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2025年西北四省二市三市事業(yè)單位教師招聘數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)試卷考試時間:______分鐘總分:______分姓名:______一、選擇題(本大題共5小題,每小題4分,共20分。在每小題列出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。)1.設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|,則f(x)的最小值為()。A.-3B.1C.3D.42.“x>0”是“x2>0”的()條件。A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要3.若函數(shù)f(x)=(a2-1)x-3在R上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是()。A.-1<a<1B.a>1或a<-1C.a<-1D.a>14.在等差數(shù)列{a?}中,已知a?=5,a?=15,則其公差d等于()。A.2B.3C.4D.55.從n名男生和m名女生中任選3人參加活動,則至少有一名女生的選法有()種。A.C(n,m)?B.C(n+m,3)-C(n,3)C.C(m,1)C(n+m-1,2)D.C(m,3)C(n,0)+C(m,2)C(n,1)+C(m,1)C(n,2)二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分。)6.若lim(x→∞)(3x2-ax+2)/(x+1)=6,則實數(shù)a的值為________。7.計算:∫[0,π/2]sin(x)dx=________。8.矩陣A=|12|,則A的轉(zhuǎn)置矩陣A?=________。|34|9.設(shè)向量u=(1,k),v=(k,1),若u⊥v,則實數(shù)k的值為________。10.已知等比數(shù)列{b?}的公比為q(q≠0),且b?+b?=6,b?-b?=2,則q的值為________。三、解答題(本大題共4小題,共55分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)11.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2。(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求f(x)在區(qū)間[-1,4]上的最大值和最小值。12.(本小題滿分13分)在平面直角坐標系xOy中,點A的坐標為(2,0),點B的坐標為(0,2)。直線l過點P(1,1),且與線段AB相交。(1)求直線l的斜率k的取值范圍;(2)若直線l將ΔAOB的面積分成1:2的兩部分(其中點O為坐標原點),求直線l的方程。13.(本小題滿分14分)已知數(shù)列{a?}是等比數(shù)列,其前n項和為S?。若a?=6,S?=45。(1)求數(shù)列{a?}的通項公式;(2)設(shè)b?=log?(a?+1),求數(shù)列{b?}的前n項和T?。14.(本小題滿分16分)設(shè)函數(shù)f(x)=e?-ax2-bx+1。(1)若f(x)在x=1處取得極值,求a和b的值;(2)在(1)的條件下,討論f(x)的單調(diào)性;(3)證明:當x≥0時,f(x)≥1恒成立。試卷答案一、選擇題1.C2.A3.B4.B5.B二、填空題6.-127.18.|13||24|9.-110.2三、解答題11.解:(1)函數(shù)f(x)=x3-3x2+2,其導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x2-6x。令f'(x)=0,得3x(x-2)=0,解得x=0或x=2。當x∈(-∞,0)時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當x∈(0,2)時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當x∈(2,+∞)時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)和(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)。(2)由(1)知,f(x)在x=0處取得極大值f(0)=2,在x=2處取得極小值f(2)=-2。計算端點值:f(-1)=(-1)3-3(-1)2+2=-4,f(4)=43-3(4)2+2=18。比較f(-1),f(0),f(2),f(4)的值,得f(x)在區(qū)間[-1,4]上的最大值為max{2,18}=18,最小值為min{-4,-2}=-4。12.解:(1)直線AB的斜率k_AB=(2-0)/(0-2)=-1。直線l過點P(1,1),若l與AB平行,則k_l=-1。此時直線l的方程為y-1=-1(x-1),即y=-x+2。此時直線l與線段AB只相交于點A(2,0),不滿足“與線段AB相交”的條件(特指除端點外的相交)。若l與AB不平行,則k_l≠-1。直線l的斜率k_l存在。直線l與線段AB相交,意味著直線l的斜率k_l與直線AB的斜率k_AB的關(guān)系應(yīng)使得直線l的延長線經(jīng)過線段AB上的某點(非A或B)。當直線l的斜率k_l>-1時,直線l的方程為y-1=k_l(x-1)。令y=0,得x=1-1/k_l。點(1-1/k_l,0)在線段AB的延長線上(當k_l>0或1-1/k_l在-2和2之間時)。當直線l的斜率k_l<-1時,直線l的方程為y-1=k_l(x-1)。令y=0,得x=1-1/k_l。點(1-1/k_l,0)在線段AB的延長線上(當k_l<-1且1-1/k_l在-2和2之間時)。綜上,k_l≠-1。若k_l>-1,直線l過線段AB延長線上的點;若k_l<-1,直線l過線段AB延長線上的點。結(jié)合幾何直觀,直線l必須與線段AB有交點,且不能僅與端點A或B重合。當k_l=-1時,交點為A;當k_l<-1時,交點在AB延長線上(靠近B);當k_l>-1且k_l≠-1時,交點在AB延長線上(靠近A)。因此,k_l的取值范圍是(-∞,-1)∪(-1,+∞)。(2)設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-1)(k≠-1)。ΔAOB的面積S=1/2*|OA|*|OB|=1/2*2*2=2。設(shè)直線l與x軸交于點M,與y軸交于點N。令x=0,得N(0,1-k)。|ON|=|1-k|。令y=0,得M(1-1/k,0)。|OM|=|1-1/k|。若直線l將ΔAOB的面積分成1:2的兩部分,則可能是S?=1/3*S=2/3,S?=2/3*S=4/3。情況一:直線l經(jīng)過點O,將ΔAOB分為面積比為1:2的兩部分。此時直線l過原點(0,0)。將P(1,1)代入y=k(x-1),得0=k(0-1),k=0。此時直線l的方程為y=0。直線l與線段AB相交于點(0,0)。面積比S?/S?=1/1=1≠1/2,不符合。情況二:直線l不經(jīng)過點O,將ΔAOB分為面積比為1:2的兩部分。此時S?=S?=S/2=1。設(shè)直線l與線段AB相交于點E(x?,y?)。則ΔAEP和ΔBEP的面積之比為1:2。S?=1/2*|AE|*|OP|=1/2*|x?-2|*1=1/2|x?-2|。由S?=1,得|x?-2|=2。解得x?=0或x?=4。若x?=0,則E(0,0),即直線l過原點,情況一已討論,不符合。若x?=4,則E(4,2k+1)。點E在線段AB上,滿足0≤2k+1≤2,即-1/2≤k≤1。同時E在直線l上,代入得2k+1=4k-3,解得k=2。但k=2不在(-1/2,1)范圍內(nèi)。需要重新審視面積分割條件。直線l將ΔAOB分為面積比為1:2的兩部分,通常指直線l將線段AB分為兩段,使得以較長段為底,高為2的梯形(或三角形)的面積與以較短段為底,高為2的梯形(或三角形)的面積之比為1:2。設(shè)直線l與AB相交于點E,AE的長度為x,EB的長度為2-x。則S?=1/2*x*2=x,S?=1/2*(2-x)*2=2-x。要求S?/S?=1/2,即x/(2-x)=1/2。解得x=2/3。即AE=2/3,EB=4/3。直線l過點P(1,1),且與線段AB相交于點E(2/3,2/3)。點E的坐標滿足直線l的方程y-1=k(x-1)。代入E(2/3,2/3),得(2/3)-1=k(2/3-1),即-1/3=k(-1/3),解得k=1。驗證:直線l的方程為y-1=1(x-1),即y=x。此直線過P(1,1)和E(2/3,2/3)。面積比S?/S?=x/(2-x)=(2/3)/(4/3)=1/2。符合條件。故直線l的斜率k=1。直線l的方程為y=x。13.解:(1)設(shè)數(shù)列{a?}的公比為q。由a?=6,得a?q=6。由S?=45,得a?(1+q+q2+q3)=45。即a?(1+q+q2+q3)=45。將a?=6/q代入,得(6/q)(1+q+q2+q3)=45。兩邊同乘q,得6(1+q+q2+q3)=45q。令t=q+q2+q3=q(1+q+q2),則6(1+t)=45q。若q=0,則a?=0,S?=0≠45,舍去。若q≠0,則6+6t=45q,即45q-6t-6=0。由t=q+q2+q3,得45q-6(q+q2+q3)-6=0,即39q-6q2-6q3-6=0。整理得6q3+6q2-33q+6=0。兩邊同除以3,得2q3+2q2-11q+2=0。試用q=1/2代入,得2(1/8)+2(1/4)-11(1/2)+2=1/4+1/2-11/2+2=3/4-11/2+2=3/4-22/4+8/4=-11/4≠0。試用q=2代入,得2(8)+2(4)-11(2)+2=16+8-22+2=4≠0。試用q=1/3代入,得2(1/27)+2(1/9)-11(1/3)+2=2/27+2/9-11/3+2=2/27+6/27-99/27+54/27=(2+6-99+54)/27=-37/27≠0。試用q=-1/2代入,得2(-1/8)+2(-1/4)-11(-1/2)+2=-1/4-1/2+11/2+2=-1/4-2/4+22/4+8/4=27/4≠0。試用q=1代入,得2(1)+2(1)-11(1)+2=2+2-11+2=-5≠0。試用q=-1代入,得2(-1)+2(-1)-11(-1)+2=-2-2+11+2=9≠0??梢?,q=1/2或q=2是方程2q3+2q2-11q+2=0的解。若q=1/2,則a?=6/(1/2)=12。數(shù)列{a?}的通項公式為a?=12*(1/2)^(n-1)=12/2^(n-1)=3*2^(4-n)。若q=2,則a?=6/2=3。數(shù)列{a?}的通項公式為a?=3*2^(n-1)。驗證:若a?=3*2^(n-1),則S?=3(1+2+4+8)=3*15=45。符合。若a?=3*2^(4-n),則a?=3*2^(4-2)=3*4=12,a?=3*2^(4-4)=3*1=3。S?=12+6+3+1.5=22.5≠45。舍去。故數(shù)列{a?}的通項公式為a?=3*2^(n-1)。(2)由(1)知,a?=3*2^(n-1)。b?=log?(a?+1)=log?(3*2^(n-1)+1)=log?(3*2^(n-1)+2^(n-1))=log?(2^(n-1)*(3+2))=log?(2^(n-1)*5)=log?(2^(n-1))+log?(5)=(n-1)+log?(5)。數(shù)列{b?}是一個公差為1的等差數(shù)列,其首項為b?=0+log?(5)=log?(5),公差d=1。數(shù)列{b?}的前n項和T?=n*(首項+末項)/2=n*(log?(5)+(n-1)+log?(5))/2=n*(2log?(5)+n-1)/2=n*(log?(25)+n-1)/2。T?=(n2-n)/2+n*log?(25)/2。14.解:(1)函數(shù)f(x)=e?-ax2-bx+1。其導(dǎo)數(shù)f'(x)=e?-2ax-b。若f(x)在x=1處取得極值,則f'(1)=0。e1-2a(1)-b=0,即e-2a-b=0。(①)需判斷極值類型。二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=e?-2a。f''(1)=e-2a。若e-2a>0,則f(x)在x=1處取得極小值;若e-2a<0,則f(x)在x=1處取得極大值。不論極值類型,a,b的值必須滿足方程(①)。由(①)得b=e-2a。(2)由(1)知,b=e-2a。f'(x)=e?-2ax-(e-2a)=e?-2ax+2a-e。令f'(x)=0,得e?-2ax+2a-e=0。令g(x)=e?-2ax+2a-e。求g(x)的導(dǎo)數(shù)g'(x)=e?-2a。g'(x)=e?-2a。若e-2a>0,即a<e/2,則g'(x)>0對所有x∈R成立,g(x)單調(diào)遞增。由g(1)=e-2a+2a-e=0,可知當x>1時,g(x)>0,即f'(x)>0;當x<1時,g(x)<0,即f'(x)<0。故x=1是f(x)的極小值點。若e-2a<0,即a>e/2,則g'(x)<0對所有x∈R成立,g(x)單調(diào)遞減。由g(1)=e-2a+2a-e=0,可知當x>1時,g(x)<0,即f'(x)<0;當x<1時,g(x)>0,即f'(x)>0。故x=1是f(x)的極大值點。若e-2a=0,即a=e/2,則g'(x)=e?-e。此時g'(x)在x=1處為0,但在x<1時g'(x)<0,在x>1時g'(x)>0。g(x)在x=1處取得極小值。此時f'(x)在x=1處取得極小值。綜上,f(x)的單調(diào)性取決于a的取值:*當a<e/2時,f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增。*當a=e/2時,f(x)在R上單調(diào)遞增(嚴格來說,在x=1處導(dǎo)數(shù)為0,但導(dǎo)數(shù)符號不變)。*當a>e/2時,f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減。(3)證明:要證當x≥0時,f(x)≥1恒成立。即證e?-ax2-bx+1≥1,等價于證e?-ax2-bx≥0。由(1)知,當a=e/2時,f(x)在R上單調(diào)遞增,且f(1)=e-(e/2)2-b(1)+1=e-e2/4-b+
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