1、雙曲線焦半徑應(yīng)用舉例雙曲線上任意一點到其焦點的距離稱為該點的焦半徑。已知點P(x，y)在雙曲線= 1 (a0，b0)上，F(xiàn)， F分別為雙曲線的左、右焦點。若點P在右半支上，則| PF| =x+ a ，| PF| =xa；若點P在左半支上，則| PF| =(x+ a) ，| PF| =(xa)利用焦半徑公式解題，可使解題過程簡單明了，下面列舉幾例，供參考。一、求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1、 設(shè)F、F是雙曲線= 1 (a0，b0)的左、右兩個焦點，l為左準(zhǔn)線，離心率e=，P(,m)是左支上一點，P到l的距離為d，且d，| PF|，| PF|成等差數(shù)列，求此雙曲線方程。分析；利用焦半徑，結(jié)合雙曲線的第二定

2、義列出等式，求出待定系數(shù).解：由雙曲線的第二定義知：d =| PF|，又| PF| =(x+ a) = 14a, | PF| =(xa) = 14a,由已知得：d| PF| = 2| PF|，即(14a)(14a)=282a 得：a = 2， c =3， b =，故雙曲線的方程為=1。評注：利用焦半徑公式，可使運算過程簡便易行。二、求值例2 雙曲線=1的兩個焦點為F、F，點P在雙曲線上，若P FP F，則點P到x軸的距離為_.分析；利用焦半徑及勾股定理，列出等式，求出P點縱坐標(biāo)即可。解：不妨設(shè)P在雙曲線上右支上，設(shè)P(x，y)，則| PF| =x+ a = 3x，| PF| =xa =x3，則

3、| PF| PF|= |FF|，即：(3x)(x3) =100，所以=，又=1，所以=，所以點P到x軸的距離為。評注：利用雙曲線的定義和焦半徑公式，簡單明了。三、求范圍例3 如圖，已知梯形ABCD中，|AB| = 2|CD|，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，當(dāng)時，求雙曲線離心率的取值范圍解：以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則CDy軸，因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性可知，C、D關(guān)于y軸對稱設(shè)雙曲線的焦距為2c，則A、B、C三點的橫坐標(biāo)分別為c、c、，則點E的橫坐標(biāo)為x=xyABODCE根據(jù)雙曲線焦半徑公

4、式，有：|AE| =(xa ) =a，|BC| =xa =a，而AC與AE同號，從而=|AC| =|AE| =a =a，由雙曲線的定義有|AC|BC| = 2a，即(a)(a) = 2a，兩邊同除以a，并化簡整理，得(1) = 2，=2由，得34，解得710，故所求雙曲線離心率的取值范圍是，評注：凡是遇到雙曲線上的點到雙曲線焦點距離的問題，均可考慮使用焦半徑公式四、其他問題例4 在雙曲線=1的上支上有三點A(x，y),B(,6),C(x,y)與F(0，5)的距離成等差數(shù)列。求證：AC的垂直平分線經(jīng)過某一定點。分析；利用焦半徑及等差數(shù)列概念，列出等式，可解此題。證明：|AF| =eya，|BF|

5、=6ea，|CF|= eya，由已知得：2|BF|=|AF|CF|，得：y y=26 = 12。設(shè)AC的中點M(x，6)，其中x=，又A，C在雙曲線上，于是，兩式相減得：13(yy)(yy)12(xx)(xx)= 0，得：13(yy)12（xx）=0，得：=，所以AC的垂直平分線方程為：y6=(xx)，即13xx(2y25)=0，故經(jīng)過定點(0，)。評注：點差法是求解雙曲線問題的一種常用方法。例5 已知雙曲線= 1的左、右焦點分別為F、F，左準(zhǔn)線為能否在雙曲線的左支上找到一點P，使| PF|是P到的距離與| PF|的等比中項？若能，試求出P點坐標(biāo)；若不能，請說明理由分析；此題為探索題目，一般可設(shè)存在點P，再利用焦半徑及等比數(shù)列概念列等式可求解。解：由a = 5，c =13，知 =，=設(shè)P(x，y)，P到的距離為d，則| PF| =ax=5x，| PF|= ax= 5x，d =x=x 令| PF|= d| PF|，即(5x)= (x)(5x)，解得：x=或x=另一方面，因為P在左支上，所以x5 與矛盾故符合條件的P點不存在評注： 一般的，是雙曲線= 1左支上存在P點，使| PF|= d| PF|成立的充要條件。本題中雙曲線離心率=，故符合條件的P點不存在 例如雙曲線= 1的離心率，則這樣的P點一定存在。類似的可得：是