北京101中學20182019學年下學期高一年級期中考試數(shù)學試卷一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.函數(shù)的最小正周期是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】逆用兩角和的正弦公式，把函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)解式，利用最小正周期公式求出最小正周期.詳解】,，故本題選C.【點睛】本題考查了逆用兩角和的正弦公式、以及最小正周期公式，熟練掌握公式的變形是解題的關鍵.2.在等差數(shù)列中，則（ ）A. 72B. 60C. 48D. 36【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質可知：由，可得，所以可求出，再次利用此性質可以化簡為，最后可求出的值.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質可知：，故本題選B.【點睛】本題考查了等差數(shù)列下標的性質，考查了數(shù)學運算能力.3.在中，已知，那么一定是（ ）A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等邊三角形【答案】B【解析】試題分析：利用正余弦定理將sinC2sin（BC）cosB轉化為，三角形為等腰三角形考點：正余弦定理4.的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】因為，所以可以運用兩角差的正弦公式、余弦公式，求出的值.【詳解】，故本題選C.【點睛】本題考查了兩角差的正弦公式、余弦公式、以及特殊角的三角函數(shù)值.其時本題還可以這樣解：，.5.已知依次成等比數(shù)列，那么函數(shù)的圖象與軸的交點的個數(shù)為（ ）A. 0B. 1C. 2D. 1或2【答案】A【解析】【分析】由依次成等比數(shù)列，可得，顯然，二次方程的判別式為，這樣就可以判斷出函數(shù)的圖象與軸的交點的個數(shù).【詳解】因為依次成等比數(shù)列，所以，顯然，二次方程的判別式為，因此函數(shù)的圖象與軸的交點的個數(shù)為零個，故本題選A.【點睛】本題考查了等比中項的概念、一元二次方程根的判別式與相應二次函數(shù)與軸的交點個數(shù)的關系.6.在中，若，則（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】D【解析】分析：先根據(jù)正弦定理求C，再根據(jù)三角形內角關系求A.詳解：因為，所以所以因此，選D.點睛：在已知三角形兩邊及其中一邊的對角，求該三角形的其它邊角的問題時，首先必須判斷是否有解，如果有解，是一解還是兩解，注意“大邊對大角”在判定中的應用7.在中，已知，且，則的值是（ ）A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】在中，根據(jù)正弦定理，可以把轉化為邊之間比的關系，可以進一步判斷三角形的形狀，利用和三角形的形狀，可以求出三角形的三條邊，最后利用平面向量的數(shù)量積公式求出的值.【詳解】在中，設內角所對邊，根據(jù)正弦定理，可知,已知，所以，顯然是等腰直角三角形，即，因此有，所以，故本題選C.【點睛】本題考查了正弦定理、三角形面積公式、三角形形狀的識別，以及平面向量的數(shù)量積運算，平面向量的夾角是解題的關鍵也是易錯點.8.數(shù)列滿足=，則數(shù)列的前項和為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式，化簡數(shù)列的通項公式，再利用裂項相消法求出數(shù)列的前項和.【詳解】，所以數(shù)列的前項和為,，故本題選B.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的前項和，利用裂項相消法求數(shù)列的前項和.二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.9.在等比數(shù)列中，則_.【答案】3n1【解析】因為在等比數(shù)列中，解得 ，故答案為 .10.已知，則=_【答案】【解析】因為，所以，即，則.11.在中，若，則 _.【答案】【解析】【分析】運用正弦定理實現(xiàn)邊角轉化，然后逆用二角和的正弦公式、三角形內角和定理、以及誘導公式，化簡，最后求出的值.【詳解】根據(jù)正弦定理，可知,由，可得，,所以【點睛】本題考查了正弦定理、逆用二角和的正弦公式、誘導公式，考查了公式恒等變換能力.12.在數(shù)列中，則數(shù)列通項 _.【答案】【解析】【分析】根據(jù)遞推公式特征，可以采用累加法，利用等差數(shù)列的前項和公式，可以求出數(shù)列的通項公式.【詳解】當時，當也適用，所以.【點睛】本題考查了累和法求數(shù)列通項公式、等差數(shù)列的前項和公式，考查了數(shù)學運算能力.13.如圖，點是單位圓上的一個動點，它從初始位置（單位圓與軸正半軸的交點）開始沿單位圓按逆時針方向運動角到達點，然后繼續(xù)沿單位圓逆時針方向運動到達點，若點的橫坐標為，則的值等于_.【答案】【解析】【分析】由三角函數(shù)的定義可以求出，判斷點的位置，由已知點的橫坐標為，利用同角的三角函數(shù)關系，可以求出點的縱坐標，可以得到，再利用二角差的余弦公式求出的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可知：點的坐標為，因為，所以，所以點在第二象限，已知點的橫坐標為，即，所以，因此有.【點睛】本題考查了三角函數(shù)定義、同角的三角函數(shù)關系、以及二角差的余弦公式，考查了數(shù)學運算能力.14.設等差數(shù)列滿足，公差，若當且僅當時，數(shù)列的前項和取得最大值，則首項的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】由同角三角函數(shù)關系，平方差公式、逆用兩角和差的正弦公式、等差數(shù)列的性質，可以把已知等式，化簡為，根據(jù)，可以求出的值，利用等差數(shù)列前項和公式和二次函數(shù)的性質，得到對稱軸所在范圍，然后求出首項的取值范圍.【詳解】,數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以有，而，所以，因此，對稱軸為：，由題意可知：當且僅當時，數(shù)列的前項和取得最大值，所以，解得，因此首項的取值范圍是.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)關系，兩角和差的正弦公式，考查了等差數(shù)列的性質、前項和公式，以及前項和取得最大值問題，考查了數(shù)學運算能力.三、解答題共5小題，共50分，解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.15.已知，求以及的值【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)，求出，；再利用兩角和差公式求解.【詳解】， ，【點睛】本題考查同角三角函數(shù)和兩角和差公式，解決此類問題要注意在求解同角三角函數(shù)值時，角所處的范圍會影響到函數(shù)值的正負.16.已知等差數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列是首項為l，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和.【答案】（）；（）.【解析】分析：（）設等差數(shù)列的公差為， 由 ，令 可得，解得，從而可得結果；（）由數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，可得，結合（1）可得，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，根據(jù)分組求和法可得數(shù)列的前項和.詳解：設等差數(shù)列的公差為，因為，所以 所以 所以 所以. （）因為數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列， 所以 因為，所以. 設數(shù)列的前項和為，則 所以數(shù)列的前項和為點睛：本題主要考查等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項公式與求和公式和利用“分組求和法”求數(shù)列前項和，屬于中檔題. 利用“分組求和法”求數(shù)列前項和常見類型有兩種：一是通項為兩個公比不相等的等比數(shù)列的和或差，可以分別用等比數(shù)列求和后再相加減；二是通項為一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的和或差，可以分別用等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和后再相加減.17.在中，角的對邊分別為,的面積是30,.（1）求；（2）若，求的值.【答案】（1）144；（2）5.【解析】【分析】（1）由同角的三角函數(shù)關系，由，可以求出的值，再由面積公式可以求出的值，最后利用平面向量數(shù)量積的公式求出的值；（2）由（1）可知的值，再結合已知，可以求出的值，由余弦定理可以求出的值.【詳解】（1），又因為的面積是30，所以，因此（2）由（1）可知，與聯(lián)立，組成方程組：，解得或，不符合題意舍去，由余弦定理可知：.【點睛】本題考查了同角的三角函數(shù)關系、三角形面積公式、余弦定理、平面向量的數(shù)量積運算,本題求，可以不求出的值也可以，計算如下：18.在中，且.（1）求邊長；（2）求邊上中線的長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用同角的三角函數(shù)關系，可以求出的值，利用三角形內角和定理，二角和的正弦公式可以求出，最后利用正弦定理求出長；（2）利用余弦定理可以求出的長，進而可以求出的長，然后在中，再利用余弦定理求出邊上中線的長.【詳解】（1），由正弦定理可知中：（2）由余弦定理可知：，是的中點，故，在中，由余弦定理可知：【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關系、以及三角形內角和定理，考查了數(shù)學運算能力.19.若對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得數(shù)列的前項和，則稱是“回歸數(shù)列”.（1）前項和為的數(shù)列是否是“回歸數(shù)列”?并請說明理由；通項公式為的數(shù)列是否是“回歸數(shù)列”?并請說明理由；（2）設是等差數(shù)列，首項，公差，若是“回歸數(shù)列”，求的值；（3）是否對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“回歸數(shù)列”和，使得成立，請給出你的結論，并說明理由.【答案】（1）是；是；（2）；（3）見解析.【解析】【分析】（1）利用公式和 ，求出數(shù)列的通項公式，按照回歸數(shù)列的定義進行判斷；求出數(shù)列的前項和，按照回歸數(shù)列的定義進行判斷；（2）求出的前項和，根據(jù)是“回歸數(shù)列”，可得到等式，通過取特殊值，求出的值；（3）等差數(shù)列的公差為，構造數(shù)列，可證明、是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列前項和，及其通項公式，回歸數(shù)列的概念，即可求出.【詳解】（1）當時，當時，當時，所以數(shù)列是“回歸數(shù)列”；因為，所以前n項和，根據(jù)題意，因為一定是偶數(shù)，所以存在，使得，所以數(shù)列“回歸數(shù)列”；（2）設是等差數(shù)列為