專題09導數新定義問題一、單選題1．給出以下新定義：若函數在D上可導，即存在，且導函數在D上也可導，則稱在D上存在二階導函數，記，若在D上恒成立，則稱在D上為凸函數．以下四個函數在定義域上是凸函數的是（

）A． B． C． D．2．對于三次函數，現給出定義：設是函數的導數，是的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”．經過探究發(fā)現：任何一個三次函數都有“拐點”，任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．設函數，則（

）A．0 B．1 C． D．3．我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則（

）A．0 B． C．1 D．24．定義方程的實根叫做函數的“新駐點”，若函數，，的“新駐點”分別為，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．5．已知函數及其導函數，若存在使得，則稱是的一個“巧值點”．下列選項中沒有“巧值點”的函數是（

）A． B．C． D．6．定義滿足方程的解叫做函數的“自足點”，則下列函數不存在“自足點”的是（

）A． B．C． D．7．拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，定理內容是：如果函數在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內的導數為，那么在區(qū)間內至少存在一點c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值點”．根據這個定理，可得函數在上的“拉格朗日中值點”的個數為（

）A．3 B．2 C．1 D．08．已知函數的定義域為，若在上為增函數，則稱為“階比增函數”．若函數為“階比增函數"，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知函數及其導數，若存在，使得，則稱是的一個“巧值點”，下列函數中，沒有“巧值點”的是（

）A． B．C． D．10．函數在區(qū)間，上連續(xù)，對，上任意二點與，有時，我們稱函數在，上嚴格上凹，若用導數的知識可以簡單地解釋為原函數的導函數的導函數（二階導函數）在給定區(qū)間內恒為正，即.下列所列函數在所給定義域中“嚴格上凹”的有（

）A． B．C． D．11．已知函數及其導數，若存在，使得，則稱是的一個“青山點”．下列函數中，有“青山點”的是（）A． B． C． D．12．若函數在區(qū)間D上是減函數，且函數在區(qū)間D上也是減函數，其中是函數的導函數，則稱函數是區(qū)間D的上“緩減函數”，區(qū)間D叫作“緩減函數”．則下列區(qū)間中，是函數的“緩減函數”的是（

）A． B．C． D．13．定義在區(qū)間上的連續(xù)函數的導函數為，若使得，則稱為區(qū)間上的“中值點”.下列在區(qū)間上“中值點”多于一個的函數是（

）A． B． C． D．14．對于定義域為的函數，為的導函數，若同時滿足：①；②當且時，都有；③當且時，都有，則稱為“偏對稱函數”.下列函數是“偏對稱函數”的是（

）A． B．C． D．三、填空題15．函數的導函數為，若對于定義域內任意，，有恒成立，則稱為恒均變函數．給出下列函數：①；②；③；④；⑤．其中為恒均變函數的序號是__________________．（寫出所有滿足條件的函數的序號）16．我們把形如的函數稱為冪指函數，冪指函數在求導時，可以利用對數法：在函數解析式兩邊取對數得，兩邊對x求導數，得于是，運用此方法可以求得函數在(1,1)處的切線方程是_________.17．若可以作為一個三角形的三條邊長，`則稱函數是區(qū)間D上的“穩(wěn)定函數”．已知函數是區(qū)間上的“穩(wěn)定函數”，則實數m的取值范圍為___________．18．設函數在區(qū)間上的導函數為，在區(qū)間上的導函數為，若區(qū)間上．則稱函數在區(qū)間上為“凹函數”，已知在上為“凹函數”則實數m的取值范圍為__________．19．對于函數可以采用下列方法求導數：由可得，兩邊求導可得，故.根據這一方法，可得函數的極小值為___________.20．設與是定義在同一區(qū)間上的兩個函數，若函數在上有兩個不同的零點，則稱與在上是“關聯函數”．若與在上是“關聯函數”，則實數的取值范圍是____________．四、解答題21．對于函數f（x），若存在實數滿足，則稱為函數f（x）的一個不動點.已知函數，其中(1)當時，（i）求f（x）的極值點；（ii）若存在既是f（x）的極值點，又是f（x）的不動點，求b的值：(2)若f（x）有兩個相異的極值點，，試問：是否存在a，b使得，均為f（x）的不動點？證明你的結論.22．已知函數.(1)若在其定義域內是增函數，求的取值范圍；(2)定義：若在其定義域內單調遞增，且在其定義域內也單調遞增，則稱為的“協同增函數”.已知函數，若是的“協同增函數”，求的取值范圍.23．記，為的導函數．若對，，則稱函數為上的“凸函數”．已知函數，．（1）若函數為上的凸函數，求的取值范圍；（2）若函數在上有極值，求的取值范圍．24．設是函數的導函數，我們把使的實數x叫做函數的好點.已知函數，（1）若0是函數的好點，求a；（2）若當時，函數無好點，求a的取值范圍.25．已知函數.（1）求函數的圖象在（為自然對數的底數）處的切線方程；（2）若對任意的，均有，則稱為在區(qū)間上的下界函數，為在區(qū)間上的上界函數.①若，求證：為在上的上界函數；②若，為在上的下界函數，求實數的取值范圍.26．已知函數．（1）求函數的最小值；（2）證明：對任意恒成立；（3）對于函數圖象上的不同兩點，如果在函數圖象上存在點（其中）使得點處的切線，則稱直線存在“伴侶切線”．特別地，當時，又稱直線存在“中值伴侶切線”．試問：當時，對于函數圖象上不同兩點、，直線是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結論．27．如果是定義在區(qū)間D上的函數，且同時滿足：①；②與的單調性相同，則稱函數在區(qū)間D上是“鏈式函數”.已知函數，.（1）判斷函數與在上是否是“鏈式函數”，并