物理光學習題解答 說明說明： 本資料是20102011學年度第一學期光電學院中法08010803班的物理光學作業(yè)題， 配套書籍為竺子民主編、華中科技大學出版社 2009 年出版的物理光學 。助教劉昊在任課 老師王英的指導下從同學們的作業(yè)中選取優(yōu)秀的解法， 綜合整理成為習題解答， 因此這也是 各位同學的功勞。 本解答對于大部分的題目只做方向上的引導， 列出公式， 而略過具體計算。 如果同學們有任何疑問或發(fā)現(xiàn)解答錯誤，請發(fā)郵件至jy02760419（劉昊） ，在 此先行感謝。 1.2 寫出存在電荷和電流密度的介質中的JE和的波動方程。 H 解：麥克斯韋方程組可寫為 0 H E t E HJ t E H 根據(jù)上述麥克斯韋方程組，有 2 2 E J HJE t E ttt t E 由 2 EE E可得： 2 2 2 JE E tt 根據(jù)麥克斯韋方程組有 2 2 H EH t HJJJ tt t H 由可得： 2 HH 2 2 2 0 H HJ t 綜上，波動方程為 2 2 2 2 2 2 0 JE E tt H HJ t 1.3 證明：在無源自由空間中 （1）僅隨時間變化的場，如 0 sinE txEt，不滿足麥克斯韋方程組； （2）同時隨時間和空間變化的場，如 0 ,sin z E t zxEt c ，可滿足麥克斯韋方程 組（式中， 1 c ） 。 證： （1）無源空間中，若場滿足麥克斯韋方程組，則滿足波動方程 2 2 2 0 E E t 。僅 隨時間變化的場無空間變量，。 2 0E 而 2 2 0 2 sin E E t t 不恒為 0。因此無法滿足波動方程，不滿足麥克斯韋方程組。 （2）當 0 ,sin z E t zxEt c 時， 22 0sin z EEt c ， 2 2 0 2 sin Ez Et tc 滿足波動方程 2 2 2 0 E E t ，則,E t z 可滿足麥克斯韋方程組。 1.5 推導磁場波動方程式 2 2 2 0 H H t 解：在無源空間中，麥克斯韋方程組可寫為 0 0 H E t E H t E H 根據(jù)上述麥克斯韋方程組，有 2 2 H EH t H ttt ，0H 由可得： 2 HH H 2 2 2 0 H H t 2.2 空氣中均勻平面光波的電場強度振幅為 800V/m，沿 x 方向偏振，z 方向傳播，波長 為 0 E 0.6 m，求： （1）光波的頻率 f （2）周期 T （3）波數(shù) k （4）磁場強度振幅 H 解： （ ）1 14 5 10 c fHz 15 1 2 10Ts f （2） 7 2 1.047 10krad m （3） 2.12HEA （4）m .5 均勻絕緣介質中的光場為 4 300 cos 3 y Ezt 2， 4 10cos 3 y Hxt 求： （1）時間角頻率 r （2）介質的相對介電常數(shù) 1 30 H E 0 1 r H 解： 0 377 r r E ，又由題干知， 16 r 解得， 8 10 r c kvkrad s 2.7 在正常色散區(qū)，證明當1k0時，式（2.3.11）可近似為柯西公式。 明： ，1k0時 證 22 2 22 22 00 00 0 1 11 21 1 NqNq n mm 可以看成項求和， n 24 22 2 2 222 000000 0 24 222 22224 00000000 2 22 22 00000 1 1 22 111 21 1 2121 1 2 1 n NqNq n mm NqNqNq mmm NqNq mm 4 2 224 000 121Nq m 則近似為柯西形式 2 24 BC nA 2.8 一光學材料對 435.8nm 和 546.1nm 波長的折射率分別為 1.52626 和 1.51829， 確定柯西公 ，并計算該材料對 86.1nm 波長的折射率和色散率式中的常數(shù) A 和 B4 dn d 。 柯西公式近似解：為 2 B nA 帶入題中數(shù)據(jù)，解得 B=4.16 32 A=1.50413，80610 nm 486.1nm時，帶入柯西公式，得 n=1.52195 51 3 2 7.2574 dnB 10 nm d 波在空間動分別為 111 cosEat2.9 兩個振動方向相同的單色某點的振和 222 cosEat，若， 15 210 Hz 1 15aV m， 2 10aV m， 1 0和 2 2 ，求該點的合振動表達式。 解： 120exp EEEEjt 22 0111221 2cos 18Eaaa aV m 1122 tan 1122 sinsin arc33.69 coscos aa aa 幅表達式為 15 18cos 33.69E210則合振t V m 2.10 如圖 2.4.3 所示，有 N 個振幅同為的光波疊加，相鄰相幅矢量之間的夾角為 0 A，利 用相幅矢量加法求合振動的振幅 A。 解：取第一個光波方向為標準方向，記為 0 A 則 12 00000 1 1 in Niii i e AAA eA eA eA e 2 2 0000 2 2 sin ssin 1 cos 2 1 cos in sin 2 i n nn n AA 11 co in e AAAA 1 1 coss e 2.11 兩個偏振方向相同的光波分別為 1 cosEakxt和 2 cosEakxt ，利用 復數(shù)形式求合光波。 解：兩個光波的復數(shù)形式為 1 expEaj kxt ， 2 expEakx t 12 2 expsin 2 EEEaj kxt 合光波的復數(shù)形式為 Re 2 exEapsin2 sinsin 2 j kxtakxt 合光波 2.14 證明任何一個橢圓偏振光可分解為一對旋向相反，振幅不等的圓偏振光。 證：對于任意一個橢圓方程 2 2 2 22 1212 2cossin yxy x EE E E aaa a ，其中 21 22 22 1 xy ab ，也可以表示為 這是一個斜橢圓，取適當?shù)淖鴺讼?，可以將其轉化為 cosxa sinyb 假設存在兩個方向相反的圓偏振光 1 cos sin xp yp 1 和 2 2 cos sin xq yq 12 12 xxx yyy ，使得， 則橢圓可有這兩個相反的圓偏振光疊加而成。 解得， 當 2 22 11 2 22 22 2 2 2 ab p ab q 時， 滿足上述情況， 則兩個圓為 b 綜上，任何一個橢圓偏振光可分解為一對旋向相 2 ab xy a xy 逆時針方向 順時針方向 反，振幅不等的圓偏振光。 2.15 一個平面線偏光從空氣中入射到4 r ，1 r 的介質上， 如果入射光的電場強度矢量 與入射面的夾角為，問： （1）入射角 45 i 為何值時，反射光中只有垂直分量？ 2）此時反射率R等于多少？ （ 解： （1） 1 1n ， 2 2 rr n 當反中只直分量時，入射角為布儒斯特角，有： 射光有垂 2 1 i n i tan2， n 64.43 112 sinsinnn 2 （2）由， 1 64.43 i ，解得， 2 26.56。 2 2 1122 1122 coscos 36% coscos ss nn Rr nn 得， 2 sin 4518% 2 s s R RR 22 sincos sp RRR，由0 p R 和45 2.18 已知全反射時，第二介質中的電場強度矢量為： 222 exp()exp x EyAzj k xt 求： （1）第二介質中的磁場強度矢量 2 H （2）平均坡印廷矢量 3）分析第二介質中的能量流動情況 1）由 （ 2 E 的表達式知，選取的入射面是 xz 面。解： （ 2 1 則有 1 2 sin n sin ， 2 cosj sin 1 n 222 sincoskxz 22 2 H 222222 22 2 211 22 2 sincosexp()exp sinsin 1exp()exp x x kExzyAzj k xt AZjxzj k xt nn 當虛部前取正號時，振幅將隨 x 增加趨向無限大，因此舍去。因此有： 2 211 222 2 sinsin 1exp()exp x HAZjxzj k x nn t （2）在介質中，復振幅分別為： 222 expexp x EyAzjk x 21 22 2 sin expexp x HzAzjk x n 2 坡印廷矢量為： *2 21 2222 2 sin11 Reexp2 22 SEHxA n z x （3）由于是全反射，在介質內的波為隱失波，其平均能流為 0。而在介質界面上能流為方 減。 2.19 一個折射率 n=1.3 的介質立方塊置于空氣中，平面波以 向，大小呈指數(shù)衰 1 角入射到介質塊的 A 端，偏 轉 2 角后傳播到介質塊的 B 側，求： （1） 1 22時的 2 （2）B 側有光波傳出的最小 1 21 11 sinsinsin220.288 1.3n 解： （1） 2 arcsin0.28816.75 （2）全反射角 1 n ，此時 2 90 12 sinsinn，解得， 1 56，而此為產生全反射的最小角，因此 1 最小為。 2.26 鋁的 n=1.5，k=3.2，波500nm 的光垂直照射鋁表面，求反射光相對入射光的相位變 化 56 長 和反射率 R。 解：垂直入射垂直入射時 11 11 sp nnkj rrr nnkj Im arctan29.118相位變化 Re sp r r 2 2 211 63.6% 1 nnkj Rr nkj 3.3 如題 3.3 圖所示的楊氏干涉裝置中，點光源波長 1n 0.55 m，小孔間隔m， 小孔到觀察屏的距。求： （1）條紋間隔 e （2）在小孔后放一塊厚度 h=0.01mm玻璃平行平板，確定條紋移動方向，給出移動公 n 解： （1） 3.3dm 3Dm 2 S的 式 （3）在（2）的條件下，若條紋移動 4.73mm，求玻璃折射率 0.5 D em d m 下光束比上光束的光程多了1h n（2）由于加了玻璃板后，為了平衡光程差，中心條紋 將向下移動。 D1 x h n 光程差 e 在沒有加玻璃板時，零級條紋在0 x 處，增加玻璃后，0D 時， 1ne x h 了 1ne 故條紋往下移動 h 數(shù)據(jù)帶入（2）中公式，得1.5203n （3）將 傳播的兩個相干平面波在點p的相位差。3.4 如題圖 3.4 所示，求沿和 1 s p 2 s p 解： 22 2222 21 12 2 D 22 dd rrxyzxyz rr dx 由于 12 2rrD 光程差 2 D dxdx DD D 相位差2 kdx D 3.1.1 中，除處的單色光源s外，還有0 x 2 b x 和 2 b x 處的s處的兩個單色s3.7 圖 點光源，三個點光源的波長、光強相同。求干涉條紋對比度。 解：s在 P 點處的光強為 100 2 D 22cosIII 在 P 點處的光強為 200 2D 2 22cos b III s 在 P 點處的光強為 200 2D 2 22cos b III s 1230 23cos12cosIIIII 2 Db 2 D cos I變量為光程差D，當取1時，分別為的最大和最小值。 對比度 maxmin k II maxmin 12cos 3 b II 3.8 干涉儀中點光源的光譜如題圖 3.8 所示，求干涉條紋對比度。 解： 1 1 1001 sinD 21 cos D41cos D kk kk k IIkdkIkk k D 2 2 2002 sinD 21 cos D41cosD D kk kk k IIkdkIkk k 1 I 2 I互不相干，總光強為 由于與 1212 120 sinD 81cosD cosD D22 kkkkk IIIIk k 式中光程差為變量，由實際情況可知，DD0k，則 sinD 1 D k k 。，則 12 kk 12 cos1 2 kk ，因此真正對I的值產生顯著影響的是 12 cosD 2 kk 項。而 12 cosD 2 kk 取 時，分別約為1I的最大和最小值。 對比度 maxmin12 maxmin sinD cosD D2 kIIkk k IIk 81 10Ds3.9 準單色熱光源的典型頻帶寬度為，高穩(wěn)定激光的典型頻帶寬度為 41 10s ，求它們各自的相干時間和相干長度。 解：對于準單色熱光源，相干時間 8 1 10 s ，相干長度m3 l dc 對于高穩(wěn)定激光，相干時間 4 1 10 s ，相干長度 座中的一顆星地球表面的張角為0.0 m 星對 4 3 10 l dc 3.12 測得獵戶 47 ，平均波0nm，求其在 長為 50地 球表面的相干面積。 解：相干面積 2 2 0.61 5.62Am 雙棱鏡實驗中， 光源到雙棱鏡和觀察屏距離分別是 25cm和 1m， 光波長為 546nm， 寬度是多少？ 對比度下降到零時光源的寬度為臨界寬度。臨界點 3.17 菲涅耳 解： 要觀察到清晰干涉條紋，光源的最大橫向 S 和 S 在任意一條縫上的光程差為 ，根據(jù)公式， c b 。其中，對于雙棱鏡而言， c S Sb 。設臨界寬度 21Dln D ，通常取，301.5n，又由m25lc，解得 m，此時對比度為 0。若要看到清晰干涉條紋，要使得 1Dm 0.02 4 c b bm0.08 c bmm。 置觀察等傾條紋，當 3.18 用圖 3.34 所示裝500nm，平行平板折射率，厚度 時，求： 心條紋級數(shù) 向外數(shù)，第 5 個亮環(huán)的角半徑及角間隔 1.5n 1hmm （2）從中心 （1）觀察屏中 0 2 D 2 6000.5 nh m 角半徑 解： （1） 則中心處為第 6000 級暗紋 2）根據(jù)公式，（15 10.50.0581 nn Nqra d hh q 前為正號） （注意公式中 角間隔 1 2 21 nnn NqdNdN hhn hNq 時，對于角間隔有，此時 dd 當5N h 1N0.00647 2 n rad h 1.0Rm3.20 平凸徑透鏡曲率半，在空氣中測得其第 m 級牛頓環(huán)直徑為 4.73mm。在某種 直徑為 4.10mm。求該液體的折射率。 解：對于牛頓環(huán)，有 液體中測得其第 m 級牛頓環(huán) 2 r 2 h R 在空氣中，有 1 2hm 1 22 在液體中，有 2 1 2 22 hm 1 1 2 D r ， 2 2 2 D r ， 1 2 1n nn 其中， 1 聯(lián)立上述各式，有 2 1.154 D n D .22 長度為 10cm，曲率半徑為 1cm 的柱面透鏡一端與平面玻璃接觸，另一端離平面玻璃 面波垂直 （2）從接觸點向外計算，沿 x 軸、y 軸第 N 個暗紋距離。 所覆蓋 3 0.1mm，波長 500nm 的平照射。求： （1）條紋形狀 ,x y解： （1）對于柱面透鏡的，透鏡底面到玻璃平板的高度 22 0.001hxRR y，光程差 22 D20.00222 22 hxRRy ，可見， 對于某一光程差 D，,x y滿足橢圓方程，因此條紋形狀為橢圓。 向 x 方向計算，模型等價于牛頓環(huán)，第 N 個暗紋的距離 （2）從接觸點 0.707 N xN RN mm tan0.001。對于第 N 個條紋，滿足 從接觸點向 y 計算，模型等價于楔形板， 1 2 22 hN 第 N 個暗紋的距離 0.25 tan N h mm 的薩納克干涉儀中，光源波長 yN 600nm，光纖纖芯折射率，光纖 共線， 1.6n 測出某時刻光波相位差 3.24 兩光束結構 圓環(huán)半徑10rcm，圓環(huán)數(shù)量50N ，干涉儀轉軸與圓環(huán)面 4 ，求角速度。 2 00 88NA nN r vv 解： 又由 c v ， n 0 n 222 1.4 c rad s 8Nr n 10cm3.26 泰曼格林干涉儀中，和是兩個長度為的真空氣室，589.3nm 1 T 2 T的單色 光照射下，觀察干涉條紋。向兩氣室之一射入折射率為的氣體，條，問： （1）兩光束、之間夾角為 n看到條紋動了 92 90或90兩情況下，條紋有何不同。 于推算，結果是否受n（2）上述測量過程用影響。 （3）為多少？ 解： （1）兩光束間夾角為時，觀測面為等傾干涉條紋，兩光束間夾角不為，觀察平 面上為等厚干涉條紋。 n 9090 （2）90時，等傾干涉D21nLm 90時，等傾干涉D21nLm 因此無論是否為 90，光程差都是相同的，故度不影響測量 （3）由 n 21nLm 11.000271 2 m n L 和 211 時，兩波長條紋就重合一次，求 1 600nm3.29的兩波長光在 FP 干涉儀上比較，當干涉儀兩鏡 面間隔改變1.5nm 2 。 ：當時， 2 0.12 2 nm nh 1 解 21 599.88nm 。聚焦透鏡的焦距30fcm3.30 FP 標準具的間隔2hm，光源波長632.8nmm。當 條紋中心恰為一亮點時，求第 5 環(huán)條紋半徑。 解：中心處為亮紋，則有 0 2nhm 20 2cos5nhm 第 5 環(huán)處 聯(lián)立上述兩式，解得， 2 2.279 則cm 52 1.19rf 3.31 題 3.30 中，若標準具兩鏡面反射率0.98R ，求： （1）標準具能測量的最大波長差 （2）能分辨的最小波長差 ： （1）最大波長差為 解 2 0.1 2 FSR nm nh min 2 b m （2）最小波長差 2 1 0.04 R b R ，中心亮紋級數(shù) 2 6321 h m 。帶入上式，得： 其中 4 min 6.37 10 nm 3.33 在照相機物鏡上鍍一層光學厚度為 0 0 5 550 nm 4 的低折射率膜，求： （2）薄膜呈現(xiàn)的顏色 于鍍低折射率的膜，故為增透膜，反射率最大即透射率最小，故 （1）在可見光范圍內反射率最大的波長 解： （1）由 0 5 42 nhm 2m ，687.5nm和3m ，458.3nm 在可見光范圍內，滿足上述表達式的有 （2）薄膜呈現(xiàn)的顏色即反射光的顏色。687.5nm對應的顏色為藍色，458.3nm對 應的顏色為紅色，混合起來為紫色。 其中一個反射鏡以勻速運動，由光電探測器 v3.42 邁克耳遜干涉儀的兩個反射鏡互相垂直， 接收，輸出電信號的頻率。 （1）求入射光波長 （2）若入射波長為 600nm，要使1000Hz，應為多少 解： （1）光程差的變化量，當光程差為 v D2vt時，即探測器端接收到一個周期的變化。 即，則 2v ，其中 1 T 2vT 0.3（ ）2 2 vmm s 4.6 波長0.5m的單色平面波垂直入射直徑為的圓孔，要在直徑的區(qū)域中觀察衍 射圖樣，求下列衍射的大致區(qū)域及最?。?（1）菲涅耳衍射 （2）夫瑯和費衍射 3cm 對應的菲涅耳系數(shù) 3cm zNF 解： （1）菲涅耳衍射時： 22 3 4 zxy 2 max 令 12 , coscosxrr 12 sinsinyrr 2 2 22 22 121 2 2cosxyrrrr 當時，得到 cos1,0.015rrRm 12 2 22 4 max 16xyR ，則 4 3 4 1.0834 R zm 2 1661.44 a NF z （2）夫瑯和費衍射時： 32 z 2 max 2 k 2 2 cos sin r r ，當時，得到 2 ，則 2 0.015rRm 令 222 2max max rR 2 1413 R zm 2 1.27 a NF z 4.7 白光單縫夫瑯禾費衍射圖樣中，其色光的第 3 極大與 600nm 的第 2 極大重合，求該色光 的波長。 解：第 n 條亮紋距中心點的間隔為： 21 2 nf a 某色光的第 3 極大與 600nm 的第 2 極大重合，則有 2 3 12 2 1 600 22 ff nm aa 428nm 解得， 4.10 在寬度為的單縫后放置一塊折射率為，楔角為bn的小楔，單色平面波垂直照明，求 下列夫瑯禾費衍射光的方向： （1）中央極大 （2）各級極小 解： （1）由折射定理， sin sin n 得，n ，由0 則中央極大偏離主光線的方向為 0 1n （2）設各極小的方向為與水平方向夾角為 0 sinsinbm，其中1, 2, 3m 則 4.11 單色平面波垂直入射不透明屏上的單縫， 單縫后置一透鏡， 在透鏡后焦面上觀察衍射 （1）單縫在面內垂直于單縫方向平移 （2）單縫在面內沿單縫方向平移 （3）單縫在面內旋轉 （4）單縫沿透鏡軸線移動 （5）單縫寬度變大和變小 解： （1）衍射圖樣的位置將垂直于單縫平移，移動方向和單縫的移動方向相反，衍射圖樣不 發(fā)生變化。 （2）衍射圖樣的位置將平行于單縫平移，移動方向和單縫的移動方向相反，衍射圖樣不發(fā) 生變化。 3）衍射圖樣會在 圖樣。討論在下列情況下，衍射圖樣的變化。 （面內與單縫旋轉的方向同向旋轉。 寬度變大時，圖樣縮??；單縫寬度變小時，圖樣擴散。 4.14 如題 4.14 圖所示，不透明屏上有一個半徑為的圓孔，圓孔中心有一個半徑為 （4）單縫靠近透鏡時，圖樣變大；單縫遠離透鏡時，圖樣變小。 （5）單縫 2 a a的不 （1）環(huán)狀光闌的夫瑯和費衍射光強 （2）環(huán)狀光闌與圓孔光闌軸上點衍射光強之比 解：在半徑為的圓孔衍射屏上有： 透明圓盤，組成一個環(huán)狀光闌。求 a 12 1 2Jka Epc a ka 同理，在半徑為 2 a 的圓孔衍射屏上有： 2 1 2 a Epc 2 2 2 2 a Jk a k 則 12 E pEpEp 2 2 2 1 1*22 4 Jk a Jka I pE pEpc 22 2 aa a k ka 0（2）對于軸上點，有，則環(huán)狀光闌軸上點衍射光強 224 0 9ca I p 4 圓孔光闌軸上點衍射光強 *224 0 4 11 0 IpEpEpca 環(huán)狀光闌與圓孔光闌軸上點衍射光強之比為 0 9 16 I p Ip 求望遠鏡的 4.17 人眼的瞳孔直徑為 2mm，光波長 550nm，要用望遠鏡觀察角間隔 310-7rad 的兩顆星， （1）物鏡直徑 （2）角放大率 解（ ）由1 1.22 D 2.24Dm 帶入數(shù)據(jù)，解得 （2）由 1.22 e e D 則角放大率 2.24Dm 1120 2 e e Dmm 4.20 顯微鏡使用波長為 500nm 的照明光，問 （1）要看清半個波長的細節(jié)，顯微鏡的數(shù)值孔徑 NA 應為多少： （2）NA=1.48 時，能看清的最小細節(jié)為多少？ （1）由 0.61 NA ，又有 2 解：，解得 （2）由 1.22NA 0.61 NA ，解得， 206.1nm 距為 50cm，測出條紋間隔為 1.5mm，且第四級缺級。求 （1）雙縫的間隔和縫寬 4.21 雙縫的夫瑯和費衍射實驗中，波長為 632.8nm，透鏡焦 （2）第 1，2，3 亮紋的相對強度 解： （1）對于雙縫衍射，有sindm，則有 cosdm 相鄰條紋間1m，0，則有 d ef，聯(lián)立得 ，又由 0.21 f dm e m 4 d 0.0525amm 由缺級條件知 a ，解得 強分布 2 2 0 sin 4co 2 IIs （2）雙縫衍射光 sinasin 2 d 其中 ， sin, 2 , 3d 第 1，2，3 級亮紋對應的分別是 帶入解得3，第 1，2， 級亮紋的相對強度分別為 ， 3 0 0.09 4 I I 1 0 4I 0.811 I ， 2 0 0.405 4 I I 6.1 求偏振光 j 1.53 expExy 2 的 （1）瓊斯矢量； （2）與E 垂直的一個矢量。 22 1.51 1 1.5 0.4472 3exp2exp2 1.53 22 E jj j 解： （1） （2）設所求矢量為 a E b ，由于向量中含復數(shù)，向量空間取為酉空間。在酉空間中，垂 直矢量滿足 * 0 T E E ，即20abj。令1b ，則2aj，得到一個可行解為 j2 1 E 30角入射到玻璃空氣界面，玻璃折射率為 1.54。求： （1）反射光偏振度； （2）界面 6.3 自然光以 上的布儒斯特角； （3）以布儒斯特角入射時，透射光的偏振角。 解： （1）由 1 30及折射定律 2 1 sin 1.54 sin ，得 2 50.35 將自然光分解為p、s方向，則 1 I 2 oposo II 反射率為 11 cos s r nn 22 1122 coscos 0.3527 cos nn 1221 1221 coscos 0.06307 coscos nn nn p r 則 2 0.0622 poppo IIrI 2 0.00199 sosso IIrI 93.8% ps ps II p II 反射光的偏振度為 2 1 1 （2）ar33 B ctanarctan 1.54 n n （