一 引例 二 導(dǎo)數(shù)的定義 三 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 四 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 導(dǎo)數(shù)概念 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 一 引例 設(shè)動點于時刻在直線上所處的位置為s 于是s f t 稱此函數(shù)為位置函數(shù) 該如何定義動點在某一時刻的瞬時速度呢 1 直線運動的速度 下頁 求曲線y f x 在點m x0 y0 處的切線的斜率 在曲線上另取一點n x0 x y0 y 作割線mn 設(shè)其傾角為j 觀察切線的形成 2 切線問題 當(dāng) x 0時 動點n將沿曲線趨向于定點m 從而割線mn也將隨之變動而趨向于切線mt 此時割線mn的斜率趨向于切線mt的斜率 動畫演示 首頁 二 導(dǎo)數(shù)的定義 存在 則稱函數(shù)f x 在點x0處可導(dǎo) 并稱此極限值為函數(shù)f x 在點x0處的導(dǎo)數(shù) 記為f x0 即 下頁 設(shè)函數(shù)y f x 在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義 如果極限 導(dǎo)數(shù)的定義 1 函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù) 如果上述極限不存在 則稱函數(shù)f x 在點x0處不可導(dǎo) 導(dǎo)數(shù)的其它符號 下頁 導(dǎo)數(shù)的其它定義式 導(dǎo)數(shù)的定義式 例1求函數(shù)y x2在點x 2處的導(dǎo)數(shù) 解 或 下頁 導(dǎo)數(shù)的定義式 導(dǎo)數(shù)的定義式 導(dǎo)函數(shù)的定義 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間i內(nèi)每一點x都對應(yīng)一個導(dǎo)數(shù)值 則這一對應(yīng)關(guān)系所確定的函數(shù)稱為函數(shù)y f x 的導(dǎo)函數(shù) 簡稱導(dǎo)數(shù) 記作 提問 導(dǎo)函數(shù)的定義式如何寫 f x0 與f x 是什么關(guān)系 下頁 例2求函數(shù)f x c的導(dǎo)數(shù) c為常數(shù) 解 即 c 0 下頁 2 求導(dǎo)數(shù)舉例 解 例3 解 例4 下頁 2 求導(dǎo)數(shù)舉例 2 求導(dǎo)數(shù)舉例 例5求函數(shù)f x xn n為正整數(shù) 在x a處的導(dǎo)數(shù) 更一般地 有 xm mxm 1 其中m為常數(shù) 把以上結(jié)果中的a換成x得f x nxn 1 即 xn nxn 1 解 nan 1 xn 1 axn 2 an 1 下頁 2 求導(dǎo)數(shù)舉例 例6求函數(shù)f x sinx的導(dǎo)數(shù) 解 下頁 sinx cosx 同理可得 cosx sinx 2 求導(dǎo)數(shù)舉例 例7求函數(shù)f x ax a 0 a 1 的導(dǎo)數(shù) 解 下頁 sinx cosx cosx sinx ax axlna 特別地有 ex ex 2 求導(dǎo)數(shù)舉例 例8求對數(shù)函數(shù)y logax的導(dǎo)數(shù) 解 下頁 sinx cosx cosx sinx ax axlna 2 求導(dǎo)數(shù)舉例 以上得到的是部分基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 下頁 特別地有 特別地有 ex ex 3 單側(cè)導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 函數(shù)f x 在開區(qū)間 a b 內(nèi)可導(dǎo)是指函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點可導(dǎo) 函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上可導(dǎo)是指函數(shù)f x 在開區(qū)間 a b 內(nèi)可導(dǎo) 且在a點有右導(dǎo)數(shù) 在b點有左導(dǎo)數(shù) 函數(shù)在區(qū)間上的可導(dǎo)性 下頁 例9求函數(shù)f x x 在x 0處的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 因為f 0 f 0 解 所以函數(shù)f x x 在x 0處不可導(dǎo) 3 單側(cè)導(dǎo)數(shù) 首頁 三 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 導(dǎo)數(shù)f x0 在幾何上表示曲線y f x 在點m x0 f x0 處的切線的斜率 即f x0 tana 其中a是切線的傾角 切線方程為 y y0 f x0 x x0 法線方程為 下頁 解 所求法線方程為 所求切線及法線的斜率分別為 所求切線方程為 即4x y 4 0 即2x 8y 15 0 下頁 首頁 例11 設(shè)切點的橫坐標(biāo)為x0 解 于是所求切線的方程可設(shè)為 已知點 0 4 在切線上 所以 解之得x0 4 于是所求切線的方程為 則切線的斜率為 四 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 結(jié)論如果函數(shù)y f x 在點x0處可導(dǎo) 則它在點x0處連續(xù) 這是因為 應(yīng)注意的問題 這個結(jié)論的逆命題不成立 即函數(shù)y f x 在點x0