第29練拋物線學校____________姓名____________班級____________一、單選題1．拋物線的焦點到其準線的距離是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】解：拋物線的焦點為，準線方程為，所以焦點到準線的距離；故選：A2．已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，，則點的橫坐標為（

）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】C【詳解】解：設(shè)點的橫坐標為，拋物線的準線方程為，點在拋物線上，，，．故選：C．3．過點，且焦點在y軸上的拋物線的標準方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：依題意設(shè)拋物線方程為，因為拋物線過點，所以，解得，所以拋物線方程為；故選：C4．拋物線上A點到焦點F的距離為，則點A的縱坐標為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題得，所以拋物線的準線方程為.設(shè)點縱坐標為,則，所以.故選：A5．已知拋物線的焦點為F，準線為l，點P在C上，直線PF交y軸于點Q，若，則點P到準線l的距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】解：由拋物線，可知，準線的方程為，過點作軸的垂線，垂足為，因為，所以，所以，所以點到準線的距離為．故選：C．6．已知拋物線E:的準線交y軸于點M，過點M作直線l交E于A，B兩點，且，則直線l的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：拋物線的準線為，所以，由題意可知直線的斜率存在，故設(shè)直線為，，，則，即，所以，，因為，即，所以，所以或，所以.故選：B7．已知O是坐標原點，F(xiàn)是拋物線C：的焦點，是C上一點，且，則的面積為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【詳解】由題可知，解得，所以的面積為，故選：C8．已知拋物線焦點的坐標為，P為拋物線上的任意一點，，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】A【詳解】因為拋物線焦點的坐標為，所以，解得．記拋物線的準線為l，作于，作于，則由拋物線的定義得，當且僅當P為BA與拋物線的交點時，等號成立．故選：A.9．已知拋物線，點，是曲線W上兩點，若，則的最大值為（

）A．10 B．14 C．12 D．16【答案】C【詳解】設(shè)拋物線的焦點為F，則,焦準距,準線方程為，根據(jù)拋物線的定義得，．又，所以．因為，當且僅當A，F(xiàn)，B三點共線時等號成立，即，所以的最大值為12，故選：C10．在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為是上位于第一象限內(nèi)的一點，若在點處的切線與軸交于點，與軸交于點，則與相等的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，設(shè)，由，得，所以在點處的切線方程為，從而，根據(jù)拋物線的定義，得又，，所以由，，得是的中點，則，從而．故選：B．二、多選題11．已知拋物線C：的焦點為F，P為拋物線上一點，則下列結(jié)論正確的有（

）A．焦點F到拋物線準線的距離為2B．若，則點P的坐標為C．過焦點F且垂直于x軸的直線被拋物線所截得的弦長為2D．若點M的坐標為，則的最小值為4【答案】AD【詳解】由拋物線的解析式知，所以拋物線的焦點，準線方程為，所以焦點F到拋物線準線的距離為2，故選項A正確；設(shè)拋物線上點，則，解得，故，則點P的坐標有兩個，故選項B錯誤；過焦點F且垂直于x軸的直線被拋物線所截得的弦為通徑，長為，故選項C錯誤；由拋物線的圖像及點M的位置可知，當M，P，F(xiàn)三點共線時，取得最小值，即，故選項D正確，故選；AD．12．已知拋物線的焦點為，，是拋物線上兩點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點的坐標為B．若直線過點，則C．若，則的最小值為D．若，則線段的中點到軸的距離為【答案】ABD【詳解】對A：因為拋物線方程為，其焦點在軸上，故其焦點為，A正確；對B：顯然過點的直線斜率存在，故可設(shè)經(jīng)過焦點的直線方程為，聯(lián)立拋物線方程可得：，可得，，故B正確；對C：若，則，，三點共線，則，由中所得可知：，故錯誤；對D：，即，即，∴，故正確.故選：.三、解答題13．已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，當時，為坐標原點）是等邊三角形.(1)求拋物線的方程.(2)延長交拋物線于點，試問直線是否恒過點？若是，求出點的坐標；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)是，【解析】(1)由題意可得，則，解得.故拋物線的方程為.(2)由（1）可知，設(shè).因為三點共線，所以，即，即，整理得.因為，所以.由題意可知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立整理得，則.因為關(guān)于軸對稱，所以，則，解得.故直線的方程為，即直線恒過點.14．已知P(1，2)在拋物線C：y2＝2px上．(1)求拋物線C的方程；(2)A，B是拋物線C上的兩個動點，如果直線PA的斜率與直線PB的斜率之和為2，證明：直線AB過定點．【答案】(1)y2＝4x(2)證明見解析【解析】(1)P點坐標代入拋物線方程得4＝2p，∴p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x．(2)證明：設(shè)AB：x＝my+t，將AB的方程與y2＝4x聯(lián)立得y2﹣4my﹣4t＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，所以Δ＞0?16m2+16t＞0?m2+t＞0，，同理：，由題意：，∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，∴y1y2＝4，∴﹣4t＝4，∴t＝﹣1，故直線AB恒過定點(﹣1，0)．15．已知拋物線上的點與焦點的距離為，且點的縱坐標