1、全國 20XX 年 4 月高等教育自學(xué)考試高等數(shù)學(xué)(工本)試題課程代碼： 00023一、單項選擇題(本大題共 5小題，每小題 3 分，共 15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題號的括號內(nèi)。錯選、多選或未 選均無分。1下列曲面中，母線平行于 y 軸的柱面為( )2 2 2 2Az=xBz = y Cz = x + yDx + y + z =12 2已知函數(shù) h(x,y)=xy+f(x+y),且 h(0,y)=y2,則 f( x+y )為( )Ay (y + 1) By (y - 1) C( x + y)( x + y -1) D( x + y )( x +

2、 y +1) 3下列表達(dá)式是某函數(shù) u(x,y)的全微分的為()22Ax ydx + xy dyB xdx + xydyC ydx - xdyDydx + xdy4微分方程 ydy =x的階數(shù)是( )dx A0B1C2D315無窮級數(shù)1 的和為( )n 2 n!Ae + 1Be - 1Ce - 2De + 2二、填空題(本大題共 5小題，每小題 2 分，共 10分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。6已知向量 a= -2, c, 6 與向量 b= 1, 4, -3 垂直，則常數(shù) c= .7.函數(shù) z= 4 x 2 y2 ln(x2+y2-1)的定義域為 .1 1 y2 8二次積

3、分 I= dyf ( x, y )dx ,交換積分次序后 I=.109已知 y=sin2 x+ cex 是微分方程 y +4y=0 的解，則常數(shù) c=.xn 110.冪級數(shù)x n 的收斂半徑 R=.n 0 3n三、計算題(本大題共 12小題，每小題 5分，共 60 分)11將直線3x 2y z 0x 2y 3z 4 0化為參數(shù)式和對稱式方程12. 設(shè)方程 f ( x + y + z, x, x + y )=0 確定函數(shù) z = z ( x, y ),其中 f 為可微函數(shù)，求和 .xyx13. 求曲面 z= 2y + ln 在點(diǎn)( 1， 1，2)處的切平面方程 .y14. 求函數(shù) z = x2

4、- y2在點(diǎn)(2，3)處，沿從點(diǎn) A(2，3)到點(diǎn) B( 3， 3+ 3)的方向 l 的方向?qū)?shù) .15. 計算二重積分3y2 sin x dxdy ，其中積分區(qū)域 D是由 y = | x |和y =1所圍成 .卦限內(nèi)的區(qū)域16. 計算三重積分 I=xydxdyd z ，其中積分區(qū)域是由 x2+y 2=4 及平面 z=0， z=2 所圍的在第17. 計算對弧長的曲線積分 I= y2ds，其中 L 為圓周 x2+y2=9 的左半圓 .18. 計算對坐標(biāo)的曲線積分 I= y(1 x2)dx x(1 y2)dy ，其中 L 是平面區(qū)域D：x2 + y2 4的正向邊界 .19. 驗證 y1 = ex,

5、y2 = x都是微分方程( 1 x) y +xy -y = 0 的解，并寫出該微分方程的通解。 20求微分方程 xdy 1 ey的通解 .dx21.設(shè) 為任意實(shí)數(shù)，判斷無窮級數(shù) sin(n ) 的斂散性，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？ n 1 n222設(shè)函數(shù) f ( x )=x2cosx 的馬克勞林級數(shù)為anxn ，求系數(shù) a6.n0四、綜合題(本大題共 3小題，每小題 5 分，共 15分)zz23設(shè)函數(shù) z=ln( x + y ) ，證明 2x +2y =1.xy24.求函數(shù) f ( x, y)=3+14y+32x-8xy-2y2-10x2的極值 .25.將函數(shù) f ( x )=x 展開為

6、 x的冪級數(shù) .x2 2x 3(3)F.Cr.y J IF.(I4.2 1 口 IH W MdrIB IlXlPJya + MrLrMxdy QiH”廿FSiitAir(2IX Mttt 只心， 2r r： FrfTwJF*x) 丄 FrJlrJ 1Fr(Ith2) )聽農(nóng)切平A( 1(y D Ct 2) 09Jew OIt BJ山4PMMMW-0o4rA,*dKAXff 11(XO9sn 9coa0d1& 解訂-Iyl +i)rF = - Cxt + yr)dzdy=一 f M Gr 十 GH20. 解:方W可化為. rF-IX積分可礙(2分fdjrfdrln + lnC(3分20XX 年

7、1 月全國高等教育自學(xué)考試 高等數(shù)學(xué)（工本）試題與答案 課程代碼： 00023 試題來自百度文庫，答案由綏化市的王馨磊導(dǎo)師提供、單項選擇題（本大題共 5小題，每小題 3 分，共 15分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將基代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.過點(diǎn)（1，- 1，2）和點(diǎn)（2，1，- 1）的直線方程為（）x2 A.y1z1x1 B.y1z2123103C. x 2y1z1x1 D.y1z2123103解：設(shè)A 1， 1,2 , B 2,1， 1，則AB 1,2， 3為所求直線的方向向量 ，據(jù)此可以排除 B、D兩個選項；z 31，所以選 C.以點(diǎn)

8、B 2,1， 1為定點(diǎn)的直線方程為：x 2 y 112B.xylnx2.設(shè)函數(shù) f(x,y)=x y，則 f y(x,y) 為 y-1D.xy 對y求偏導(dǎo)得A.yxC. x ylny 解：由 f x,y xy elnxy ey ln x，fy x,y eylnx ylnxeylnx lnxxy ln x，所以選B.3. 下列曲線積分中，與路徑無關(guān)的曲線積分為A. L(x 2y)dx (2x y)dyB. L (x 2y)dx (y 2x)dyC. L(x 2y)dx (2x y)dyD. L (2x y)dx (2x y)dy解：驗證選項 C：令 P x 2y,Q 2x y 由 P 2 Q ，

9、知選項 C 正確yx4. 微分方程 dy y ex 是 dx xA. 可分離變量的微分方程C.一階線性齊次微分方程B. 齊次微分方程D. 一階線性非齊次微分方程解：由已知，得 y 1 y ex，符合 y P x y Q x 的形式， x所以，題設(shè)微分方程是 一階線性非齊次方程， 故選 D.5.已知冪級數(shù)an x 1 n在 x=- 3處收斂，則該級數(shù)在 x=0 處是 n1A. 絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散 解： 阿貝爾定理：若級數(shù)在 x x0 0處收斂，則在（ - x0 因為該級數(shù)在 x 3處收斂，所以由阿貝爾 定理，知該級數(shù)在 - 3,3內(nèi)的一切 x處絕對收斂， 因為x 0 3,3 ，故選 A

10、.D.斂散性不確定二、填空題（本大題共 5小題，每小題 2 分，共 10分） 請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。6.已知向量 a=2, - 1,3,b=1, - 1,2,則( - 2a) (3b)=解：- 2a4,2, 6 ，3b3, 3,6-2a 3b6i 6j 6k 6,6,6 .x0 ）內(nèi)的一切 x處絕對收斂。解：由 g x,0 x 0 f x 0 x2，得 f xx2 x,所以 f x y x y 2 x y x2 y 2 2xy x y.8.二次積分 I 0dx 0 1 x f x,y dy 交換積分次序后 I=解：I 0dy 0 f x, y dx.區(qū)域 B 是以原

11、點(diǎn)為圓心， 1 為半徑的圓在第一象限的圓?。?.微分方程的一個特解 y*=.解：令y* Ae x，則yAe x，yAe x，yAe x，代入微分方程，得- Ae x 2Ae x e x，解得 A 1，故y* e x.110.無窮級數(shù)的和為 n 1 n!23解： ex 1 x x x .2! 3!令 x 1, 得e 1 1 1 11！ 2! 3! 1111所以 1 1 1 1 n 1 n! 1！ 2! 3!nx.,xn!1. .n!1 . e 1. n!三、計算題（本大題共 12小題，每小題 5分，共 60 分）解：空間曲線可以看做兩個曲面的交線，所以 常用兩個曲面方程組成 的方程組來表示曲線的

12、 一般方程。1.曲線 C 的一般方程為：上的投影曲線，即x222 z x 2y , z 2x 2 y2 . y0,為曲線 C在 xoy平面上的投影曲線 L 的方程。z 0.；2 .兩個曲面方程消去 z后，再與 z 0聯(lián)立即為曲線 C在 xoy平面解：令 F x, y 2x y 2z 4 xyz,則 F 2 2yz 2 xyz 2yz ；F 1 2zx xyz 2zx ； xyxyz xyz xyzxyzF 2 2xy 2 xyz 2xy ； xyz xyz所以 zxz Fy yFzFx2 xyz 2yz 2 xyz 2xy xyz yz；xyz xyz xyz xyxyz 2zx 2 xyz

13、2xy xyz 2zx2 xyz 2xyFzxyzxyz13.求曲線y2 x2 z2在點(diǎn)3,5,4處的切平面方程 .解：F x,y,z x2 z2 y2,n Fx,Fy,Fz2x, 2y,2z ,n|3,5,4 6, 10,8所以在點(diǎn) 3,5,4 處的切平面方程為：6 x 3 10 y 5 8 z 4 0.即3x 5y 4z 0.解：與 l同向的單位向量 el cos6,cos4 ,cos63 , 2, 32,2,2x |2,1,1 (2xz yz )|2,1,1 3，y |2,1,1 (3y xz )|2,1,1 1，z |2,1,1 (x 2xyz) |2,1,1 0.x y z所以 l的

14、方向?qū)?shù)為u | 2,1,1 3 3 1 2 0 3 1 3 3 2 .2x解： D xydxdy 1 xdx2 xydy 12x x2 2 x dx24x2 xdx 4 1x3 1x232103解：方法 1：2I 1 dxdydz .3方法 2： I2 12 1 2d 2 sin d 1 r 2 dr 2 1 .00 0 3 3解：4xyds xyds 0 xyds x x 220 231解： Ix 2 2x2 dx 4 x2 2x 2 2dx 5 x3 |11 10.-1解：把 x當(dāng)作未知數(shù)， y當(dāng)作自變量 y 1，看成含有 的方程 .dydx 1由已知，得 dx 1 x 1，也就是 x

15、y x y，即 xyy，所以 xy ydy C.dy y即所求微分方程的通解 為： xy 1 y2 C.2l 2,1,1 2 2 2 2解：所給微分方程的特 征方程為214r 2 4r 1 0，其根 r1 r2 12是兩個相等的實(shí)根，因 此所求微分方程的通解 為1xy C1 C2 x e2 .解：該級數(shù)是正向級數(shù) ，由 lim n 2n22 1，知該無窮級數(shù)收斂 .3解：f x x3所以 a10 7!357xxxx3! 5! 7!四、綜合題(本大題共 3小題，每小題 5 分，共 15分)23. 設(shè)函數(shù) z=ln( x + y ),證明1y xy1證明：因為 z 2 xx x y y x y12

16、 y ，所以左邊1xy xyx y x y x y1 右邊，證畢。 xy24.求函數(shù) f(x,y)=2xy - x2- 4y 2+y 3- 1的極值 .解：由fx 2y 2x 0x 2 ，得駐點(diǎn) 0,0 、2,2 . f y 2x 8y 3y 02，再求出二階偏導(dǎo)數(shù) f在點(diǎn) 0,0處， A 2，B 2,C 8，B2 AC -12 0，所以函數(shù)在點(diǎn) 0,0處有極大值 f 0,0 -1； 在點(diǎn) 2,2 處， A 2，B 2,Cxxxy2，f yy8 6y.4，B2 AC 12 0，所以f 0,0 不是極值.解：-1x1x 1 x 1兩端分別求導(dǎo)，得 12x 所以25.將函數(shù) f(x)= 12 展開

17、為 (x+1) 的冪級數(shù) . x21,2,x1 1 x 1 x 1 2 x 1 3 x 1 4 . x 1 n .，x 1 11 2 x 1 3 x 1 2 4 x 1 3 . n x 1 n 1f x12n x 1 n 1，(-2 x 0).x2 n 1全國 20XX 年 10 月高等教育自學(xué)考試高等數(shù)學(xué)（工本）試題課程代碼： 00023一、單項選擇題（本大題共 5 小題，每小題 3 分，共 15 分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求 的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.已知函數(shù)f (x y,x y)x2 y2,z f (x,y),則 z z (xy

18、A.2x -2yB.2x + 2yC.x+yD.x-y32.設(shè)函數(shù) f（x,y） x3 y ,則點(diǎn)（ 0，0）是 f（x,y） 的（ ）A. 間斷點(diǎn) B.駐點(diǎn)C.極小值點(diǎn) D.極大值點(diǎn)3.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0，0），（ 0，1），（1，1）的三角形面積可以表示為（ x y 1 xA. 0 dy 0 dxB. 0dx1 dy11C. 0 dx xdyD.100dy ydx24.微分方程 (1 xy)dx (1 x2)dy 0 是( )A. 可分離變量的微分方程 B. 齊次微分方程C.一階線性齊次微分方程 D. 一階線性非齊次微分方程 xn5. 冪級數(shù)的和函數(shù)為（ ）n 1 n!xxA. e 1B.

19、eC.ex 1D. ex 2二、填空題（本大題共 5小題，每小題 2 分，共 10分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。6.設(shè)向量 1,1, 1, a,b, c ,，則?=.1x 2 z7.已知函數(shù) z e x cosy ,則 .x （1,0）8.設(shè)為上半球面 z 2 x2 y2 ,則對面積的曲面積分dS .9.微分方程 y y 2y e x用待定系數(shù)法求特解 y*時， y*的形式應(yīng)設(shè)為 .10.設(shè) f （x）是周期為 2 的周期函數(shù)，它在 , ） 上表達(dá)式為1, x 0 f(x) 1 , 0 x1-1圻求平面方程為12.13.: (xl) + l (Jr-2) + (-l)(

20、z + 3) =0 即丁一)一n 4 = 0 解:竺=2學(xué)=一卡Ler y dy yc=丄工-y=2.1)= dx 2dy = COS(Oy) V = 2x y藝釜+豎-Wi心)f+2語F =竺舉 +主西=-xsin(xy)一”S 兀行T九y HSmyW不d4解：設(shè) r(xty,z) = jy 2z + X2 y2 + er 1： FM = yexy + 2x F,y = xex9 一 2y F, = 2 + e* 竺=一孚=P+2工 ZsslLl=S S _2ySH F T 2 ef y F t 2 e115解:T 訂=ex (x2 + 2xy + 2工 + 2) 甥=2xexgrad(x,

21、y) = 高等數(shù)學(xué)（工本）試題答案第1頁（共3頁=ex(x2 +2xy + 2x + 2y).216. 解：yifrdXdyS= Myedy=Io 3dx-(x, + l)e-*, =I(I-2rl) 17. 解：jj(l -X2 y2)dxdydz=wdnr(l-r2)tJO JO JO= *2r(l-r2)dr=2 / *： = (2ai a4).解：LHdS=x l + (2x)id(l + 4xl)i =(i-l)19. 解:令 P(,y) = x + y Q(HQ) = h y3P I Q:. = I = a?積分與路徑無關(guān)并且 I = LeX+ l)dr +J(2-y)dy = y

22、20. 解:J = j lrUZx = 2lruz 2lrLz + 2J dzXX通解 y = |(nx- +C)d=Ina ?InX + GH + Ct21. 解:VUll = In(n 1) Inrt髙等數(shù)學(xué)（工本）試題答案第2頁（共3頁）全國 20XX 年 1 月自學(xué)考試 高等數(shù)學(xué) （工本）試題和答案課程代碼： 00023、單項選擇題 （本大題共 5小題。每小題 3分，共 15 分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.已知點(diǎn)A(7,1,3)及點(diǎn)B(5, 1,4),則與向量 AB同向的單位向量是 ( )2 2 1 A

23、. , ,3 3 32 2 1 B. , ,3 3 32 2 1 D. 3, 3 ,32 2 1C. 3 , 3, 32 22 22. 設(shè)積分區(qū)域 ： x2 y2 z2 R2 ,則三重積分f (x, y, z)dxdydz，在球坐標(biāo)系中的三次積分為(A.B.C.2Rd d f(rcos sin ,rsin sin ,r cos )dr2Rd d f (x, y,z)r 2 sin dr2 R 2d d f (r cos sin ,r sin sin ,r cos )rsin2 drD.2R0 d 0 d 0f (rcos sin ,rsin sin ,rcos )r2 sin drB. y y

24、3. 設(shè) F(x,y)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且 xF(x,y)dx+yF(x,y)dy 是某函數(shù) u(x,y)的全微分，則(FFA. x yyxC.FFxyD.y Fy4. 微分方程 y 5y 6y xex 的一個特解應(yīng)設(shè)為 y*=()B. x(ax+ b)exD. x2(ax+b)ex)B.13 10n 1 n3xA.axeC.( ax+b)ex5. 下列無窮級數(shù)中，發(fā)散的無窮級數(shù)為(A.n1C.n12nD.32n 1n 1 3二、填空題 (本大題共 5 小題，每小題 2分，共 10分) 請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。6. 點(diǎn) P( 0， -1 ， -1 )到平面 2x+y-

25、2z+2=0的距離為 .7. 設(shè)函數(shù) z=ex-2 y, 而 x=t 2, y=sin t , 則 dz =.dt8. 設(shè)為球面 x2 y2 z2 a2, 則對面積的曲面積分dS 9. 微分方程 y 1 0的通解 y .10. 設(shè)函數(shù) f(x)是周期為 2的函數(shù) , f ( x)的傅里葉級數(shù)為1 21 n 1 42 cosnx,3 n 1 n則傅里葉級數(shù) b3=三、計算題 (本大題共 12 小題，每小題 5分，共 60分)11. 求過點(diǎn)P(2,-1,3), 并且平行與直線2x 3y z 5 的直線方程 .x 3z 112. 設(shè)函數(shù)13. 設(shè)函數(shù)f ( x, y)=(1+ xy)x,求 fxz

26、x2 2y y, 求全微分 dz.x(1,1)114.設(shè)函數(shù)z=f(exy,y), 其中 f(u,v) 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,求 z 和 z . xy15.求拋物面 z 2x2 3y2在點(diǎn) 1, 1,5 處的切平面方程 .16.計算二重積分x y 2 dxdy ,其中積分區(qū)域 D: x2 y2 4.D17.計算三重積分xdxdydz ,其中積分區(qū)域 是由 x y z 1及坐標(biāo)面所圍成區(qū)域 .18. 計算對弧長的曲線積分x 2y 1ds其中 C 是 y=3-x 上點(diǎn) A(0,3)到點(diǎn) B(2,1)的一段 .19. 計算對坐標(biāo)的曲線積分x 1dy y 1 dx ,其中 C是擺線 x t sint, y 1 cost 上點(diǎn) A(0,0)到點(diǎn) B(2 ,0)的一C段弧 .20. 求微分方程 dy e2x y的通解 .dx1n21. 判斷無窮級數(shù)的斂散性 .n 2 lnn22. 將函數(shù) f (x) x2 ln 1 x 展開為 x 的冪級數(shù) .四、綜合題 (本大題共 3 小題，每小題 5分，共 15分)23. 求函數(shù) f x, y x2 2xy y2 2x 6y 4 的極值 .24.計算由曲面 z x2 3y2, 三個坐標(biāo)面及平面 x y 1所圍立體的體積1121 2 3 1 2 n25.證明無窮級數(shù)收斂 ,并