初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料（51）待定系數(shù)法甲內(nèi)容提要1. 多項(xiàng)式恒等的定義：設(shè)f(x)和g(x)是含相同變量x的兩個(gè)多項(xiàng)式，f(x)g(x)表示這兩個(gè)多項(xiàng)式恒等.就是說(shuō)x在取值范圍內(nèi) ，不論用什么實(shí)數(shù)值代入左右的兩邊，等式總是成立的.符號(hào)“”讀作“恒等于”，也可以用等號(hào)表示恒等式.例如：（x+3）2=x2+6x+9, 5x26x+1=(5x1)(x1), x339x70=(x+2)(x+5)(x7).都是恒等式.根據(jù)恒等式定義，可求恒等式中的待定系數(shù)的值.例如：已知：恒等式ax2+bx+c=2(x+1)(x2).求：a+b+c ； ab+c.解：以x=1， 代入等式的左右兩邊，得a+b+c4.以x=1，代入等式的左右兩邊，得ab+c0.2. 恒等式的性質(zhì)：如果兩個(gè)多項(xiàng)式恒等，則左右兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)相等.即 如果 a0xn+a1xn1+an1x+an=b0xn+b1xn1+bn1x+bn那么 a0=b0 ， a1=b1， ， an1=bn1 ， an=bn.上例中又解： ax2+bx+c=2x22x4. a=2, b=2, c=4. a+b+c4， ab+c0.3. 待定系數(shù)法：就是先假設(shè)結(jié)論為一個(gè)含有待定系數(shù)的代數(shù)式，然后根據(jù)恒等式定義和性質(zhì)，確定待定系數(shù)的值.乙例題 例1. 已知： 求：A，B，C的值.解：去分母，得x2x+2=A(x3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x3).根據(jù)恒等式定義（選擇x的適當(dāng)值，可直接求出A，B，C的值），當(dāng)x=0時(shí)，26A.A.當(dāng)x=3時(shí)，815B.B.當(dāng)x=2時(shí)，810C.C.本題也可以把等號(hào)右邊的代數(shù)式，整理成為關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，然后用恒等式性質(zhì)：“左右兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)相等”，列出方程組來(lái)解.（見(jiàn)下例）.例2. 把多項(xiàng)式x3x2+2x+2表示為關(guān)于x1的降冪排列形式.解：用待定系數(shù)法：設(shè)x3x2+2x+2=a(x1)3+b(x1)2+c(x1)+d 把右邊展開(kāi)，合并同類項(xiàng)（把同類項(xiàng)對(duì)齊），得x3x2+2x+2=ax33ax2+3axa +bx22bx+b +cxc +d 用恒等式的性質(zhì)，比較同類項(xiàng)系數(shù)，得 解這個(gè)方程組，得x3x2+2x+2=(x1)3+2(x1)2+3(x1)+4.本題也可用換元法：設(shè)x1=y, 那么x=y+1.把左邊關(guān)于x的多項(xiàng)式化為關(guān)于y 的多項(xiàng)式，最后再把y換成x 1.例3. 已知：4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式.求： a和b的值.解：設(shè)4x4+ax3+13x2+bx+1（2x2+mx1）2（設(shè)待定的系數(shù)，要盡可能少.）右邊展開(kāi)，合并同類項(xiàng)，得4x4+ax3+13x2+bx+14x4+4mx3+(m24)x22mx+1.比較左右兩邊同類項(xiàng)系數(shù)，得方程組； 或.解得.例4. 推導(dǎo)一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系.解：設(shè)方程ax3+bx2+cx+d=0(a0)的三個(gè)根分別為x1,x2,x3.原方程化為x3+.x1,x2,x3是方程的三個(gè)根.x3+(xx1) (xx2) (xx3).把右邊展開(kāi)，合并同類項(xiàng)，得x3+=x3( x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)xx1x2x3.比較左右同類項(xiàng)的系數(shù)，得一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系是：x1+x2+x3=，x1x2+x1x3+x2x3，x1x2x3.例5. 已知：x3+px+q 能被（xa）2整除.求證：4p3+27q2=0.證明：設(shè)x3+px+q（xa）2（x+b）.x3+px+q=x3+(b2a)x2+(a22ab)x+a2b. 由得b=2a，代入和得 4p3+27q24（3a2）3+27(2a3)2=4（27a6）+27（4a6）=0.（證畢）.例6. 已知：f (x)=x2+bx+c是g (x)=x4 +6x225的因式，也是q (x)=3x4+4x2+28x+5的因式.求：f (1)的值.解：g (x),q (x)都能被f (x)整除,它們的和、差、倍也能被f (x)整除.為了消去四次項(xiàng)，設(shè)g (x)q (x)kf (x), (k為正整數(shù)).即14x228x+70k (x2+bx+c)14（x22x+5）k (x2+bx+c)k=14, b=2, c=5.即f (x)=x22x+5.f (1)=4 .例7. 用待定系數(shù)法，求（x+y）5 的展開(kāi)式解：展開(kāi)式是五次齊次對(duì)稱式，可設(shè)（x+y）5a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3) (a,b,c是待定系數(shù).) 當(dāng)x=1,y=0時(shí)，得a=1；當(dāng)x=1,y=1時(shí)，得2a+2b+2c=32，即a+b+c=16當(dāng)x=1,y=2時(shí)，得31a14b+4c=1.得方程組解方程組，得（x+y）5x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.丙練習(xí)511.已知.求a,b的值.2.已知：.求：A，B，C的值.3. 已知：x46x3+13x212x+4是完全平方式.求：這個(gè)代數(shù)式的算術(shù)平方根.4. 已知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除.求證：ad=bc.5. 已知：x39x2+25x+13=a(x+1)(x2)(x3) =b(x1)(x2)(x3) =c(x1)(x+1)(x3) =d(x1)(x+1)(x2).求：a+b+c+d的值.6. 試用待定系數(shù)法，證明一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（即韋達(dá)定理）.7. 用x2的各次冪表示3x310x2+13.8. k取什么值時(shí)，kx22xyy2+3x5y+2能分解為兩個(gè)一次因式.9. 分解因式：x2+3xy+2y24x+5y+3；x4+1987x2+1986x+1987.10. 求下列展開(kāi)式： (x+y)6； (a+b+c)3.11. 多項(xiàng)式x2yy2z+z2xx2z+y2x+z2y2xyz因式分解的結(jié)果是( ) (A) (x+y)(yz)(xz) . (B) (x+y)(y+z)(xz).(C) (xy)(yz)(x+z). (D) (xy)(y+z)(x+z).12. 已知( a+1)4=a4+4a3+6a