高清視頻學(xué)案 8 / 8分類討論的思想北京四中 呂寶珠一、高考真題感悟已知函數(shù)f(x)3ax42(3a1)x24x.(1)當(dāng)a時(shí)，求f(x)的極值；(2)若f(x)在(1,1)上是增函數(shù)，求a的取值范圍解(1)f(x)4(x1)(3ax23ax1)當(dāng)a時(shí)，f(x)2(x2)(x1)2，f(x)在(，2)內(nèi)單調(diào)遞減，在(2，)內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)x2時(shí)，f(x)有極小值，f(x)的極小值是f(2)12.(2) 在(1,1)上，f(x)是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f(x)4(x1)(3ax23ax1)0，即3ax23ax10. a當(dāng)a0時(shí)，恒成立b當(dāng)a0時(shí)，若要成立， 則需3a123a110，解得a.c當(dāng)a0時(shí)，若要成立，則需3a210，即10，解得a.綜上，a的取值范圍是.考題分析本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法、函數(shù)極值的求法，考查了由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍的方法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法本題的核心是考查考生利用分類討論的思想解決問(wèn)題的能力易錯(cuò)提醒(1)f(x)0的根x1并不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)考生易忽視對(duì)極值點(diǎn)的判斷(2)不能將f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為不等式進(jìn)行研究(3)忽視分類討論或討論不到位是本題出錯(cuò)的關(guān)鍵二、思想方法概述1分類討論的思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法其基本思路是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題的解答來(lái)實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題的思想策略對(duì)問(wèn)題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問(wèn)題(或綜合性問(wèn)題)分解為小問(wèn)題(或基礎(chǔ)性問(wèn)題)，優(yōu)化解題思路，降低問(wèn)題難度2分類討論的常見(jiàn)類型(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對(duì)值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等(3)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對(duì)數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等(4)由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等(5)由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問(wèn)題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法(6)由實(shí)際意義引起的討論：此類問(wèn)題在應(yīng)用題中，特別是在解決排列、組合中的計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)常用3分類討論的原則(1)不重不漏(2)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要分明(3)能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無(wú)原則地討論4解分類問(wèn)題的步驟(1)確定分類討論的對(duì)象：即對(duì)哪個(gè)變量或參數(shù)進(jìn)行分類討論(2)對(duì)所討論的對(duì)象進(jìn)行合理的分類(3)逐類討論：即對(duì)各類問(wèn)題詳細(xì)討論，逐步解決(4)歸納總結(jié)：將各類情況總結(jié)歸納三、熱點(diǎn)分類突破題型一根據(jù)數(shù)學(xué)概念分類討論例1.已知二次函數(shù)yg(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y2x平行,且yg(x)在x1處取得極小值m1 (m0)設(shè)f(x).(1)若曲線yf(x)上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為，求m的值；(2)k (k R)如何取值時(shí)，方程f(x)kx0有解，并求出該方程的解解(1)依題可設(shè)g(x)a(x1)2m1 (a0)，則g(x)2a(x1)2ax2a，又g(x)的圖象與直線y2x平行，2a2，a1，g(x)(x1)2m1x22xm，f(x)x2.設(shè)P(x0，y0)，則PQ2x(y02)2x22x2m22m2|m|2m，當(dāng)且僅當(dāng)2x時(shí)，PQ2取最小值，即PQ取得最小值.當(dāng)m0時(shí)，解得m1；當(dāng)m0，當(dāng)m0，k1或者m0，k1 (m0)，或k1 (m0 (n1，2，3)(1)求q的取值范圍；(2)設(shè)bnan2an1，記bn的前n項(xiàng)和為Tn，試比較Sn與Tn的大小思維啟迪 (1)根據(jù)條件列出關(guān)于q的不等式，注意分類討論(2)能否判斷bn為特殊數(shù)列進(jìn)而求和作差、作商比較大小解(1)an是等比數(shù)列，Sn0，可得a1S10，q0，當(dāng)q1時(shí)，Snna10；當(dāng)q1時(shí)，Sn0，即0 (n1,2,3，)，上式等價(jià)于(n1,2,3，)或(n1,2,3，)，解式得q1；解式，由于n可為奇數(shù)、可為偶數(shù)，故1q0且1q0，所以當(dāng)1q2時(shí)，TnSn0，即TnSn；當(dāng)q2且q0時(shí)，TnSn0，即Tn0.(1)若a1，求曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程；(2)若在區(qū)間，上，f(x)0恒成立，求a的取值范圍解(1) 當(dāng)a1時(shí)，f(x)x3x21，f(2)3.f(x)3x23x，f(2)6，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為y36(x2)，即y6x9.(2) f(x)3ax23x3x(ax1)令f(x)0，解得x0或x.若00等價(jià)于即解不等式組得5a5.因此02，則00等價(jià)于即解不等式組得a5或a.因此2a5.綜合，可知a的取值范圍為0a5.題型四根據(jù)圖形位置或形狀變化分類討論例4.有四根長(zhǎng)都為2的直鐵條，若再選兩根長(zhǎng)都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是_解根據(jù)條件，四根長(zhǎng)為2的直鐵條與兩根長(zhǎng)為a的直鐵條要組成三棱錐形的鐵架，有以下兩種情況：(1)底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，三條側(cè)棱長(zhǎng)為2，a，a，如圖(1)，此時(shí)a可以取最大值，可知AD，SD，則有2，即a284()2，即有a2，1a0且a4，即0a