.4 違反古典線性回歸模型假定 4.5 異方差 4.6 自相關(guān) 4.7 多重共線性 4.8 參數(shù)穩(wěn)定性檢驗 42021-11-21 4.4 違反古典線性回歸模型假定 古典線性回歸模型： (Classical Linear Regression Model, CLRM) 用最小二乘法估計參數(shù)，只有在滿足以下假設(shè)的基礎(chǔ)上，才能得到參數(shù)估計量的優(yōu)良性質(zhì)。52021-11-21 關(guān)于隨機誤差項的假設(shè) 假設(shè)1. 隨機誤差項 u

2、具有零均值、同方差和不序列相關(guān)性： E(ut)=0 i=1,2, ,T Var (ui)=2 i=1,2, ,T Cov(ui, uj)=0 ij i, j= 1,2, ,T假設(shè)2. u 服從零均值、同方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布： uiN(0, 2 ) i=1,2, ,T 參數(shù)估計時用不到，但參數(shù)估計的性質(zhì)時要用到。62021-11-21 關(guān)于解釋變量的假設(shè) 假設(shè)3. 隨機誤差項 u 與解釋變量 X 之間不相關(guān)： Cov(xi, ui)=0 i=1,2, ,T72021-11-21 82021-11-21診斷檢驗的統(tǒng)計分布92021-11-21102021-11-214.5 假定1: E(ut)

3、 = 0 112021-11-21 ty tx122021-11-21132021-11-21對于不同的樣本點，隨機誤差項的方差不再是常數(shù)，而互不相同，則認(rèn)為出現(xiàn)了異方差性(Heteroskedasticity)。4.6 假定2: var(ut) = 2 142021-11-21 tu +-tx2152021-11-21OLS估計量仍然具有無偏性仍然具有無偏性，但不具有有效性不具有有效性 因為在有效性證明中利用了 E()=2I而且，在大樣本情況下，盡管參數(shù)估計量具有一致性一致性，但仍然不具有漸近有效性漸近有效性。存在異方差情況下運用OLS 的后果1. 參數(shù)估計量非有效162021-11-21

4、變量的顯著性檢驗中，構(gòu)造了t統(tǒng)計量 其他檢驗也是如此。2. 變量的顯著性檢驗失去意義172021-11-21v 檢驗思路：由于異方差性就是相對于不同的解釋變量觀測值，隨機誤差項具有不同的方差。那么： 檢驗異方差性，也就是檢驗隨機誤差項的方差與解釋變量觀測值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的“形式”。異方差的檢測182021-11-21用什么來表示隨機誤差項的方差呢？首先采用 OLS 法估計模型，以求得隨機誤差項的估計量 （注意， 該估計量是不嚴(yán)格的） ， 我們稱之為 “近近似似估估計計量量” ，用ei表示。于是有22varttuutttOLSuyy192021-11-21ei2 ei2 X X 同方差 遞

5、增異方差ei2 ei2 X X 遞減異方差 復(fù)雜型異方差做 x- 的散點圖進(jìn)行判斷：看是否形成一斜率為零的直線2tu202021-11-211. 假定待估計的回歸模型是標(biāo)準(zhǔn)線性形式： 估計上述模型，獲得殘差 。2. 做如下輔助回歸：vt 是獨立于 ut 的正態(tài)分布擾動項。 懷特（White）檢驗212021-11-213. 對輔助回歸進(jìn)行檢驗：可以證明，在同方差假設(shè)下R2 為輔助回歸的可決系數(shù)，T 為觀測值個數(shù)，m 為輔助回歸中自變量的個數(shù)（不包括常數(shù)項）。如果有一個或多個系數(shù)呈統(tǒng)計顯著性，方程的 R2 值將很高，表明存在異方差性。222021-11-21 異方差的處理模型檢驗出存在異方差性，

6、可用 加權(quán)最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS）進(jìn)行估計。 加權(quán)最小二乘法的基本思想： 加權(quán)最小二乘法是對原模型加權(quán)，使之變成一個新的不存在異方差性的模型，然后采用OLS估計其參數(shù)。232021-11-21假設(shè)誤差方差與 zt 的關(guān)系為：即滿足同方差性，可用OLS法估計。 22varttzuttttttttvzxzxzzy332211242021-11-21一般情況下，對于模型 Y=X + 存在 W2)()(0)(ECovEW wwwn12即存在異方差性。 252021-11-21 W 是一對稱正定矩陣，存在一可逆矩陣 D使得 W = DD 用D-1左乘 Y=X

7、+ 兩邊，得到一個新的模型： DXDYD111*XY該模型具有同方差性。因為 1211211111)()()(DDDDDDDDDD*EEEI2262021-11-21*1*)(YXXXYWXXWXYDDXXDDX11111111)()(這就是原模型 Y=X + 的加權(quán)最小二乘估計量，是無偏、有效的估計量。 這里權(quán)矩陣為D-1，它來自于原模型殘差項 的方差-協(xié)方差矩陣2 W 。272021-11-21如何得到如何得到 2W ？ 從前面的推導(dǎo)過程看，它來自于原模型殘差項 的方差-協(xié)方差矩陣。因此 仍對原模型進(jìn)行OLS估計，得到隨機誤差項的近似估計量 t，以此構(gòu)成權(quán)矩陣的估計量，即這時可直接以 作為

8、權(quán)矩陣。 2122Tuwu112111,TDdiaguuu 282021-11-21注意： 在實際操作中人們通常采用如下的經(jīng)驗方法： 不對原模型進(jìn)行異方差性檢驗，而是直接選擇加權(quán)最小二乘法，尤其是采用截面數(shù)據(jù)作樣本時。 如果確實存在異方差，則被有效地消除了；如果不存在異方差性，則加權(quán)最小二乘法等價于普通最小二乘法292021-11-21 使用Eviews 檢驗異方差【例3.8】CAPM模型的值估計本例包括四個公司(Ford，General Motors，Microsoft， Sun)的股票價格月度數(shù)據(jù)，和 S&P500 (sandp)綜合股票指數(shù)價格，以及3個月期美國國庫券(ustb3

9、m)的收益。估計和評價CAPM回歸模型。 302021-11-21 以 Microsoft 公司的股票數(shù)據(jù)為例，首先需要將價格變量轉(zhuǎn)換為收益變量，并計算超過無風(fēng)險收益率的超額收益。 點擊工作文件窗口的 Genr 按鈕，在彈出的新窗口中鍵入：3個月期美國國庫券收益指的是年度收益率，需要按月度收益計算：312021-11-21 再計算超額收益：點擊工作文件窗口的 Genr 按鈕，在彈出的新窗口中鍵入：其他公司的超額收益類似。在進(jìn)行回歸分析之前，先畫出散點圖：Object/New Object Graph Scatter 322021-11-21 332021-11-21 估計 CAPM 方程：Ob

10、ject/New Object Equation 可以命名為 CAPM?；貧w方程為： 342021-11-21 352021-11-21 使用EViews 檢驗異方差362021-11-21 372021-11-21 382021-11-21 4.7 假定3： Cov(ui, uj)=0 且 ij 隨機誤差項互不相關(guān)的基本假設(shè)為 Cov(ui , uj)=0 ij, i,j=1,2, ,T 如果對于不同的樣本點，隨機誤差項之間不再是不相關(guān)的，而是存在某種相關(guān)性，則認(rèn)為出現(xiàn)了序列相關(guān)性。392021-11-21在其他假設(shè)仍成立的條件下，序序列列相相關(guān)關(guān)即意味著0)(jiE2112)()()()(

11、nnEEECov2112nnI22或402021-11-21稱為一階自相關(guān)(autocorrelation)。自相關(guān)可寫成如下形式：其中 被稱為一階自相關(guān)系數(shù)(first-order coefficient of autocorrelation)。vt 是滿足OLS假定的隨機干擾項： 如果僅存在 E(ut ut+1)0 t=1,2, ,T412021-11-21滯后值和一階差分的概念t yt yt-1 yt = yt -yt-11989M09 0.8 - -1989M10 1.3 0.8 1.3-0.8=0.51989M11-0.9 1.3-0.9-1.3=-2.21989M12 0.2-0.

12、9 0.2-0.9=1.11990M01-1.7 0.2-1.7-0.2=-1.91990M02 2.3-1.7 2.3-1.7=4.01990M03 0.1 2.3 0.1-2.3=-2.21990M04 0.0 0.1 0.0-0.1=-0.1. . . . . . .422021-11-21大多數(shù)經(jīng)濟(jì)時間數(shù)據(jù)都有一個明顯的特點:慣性，表現(xiàn)在時間序列不同時間的前后關(guān)聯(lián)上。經(jīng)濟(jì)問題中的序列相關(guān)性模型設(shè)定偏誤：模型中丟掉了重要的解釋變量或模型函數(shù)形式有偏誤。 432021-11-21 計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型一旦出現(xiàn)序列相關(guān)性，如果仍采用OLS法估計模型參數(shù)，會產(chǎn)生下列不良后果： 因為，在有效性證明中利

13、用了 E(NN)=2I 即同方差性和互相獨立性條件。 序列自相關(guān)的后果1、參數(shù)估計量仍是無偏的，但非有效442021-11-21在變量的顯著性檢驗中，統(tǒng)計量是建立在參數(shù)方差正確估計基礎(chǔ)之上的，這只有當(dāng)隨機誤差項具有同方差性和互相獨立性時才能成立。2、變量的顯著性檢驗失去意義452021-11-21 然后然后，通過分析這些“近似估計量近似估計量”之間的相關(guān)性，以判斷隨機誤差項是否具有序列相關(guān)性。序列相關(guān)性 檢驗方法的基本思路為：首首先先，采用 OLS 法估計模型，以求得隨機誤差項的“近近似似估估計計量量” ，用ei表示： lsiiiYYe0)(序列相關(guān)性的檢驗462021-11-21首先采用 O

14、LS 法估計模型，以求得隨機誤差項的估計量 （注意， 該估計量是不嚴(yán)格的） ， 我們稱之為 “近近似似估估計計量量” ，用ei表示。于是有tttOLSuyy自相關(guān)性的檢驗自相關(guān)性 檢驗方法的基本思路為： 然后，通過分析這些“近似估計量”之間的相關(guān)性，以判斷隨機誤差項是否存在自相關(guān)性。472021-11-21a. 對自相關(guān)的圖示檢驗482021-11-21-3.7-6-6.5-6-3.1-5-30.5-11435787+-Timetu 492021-11-21502021-11-21+-tu T im e512021-11-21522021-11-21+-tu Time532021-11-21

15、D-W檢驗是德賓（J.Durbin）和沃森(G.S. Watson)于1951年提出的一種檢驗序列自相關(guān)的方法，該方法的假定條件是：（1）解釋變量 X 非隨機；（2）隨機誤差項 ui 為一階自回歸形式： ut=ut-1+vt vt N(0, v2).（3）回歸模型中不應(yīng)含有滯后應(yīng)變量作為解釋變量，即不應(yīng)出現(xiàn)下列形式： yt=0+1x1t+kxkt+yt-1+ut（4）回歸含有截距項。b.檢驗自相關(guān)：德賓-沃森（Durbin-Watson）檢驗法 542021-11-21v DW 檢驗的零假設(shè)和背擇假設(shè)：H0 : =0 H1 : 0v DW 檢驗統(tǒng)計量：DWuuutttTttT12222 D.W

16、. 統(tǒng)計量:552021-11-21 DW統(tǒng)計量的精確分布很難得到，但他們成功地導(dǎo)出了臨界值的下限 dL和上限dU ，且這些上下限只與樣本的容量 T 和自變量的個數(shù) k 有關(guān)，而與解釋變量 x 的取值無關(guān)。 如果存在完全一階正相關(guān)，即 =1，則 D.W. 0 完全一階負(fù)相關(guān)，即 = -1, 則 D.W. 4 完全不相關(guān)， 即 =0，則 D.W.2562021-11-21（1）計算DW值（2）給定 ，由T 和k的大小查 DW分布表，得臨界值dL和dU（3）比較、判斷 若 0D.W.dL 存在正自相關(guān) dLD.W.dU 不能確定 dU D.W.4dU 無自相關(guān) 4dU D.W.4 dL 不能確定

17、4dL D.W.4 存在負(fù)自相關(guān) 0 dL dU 2 4-dU 4-dL 正相關(guān)不能確定無自相關(guān)不能確定負(fù)相關(guān)D.W檢驗步驟:572021-11-21The Durbin-Watson Test582021-11-21布羅施-戈弗雷(Breusch - Godfrey) 檢驗克服了DW檢驗的缺陷，適合于高階序列相關(guān)以及模型中存在滯后被解釋變量的情形。也被稱為GB檢驗。 c.檢驗自相關(guān)：布羅施-戈弗雷(Breusch - Godfrey)檢驗回歸模型為： yt = 1 + 2x2t + . + kxkt + ut如果隨機誤差項存在 r 階自相關(guān)，檢驗?zāi)Ｐ蜑椋?92021-11-21 零假設(shè)為：

18、H0： 1=2=r =0備擇假設(shè)為： 所以在零假設(shè)下，當(dāng)期誤差與任何前 r 期的值都不相關(guān)。602021-11-21 實際檢驗中，可從1階、2階、逐次向更高階檢驗。 (T-r)R2 2(r)612021-11-21如果模型存在自相關(guān)性，則需要發(fā)展新的方法估計模型。常用的方法是廣義最小二乘法 (GLS: Generalized least squares) 。處理自相關(guān)模型設(shè)定如下：滯后一期的模型為：兩邊乘以 622021-11-21該模型為廣義差分模型，不存在自相關(guān)問題，可進(jìn)行OLS估計。 注意：令：模型寫為：632021-11-21應(yīng)用廣義最小二乘法，必須已知隨機誤差項的相關(guān)系數(shù) ，然而，我

19、們并不知道它的具體數(shù)值，所以必須進(jìn)行估計。常用的估計方法有：科克倫-奧科特（Cochrane-Orcutt）迭代法隨機誤差項相關(guān)系數(shù)的估計642021-11-21科克倫-奧科特迭代過程1. 運用OLS估計下述模型，忽略殘差自相關(guān)：2. 獲得殘差，進(jìn)行下列回歸：3. 獲得 ，并用 構(gòu)建 等。4. 進(jìn)行GLS回歸：652021-11-21 關(guān)于迭代的次數(shù)，可根據(jù)具體的問題來定。 一般是事先給出一個精度，當(dāng)相鄰兩次 的估計值之差小于這一精度時，迭代終止。實踐中，有時只要迭代兩次，就可得到較滿意的結(jié)果。兩次迭代過程也被稱為科克倫-奧科特兩步法。662021-11-21Eviews應(yīng)用軟件中的GLS法 在Eview軟件下，GLS采用了科克倫-奧科特迭代法估計。 在解釋變量中引入AR(1)、AR(2)、，即可得到參數(shù)和1、2、的估計值。其中AR(m) 表示隨機誤差項的 m 階自回歸。在估計過程中自動完成了1、2、的迭代。672021-11-21