一 中 PH YSI CS TEACH I NG AND LEARNl 崛 淺析物理解題 中的微分思想 陳宏奎 物理解題中運用的數(shù)學方法 通常包括幾何 圖 形法 函數(shù)圖象 三角函數(shù)方程法 比例法 數(shù)列遞 推求和法 數(shù)學數(shù)列極限法與不等式及微積分法等 其中 微積分是新編 中學數(shù)學教材 中增加的內(nèi)容 最近幾年 以物理試題為載體滲透考查數(shù)學能力是 高考命題的熱點主題 特別是利用微分思想求解物 理題在各地高考中頻頻 出現(xiàn) 近幾年更是 年年上 榜 所以 對此加以重視是必要的 利用微分思想實現(xiàn)從部分到整體的分析方法叫 微元法 當物理學中遇到整體難以解決的復雜問題 時 常運用微分概念合 理選取微分元 將研究對象 進行無窮細分 其中的一份微小單元即微分元 如力 學中的長度元 d Z 體積元 d V 質(zhì)量元 d m 電磁學 中 的電荷元 d q 電流元 d 等 對微元模型運用相關的 物理規(guī)律和數(shù)學方法處理 然后再對微元結果疊加 而過渡到對整體的積分求解 微元法充分體現(xiàn)了數(shù) 學微積分的基本思想和物理實質(zhì) 許多學生只會數(shù)學上抽象的微積分運算 而面 對具體的物理問題 不知如何尋找微分元 進而無法 用微積分來求解實際問題 造成物理解題時的障礙 一 微分思想在動力學問題中的應用 例 1 從地面上以初速度 豎直向上拋出一質(zhì) 量為 m的球 若運動過程中受到的空氣阻力與其速 率成正比關系 球運動的速率隨時間變化規(guī)律如圖 1 所示 t 時刻到達最高點 再落 回地 面 落地時速 率為 且落地前球已經(jīng)做勻速運動 求 D 圍 l I 球從拋出到落地過程 中克服空氣阻力所做 的功 2 球拋出瞬間的加速度大小 3 球上升的最大高度 日 解析 1 全過程對小球運用動能定理 刪2 一 則 克 服 空 氣 阻 力 做 功W f 一 一 m n 0 解得 n 0 1 g d 則 一 舳 一 g一 m 取極短的一小 n f 一g 一 O 一 一 g A t ma A h 故 日 解得 鑾 B 陽 c 沿 橢 圓 軌 道 運 行 它 k 的 近 日 點 A 離 太 陽 的 距 離 一 4 9 史 堡麴 堂星 絲2 PH YSI CS TEA cHI NG A D LEARNI N G I N H I GH SCH OOL 解析此題可根據(jù)萬有引力提供行星的向心力 求解 求解略 也可根據(jù)開普勒第二定律 用微元 法求解 設行星在近 日點 時又向前運動了極短的 時間At 由于時間極短可 以認 為行星在 At 時間內(nèi) 做勻速圓周運動 線速度為 半徑為 a 可以得到 1 行星在 At 時間內(nèi)掃過的面積 s At a 厶 同理 設行星在經(jīng)過遠 日點 時也運動了相同 1 的極短時間微元At 則也有 s 6 At b 二 由開普勒第二定律 面積定律 可知 S S 即得 U 三 微分思想在求解機械功 機械功率 問題 中 的應用 例 3 如圖 3所示 某個 F 1 0 N的力作用于半徑 R 1 i n的轉盤的邊緣上 力 F的 大小保持不變 但方向保持任 何時刻均與作用點 的切線一 致 則轉動一周 這個力 F做 的總功為多少 解析由于力 F的方向與作用點的速度方向一 致 因此力 F做功肯定不為零 考慮到此力大小不變 但不是恒力 無法用恒力做功公式直接求解 可以 考慮把圓周劃分為無限多 微元 來研究 把整個 運動過程劃分成很多個微元 整個過程中變力做功 就等效于每個微元中恒力做功之和 當各小段的弧 長As 足夠小 5 時 在這As內(nèi) 的方向幾乎 與該小段的位移重合 則 F做的總功為 W F A s F A l F A s 2 F A s 3 W F 2 1 T R 2 0 n J 點評對整體無窮細分后隔離選擇恰 當?shù)奈⒃?作為研究對象 微分元可以是一小段圓弧 一小塊面 積 一個小質(zhì)量 一小段時間 但微分元應該具備 整體對象的基本特征 對微分元模型化 運用相關物 理規(guī)律結合微積分的知識可以很快捷地處理問題 四 微分思想在靜電 場問題中的應用 口 例4 電荷量 Q均勻 分布在半徑為 的圓環(huán) 上 如圖 4 所示 求在圓 5 0 圈4 環(huán)軸線上距圓心 0點為 處的P點的電場強度 解析帶電圓環(huán)產(chǎn)生的電場不能看作點電荷產(chǎn) 生的電場 故采用微元法 利用求解點電荷形成的電 場的方法結合對稱性求解 選電荷元 Aq R A0 它在 P點產(chǎn)生的電場場強的 分量為 盯 一 C O S X k R A O Q f R r 訂I 十 根據(jù)對稱性 E E x 二訂V L 十 生 7 一 生 2 耐 耐 2 1 T R R 在軸線上 P點 產(chǎn)生 的場強方 向是沿軸 線的 方向 五 微分思想在電路問顆 中的應用 例 5 如圖5中甲圖所示是一種測量電容的實 驗電路圖 實驗是通過對高阻值 電阻放電的方法測 出電容器充電至電壓 時所帶的電荷量 口 從而再 求出待測電容器的電容 c 某同學在一次實驗時的 情況如下 占 田 圈5 a按圖甲所示的電路圖接好電路 b 接通開關 s 調(diào)節(jié)電阻箱 R的阻值 使小量程 電流表的指針偏轉接近滿刻度 記下此時電流表的 示數(shù) 0 4 9 0 電壓表 的示數(shù) 8 0 V o u o 分別是電容器放電時的初始電流和電壓 C 斷開開關 s 同時開始計時 每隔 5 S 或 1 0 S 測讀一次電流 i 的值 將測得數(shù)據(jù)填人表格 并標示 在圖乙的坐標紙上 時間 t 為橫坐標 電流 為縱坐 標 結果如圖中小黑點所示 1 在圖乙中畫出 i t 圖線 2 圖乙中圖線與坐標軸所圍成面積的物理意 義是 3 該電容器的電容為 F 互一 中 PH Y SI CS TEA CHI NG AND LEARNI G 解析 1 利用描出的各點連成平滑 的曲線即 為 i t 圖線 作圖略 2 利用微元的思想 在 圖乙 中把時間無窮細 分 每一時間元內(nèi)由于時間極短可認為電流不變對 應的面積即為對應的放電的電荷量 再對微元結果 疊加可知圖乙中圖線與坐標軸所圍成面積的物理意 義是電容器充電完畢時儲存的電荷量 即放電的總 電荷量 3 根據(jù)近似處理的物理思想 圖線與坐標軸 所圍部分的格數(shù) 邊緣部分大于半格 的算一格 小 于半格的可忽略 乘 以每一格所 占面積 估算 出整 個過程中電容器所釋放的總電荷量 Q 3 2 x5 x 5 0 1 0 C 8 X 1 0一C 求出電容 c 旦 F 1 I 1 0 F U 0 o 六 微分思想在動量問題中的應用 例6 如圖6所示 長為 L的船靜 止在 平靜 的水 面船 上 立于船頭的人質(zhì)量為 m 船的質(zhì)量為 不計水的阻 圈6 力 人從船頭走到船尾的過程中 問船的位移為多大 解析題為 人船模型 取人和船整體作 為研 究系統(tǒng) 人在走動過程 中 系統(tǒng)所受合力 為零 系統(tǒng) 動量守恒 設 分別是人和船在任何一時刻的 速率 則有 m y m 兩邊同時乘以一個極短 的時 問微元 t 則有 m y 1 t m 0 2 由于時間微元 At 極短 可以認為在這極短的時 間內(nèi)人和船的速率是不變的 所 以在這極短的時間 內(nèi)人和船位移大小分別為As At As At 故 mAs m 0 As 把所有的微元位移疊加求和有 m s m 0 其 中 s 分別 為 全過程中人和船對地位 移的大小 又因為幾何 關系 如 圖 7所 示 有 L s As 2 即 船 l m o 2 圖7 由以上關系式解得船的位移 s 一 m 0 十 m 七 微分思想在電磁感應問題中的應用 例 7 如圖 8所示 一水平放置 的光滑平行導 軌上放一質(zhì)量為 m的金屬桿 導軌間距為 L 導軌的 一 端連接一阻值為 的電阻 其他電阻不計 磁感應強 度為 曰的勻強磁場垂直于導軌平面 現(xiàn)給金屬桿一個 學麴理塾復學 I N H I GH SCH OOL 水平向右的初速度 然后任其運動 導軌足夠長 試 求金屬桿在導軌上向右移動的最大距離是多少 圈8 解析對桿在運動過程中受力分析可知豎直方 向重力和支持力平衡 水平方 向始終受一水平向左 的且大小不斷變化的安培力 這是一個典型的在變 力作用下求位移的問題 用我們已學過的知識好像 無法解決 其實只要采用的方法得當仍然可以求解 取水平向右為正方向 設桿在減速中的某一時 刻速度為 V 加速度為 則 一 曰 警 瑚 一B B L V L 取極短的一小段時間 t 為微分元 對應的速度 變化為 Av 則有 0 At 一 At 對 于桿向 右運動的全過程有 0 一 I 0 一 r 2 即 Y O 解得金屬桿在導軌上向右移動的最大 距離 點評題 中涉及的物理量是非線性變化量 無 法用初等數(shù)學知識解決 但如果有了微積分的思想 化整為零 化曲為直 再結合物理規(guī)律則可以做到化 繁為簡 解題的同時拓寬了我們的思維 本文通過分析物理解題中的微分思想充分說明 了數(shù)學是研究和學習物理學的重要工具 物理理論 本身的建立 發(fā)展和推理論證的過程 離不開數(shù)學 物理概念及物理量問關系的表達 要借助于數(shù)學公 式或圖象等手段