1、2007考研數(shù)學二真題及答案一選擇題（本題共10小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后括號內）（1） 當時，與等價的無窮小量是 （B） A. B. C. D.（2）函數(shù)在區(qū)間上的第一類間斷點是(A)A. 0 B. 1 C. D. （3）如圖.連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設則下列結論正確的是：（C） . (4)設函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù)，下列命題錯誤的是 (C)A. 若存在，則 B. 若存在, C. 若存在, 則 D. 存在, （5）曲線漸近線的條數(shù)為 （D） 0 1

2、 2 3(6)設函數(shù)在上具有二階導數(shù)，且, 令= 則下列結論正確的是 (D)A.若，則必收斂 B. 若，則必發(fā)散 C. 若，則必收斂 D. 若，則必發(fā)散（7）二元函數(shù)在點（0，0）處可微的一個充分條件是 （B）A. B. ，且C. D. 且（8）設函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于 （B） （9）設向量組線形無關，則下列向量組線形相關的是： (A) （A） （B） （C） （D）（10）設矩陣A=，B=,則A于B， （B）(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似二填空題：1116小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.曲線上對應于的點

3、處的法線斜率為（）.設函數(shù)，則.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解y_.設是二元可微函數(shù)，,則.設矩陣，則的秩為_1_.三、解答題：1724小題，共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17）設是區(qū)間上單調、可導函數(shù)，且滿足，其中是的反函數(shù)，求.【詳解】：設則. 則原式可化為： 等式兩邊同時求導得： （18）（本題滿分11分） 設D是位于曲線 下方、軸上方的無界區(qū)域.（）求區(qū)域D繞軸旋轉一周所成旋轉體的體積；（）當為何值時，最?。坎⑶蟠俗钚≈?【詳解】： 得 故 即是唯一駐點，也是最小值點，最小值（19）求微分方程滿足初始條件的特解.【詳解】：設，則

4、代入得： 設 則 即 由于 故 即 由或 特解為或（20）已知函數(shù)具有二階導數(shù)，且1，函數(shù)由方程所確定.設求，.【詳解】： 兩邊對求導得 得 （當 故有 （本題11分） 設函數(shù)在上連續(xù)，在內具有二階導數(shù)且存在相等的最大值，證明：存在使得.【詳解】：證明：設在內某點同時取得最大值，則，此時的c就是所求點.若兩個函數(shù)取得最大值的點不同則有設故有，由介值定理，在內肯定存在由羅爾定理在區(qū)間內分別存在一點0在區(qū)間內再用羅爾定理，即.（22）（本題滿分11分）設二元函數(shù)計算二重積分其中【詳解】：D如圖（1）所示，它關于x,y軸對稱，對x,y均為偶函數(shù)，得，其中是D的第一象限部分.22xyx1212y(1)

5、(2)由于被積函數(shù)分塊表示，將分成（如圖（2）：,且于是.而 所以 得 （本題滿分11分）設線性方程組與方程有公共解，求的值及所有公共解.【詳解】：因為方程組(1)、(2)有公共解，即由方程組(1)、(2)組成的方程組的解.即矩陣方程組(3)有解的充要條件為.當時，方程組(3)等價于方程組(1)即此時的公共解為方程組(1)的解.解方程組(1)的基礎解系為此時的公共解為：當時，方程組(3)的系數(shù)矩陣為此時方程組(3)的解為，即公共解為： (24)設3階對稱矩陣A的特征向量值是A的屬于的一個特征向量,記其中為3階單位矩陣驗證是矩陣的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；求矩陣.【詳解】：（）可以很容易驗證，于是 于是是矩陣B的特征向量. B的特征值可以由A的特征值以及B與A的關系得到，即 ， 所以B的全部特征值為2，1，1. 前面已經求得為B的屬于2的特征值，而A為實對稱矩陣， 于是根據(jù)