1、概率論與數理統(tǒng)計課程設計概率論的起源、發(fā)展和應用作者：摘要：論文簡要介紹了概率論與數理統(tǒng)計學科的起源和發(fā)展，以及概率論與理 統(tǒng)計在生活中的應用。關鍵詞： 概率論與數理統(tǒng)計，起源，發(fā)展，應用1、引言概率論與數理統(tǒng)計是研究隨機現象統(tǒng)計規(guī)律的一門數學學科，也是一門 應用性很強又頗具特色的數學學科。它在包括控制、通信、生物、物理、力學、 金融、社會科學等工程技術領域以及科學研究、經濟管理、企業(yè)管理、經濟預測 等眾多領域都有廣泛的應用； 它與其他數學分支有著緊密的聯系 （如微積分、 高 等代數、測度論等），是近代數學的重要組成部分；它的方法和理論向各個基礎 學科、工程學科的滲透， 是近代科學技術發(fā)展的特

2、征之一； 它與基礎學科相結合 產生出了許多邊緣學科，如生物統(tǒng)計、統(tǒng)計物理、數學地質等；它又是許多新興 的重要學科的基礎，如信息論、控制論、可靠性理論、人工智能、信息編碼理論 和數據挖掘等。概率論與數理統(tǒng)計是工科大學的一門應用性很強的必修基礎課。學習和 掌握概率論與數理統(tǒng)計的基本理論和基本方法并將其靈活應用于科學研究和工 程實際中，是社會發(fā)展對高素質人才培養(yǎng)提出的必然要求。2、概率論與數理統(tǒng)計的起源概率論的萌芽源于十七世紀保險業(yè)的發(fā)展， 但是真正引發(fā)數學家們思考的源 泉，卻是賭博者的請求。十七世紀中葉，法國貴族德美黑在骰子賭博中，有事急于抽身，須中途停 止賭博，需要根據對勝負的預測把賭資進行合理

3、的分配， 但不知用什么樣的比例 分配才算合理， 于是就寫信向當時法國的最高數學家帕斯卡請教。 正是這封信使 概率論在歷史的舞臺邁出了第一步。帕斯卡和當時第一流的數學家費爾瑪一起， 研究了德美黑提出的關于骰子 賭博的問題。于是，一個新的數學分支 - 概率論登上了歷史舞臺。三年后，也就 是 1657 年，荷蘭著名的天文、物理兼數學家惠更斯企圖自己解決這一問題，結 果寫成了論機會游戲的計算一書，這就是最早的概率論著作。為概率論確定嚴密的理論基礎的是數學家柯爾莫哥洛夫。 1933 年，他發(fā)表 了著名的概率論的基本概念，用公理化結構，這個結構明確定義了概率論發(fā) 展史上的一個里程碑，為以后的概率論的迅速發(fā)

4、展奠定了基礎。3、概率論與數理統(tǒng)計的發(fā)展 數理統(tǒng)計的發(fā)展大致可分為古典時期、近代時期和現代時期三個階段。 古典時期（ 19 世紀以前）這是描述性的統(tǒng)計學形成和發(fā)展階段，是數 理統(tǒng)計的萌芽時期。在這一時期里，瑞土數學家貝努里（ 16541795 年）較早 地系統(tǒng)論證了大數定律。 1763 年，英國數學家貝葉斯提出了一種歸納推理的理 論，后被發(fā)展為一種統(tǒng)計推斷方法一一貝葉斯方法，開創(chuàng)了數理統(tǒng)計的先河。法國數學家棣莫佛（ 16671754）于 1733 年首次發(fā)現了正態(tài)分布的密度函數，并 計算出該曲線在各種不同區(qū)間內的概率，為整個大樣本理論奠定了基礎。1809年，德國數學家高斯（ 17771855）

5、和法國數學家勒讓德（ 17521833）各自獨 立地發(fā)現了最小二乘法， 并應用于觀測數據的誤差分析。 在數理統(tǒng)計的理論與應 用方面都作出了重要貢獻， 他不僅將數理統(tǒng)計應用到生物學， 而且還應用到教育 學和心理學的研究。并且詳細地論證了數理統(tǒng)計應用的廣泛性，他曾預言： “統(tǒng) 計方法，可應用于各種學科的各個部門。”近代時期（ 19 世紀末至 1845年）數理統(tǒng)計的主要分支建立，是數理統(tǒng) 計的形成時期。 上一世紀初， 由于概率論的發(fā)展從理論上接近完備， 加之工農業(yè) 生產迫切需要， 推動著這門學科的蓬勃發(fā)展。 1889年，英國數學家皮爾遜 （1857 1936）提出了矩估計法，次年又提出了頻率曲線的理

6、論，并于 1900 年在德國 數學家赫爾梅特在發(fā)現 c 2分布的基礎上提出了 c 2 檢驗，這是數理統(tǒng)計發(fā)展史 上出現的第一個小樣本分布。 1908 年，英國的統(tǒng)計學家戈塞特（ 18761937） 創(chuàng)立了小樣本檢驗代替了大樣本檢驗的理論和方法（即t分布和t檢驗法），這為數理統(tǒng)計的另一分支多元分析奠定理論基礎。 1912 年，英國統(tǒng)計學家費 歇(18901962)推廣了t檢驗法，同時發(fā)展了顯著性檢驗及估計和方差分析等數 理統(tǒng)計新分支。這樣，數理統(tǒng)計的一些重要分支如假設檢驗、回歸分析、方差分 析、正交設計等有了其決定其面貌的內容和理論。 數理統(tǒng)計成為應用廣泛、 方法 獨特的一門數學學科。現代時期(

7、1945年以后)，美籍羅馬尼亞數理統(tǒng)計學家瓦你德 (19021950) 致力于用數學方法使統(tǒng)計學精確化、 嚴密化， 取得了很多重要成果。 他發(fā)展了決 策理論，提出了一般的判別問題， 創(chuàng)立了序貫分析理論， 提出著名的序貫概率比 檢法。瓦爾德的兩本著作序貫分析和統(tǒng)計決策函數論 ，被認為是數理發(fā) 展史上的經典之作。 八九十年代， 計算機的應用推動了數理統(tǒng)計在理論研究和應 用方面不斷地向縱深發(fā)展， 并產生一些新的分支和邊緣性的新學科， 如最優(yōu)設計 和非參數統(tǒng)計推斷等。 當前，數理統(tǒng)計的應用范圍愈來愈廣泛， 已滲透到許多科 學領域，應用到國民經濟各個部門，成為科學研究不可缺少的工具。4、概率論與數理統(tǒng)計

8、在生活中的應用1) 在求解最大經濟利潤問題中的應用a) 大數定律在保險學中的應用 大數定律應用在保險學中，就是保險的賠償遵從大數定律，即參加某項保險 的投保戶成千上萬， 雖然每一戶情況各不相同， 但對保險公司來說， 平均每戶的 賠償率幾乎恒等于一個常數。假如某保險公司有 10000個同階層的人參加人壽保險， 每人每年付 120元保 險費，在一年內一個人死亡的概率為 0006，死亡時，其家屬可向保險公司領 得1 0000元。試問：平均每戶支付賠償金 59元至 61 元的概率是多少 ?保險公司 虧本的概率有多大 ?保險公司每年在這項險種中利潤大于 40萬元的概率是多少 ?保險公司虧本，也就是賠償金

9、額大于10000X 120=120(萬元)，即死亡人數大 于 120 人的概率。死亡人數 丫B(10000, 0. 006) , E(Y)=60 , D(Y)=59. 64,由 中心極限定理，丫近似服從正態(tài)分布N (60,59.64)，則PY1200,這說明， 保險公司虧本的概率幾乎等于 0。如果保險公司每年的利潤大于 40萬元，即賠 償人數小于 80 人。則 PY80=0. 9952?？梢?，保險公司每年利潤大干 40 萬元 的概率接近 100。在保險市場的競爭過程中，在保證相同收益的前提下有兩個策略可以采用，一是降低保險費，另一個是提高賠償金，而采用提高賠償金比降 低保險費更能吸引投保戶。b

10、）利用隨機變量函數期望求解最大利潤某公司經銷某種原料，根據歷史資料：這種原料的市場需求量x（單位：噸） 服從300,500上的均勻分布，每售出1噸該原料，公司可獲利=5千元;若積壓 1噸，則公司損失0.5千元，問公司應該組織多少貨源，可使期望的利潤最大 ?分析:此問題的解決先是建立利潤與需求量的函數，然后求利潤的期望，從 而得到利潤關于貨源的函數，最后利用求極值的方法得到答案。解：設公司組織該貨源a噸，則顯然應該有300 a 500，又記y為在a噸由題設條件知:貨源的條件下的利潤，則利潤為需求量的函數，即y g x，當x a時，則此a噸貨源全部售出，共獲利1.5a :當x a時，則售出x噸（獲

11、利1.5x）, ax噸積壓獲利（0.5 ax),所以共獲利1.5x 0.5 ax，由此得1.5a2X0.5a從而得Pxx dx500300 g1 dx 200300 2x 0.5a200 dx50011.5a a200dx1 2 2a29003002上述計算表明是a的二次函數，用通常求極值的方法可以求得a 450噸時,能夠使得期望的利潤達到最大2) 在經濟預測中的應用在實際經營中，許多量之間存在某種密切聯系，根據數理統(tǒng)計原理，可以根據 往年資料或市場信息，通過對社會經濟現象之間客觀存在的因果關系及其變化趨 勢進行線性回歸分析預測，從而得出未來的數量狀況。下面以一元線性回歸分析 為例探討一下線性

12、回歸分析在經濟預測中的應用 。合金的強度y( 107 pa)與合金中碳的含量x(%)有關,為了生產強度滿 足用戶需要的合金，在冶煉時要控制碳的含量?，F調查收集了 12組數據,見下表, 試建立適當的線性回歸模型并進行檢驗。 如果在冶煉過程中通過化驗得知了碳的 含量為0.16，根據模型預測這爐合金的強度。序號x(%)y ( 107 pa )序號x (%)y ( 107 pa )10.1042.070.1649.020.1143.080.1753.030.1245.090.1850.040.1345.0100.2055.050.1445.0110.2155.00.1547.5100.2360.0解：

13、第一步,建立線性回歸模型已知一元線性回歸模型為? a bx，根據公式及表中的數據得：a 28.53 , b 130.60,從而所求的回歸模型? 28.53 130.6x第二步,檢驗線性關系的顯著性現在用t檢驗法，經計算得t 13.2872 ,取顯著性水平a 0.05 ,則鮎肌 2.2281 ,由于132.2872 2.2281 ,因此在顯著性水平a 0.01下回歸方差是顯著的。第三步，預測將X。0.16代入回歸模型，則得到預測值為y028.536 130.6 0.1649.432在顯著性水平a 0.05下，得y0的概率0.95的預測區(qū)間為(46.25,52.61),即有 95%的把握認為，碳的含量為0.16時，合金的強度介于(46.25 52.61)之間5、結束語通過以上介紹及討論我們簡要了解了概率論與數理統(tǒng)計學科的起源和發(fā)展， 以及概率論與理統(tǒng)計在生活中的廣泛應用。