湖南省專(zhuān)升本2025年數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)模擬試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.設(shè)事件A與B互斥，且P(A)>0，P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是（）。（A）P(AB)=P(A)P(B)（B）P(A|B)=P(A)（C）P(A+B)=P(A)+P(B)（D）P(B|A)=02.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X=k)=C(k+1)/20，k=1,2,3，則常數(shù)C等于（）。（A）3（B）4（C）5（D）63.設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ,σ2)，則隨機(jī)變量Y=aX+b（a≠0）服從的分布是（）。（A）N(μ,σ2)（B）N(aμ+b,σ2)（C）N(μ,a2σ2)（D）N((aμ+b)/a,σ2/a)4.設(shè)X?,X?,…,Xn是來(lái)自總體N(μ,σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量?X=(1/n)∑_(i=1)^nXi的分布是（）。（A）N(μ,σ2)（B）N(μ,σ2/n)（C）N(μ,1/σ2)（D）N(μ/n,σ2/n)5.從總體X中抽取樣本X?,X?,…,Xn，若用?X=(1/n)∑_(i=1)^nXi和S2=[(∑_(i=1)^n(Xi-?X)2)/(n-1)]估計(jì)總體的均值μ和方差σ2，則它們分別是（）。（A）樣本均值和樣本方差（B）樣本均值和總體方差（C）總體均值和樣本方差（D）總體均值和總體方差二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。請(qǐng)將答案填在題中橫線上。）6.若事件A與B相互獨(dú)立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，則P(A∪B)=_______。7.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)={c/x2,x>1;0,x≤1}，則常數(shù)c=_______。8.設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)=2，方差D(X)=4，則E(3X-5)=_______，D(3X-5)=_______。9.設(shè)X?,X?,…,Xn是來(lái)自總體N(μ,σ2)的樣本，統(tǒng)計(jì)量T=[(?X-μ)/(S/√n)]服從自由度為n-1的t分布，其中?X是樣本均值，S是樣本標(biāo)準(zhǔn)差，則μ=_______。10.從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件進(jìn)行檢驗(yàn)，設(shè)X為抽到的次品件數(shù)，若次品率為p，則X服從的分布是_______分布，其分布律為P(X=k)=_______。三、計(jì)算題（本大題共4小題，共50分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）11.（本小題滿分12分）袋中有5個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中不放回地依次取出兩個(gè)球。求：（1）取出的兩個(gè)球都是紅球的概率；（2）取出的兩個(gè)球顏色不同的概率。12.（本小題滿分12分）設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)={2x,0<x<1;0,其他}。（1）求隨機(jī)變量X落在區(qū)間(0.3,0.7)內(nèi)的概率；（2）求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)；（3）求X的期望E(X)和方差D(X)。13.（本小題滿分13分）設(shè)總體X～N(10,4)，現(xiàn)從中抽取容量為n=16的樣本，樣本均值為?X。（1）求?X落在區(qū)間(9.8,10.2)內(nèi)的概率；（2）若要求?X在(9.8,10.2)內(nèi)的概率至少為0.95，樣本容量n至少應(yīng)取多大？（已知2.5762≈6.658）14.（本小題滿分13分）從一批零件中隨機(jī)抽取9個(gè)，測(cè)得它們的直徑（單位：mm）如下：19.8,20.1,19.9,20.2,19.7,20.0,19.9,20.2,20.3假設(shè)零件直徑X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)。（1）用樣本均值和樣本方差估計(jì)總體的均值μ和方差σ2；（2）在顯著性水平α=0.05下，檢驗(yàn)這批零件的直徑是否服從N(20,0.04)分布？（提示：先檢驗(yàn)方差是否為0.04）四、證明題（本大題共1小題，共10分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）15.（本小題滿分10分）設(shè)A,B,C是三個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0,P(B|A)>0,P(C|A,B)>0。證明：P(A|B)≥P(A|B)P(C|A,B)（提示：利用條件概率的定義和全概率公式）---試卷答案一、選擇題1.C2.D3.C4.B5.A二、填空題6.0.887.28.1,369.010.二項(xiàng),C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)三、計(jì)算題11.解：（1）P(兩個(gè)紅球)=P(第一球紅且第二球紅)=P(第一球紅)*P(第二球紅|第一球紅)=(5/8)*(4/7)=20/56=5/14（2）P(顏色不同)=P(第一球紅且第二球白)+P(第一球白且第二球紅)=P(第一球紅)*P(第二球白|第一球紅)+P(第一球白)*P(第二球紅|第一球白)=(5/8)*(3/7)+(3/8)*(5/7)=15/56+15/56=30/56=15/2812.解：（1）P(0.3<X<0.7)=∫[從0.3到0.7]2xdx=[x2]從0.3到0.7=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4（2）當(dāng)x≤0時(shí)，F(xiàn)(x)=∫[從負(fù)無(wú)窮到x]0dx=0當(dāng)0<x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=∫[從0到x]2tdt=[t2]從0到x=x2當(dāng)x≥1時(shí)，F(xiàn)(x)=∫[從0到1]2tdt=1故F(x)={0,x≤0;x2,0<x<1;1,x≥1}（3）E(X)=∫[從0到1]x*2xdx=2∫[從0到1]x2dx=2*[x3/3]從0到1=2/3E(X2)=∫[從0到1]x2*2xdx=2∫[從0到1]x3dx=2*[x?/4]從0到1=1/2D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1/2-(2/3)2=1/2-4/9=1/18或D(X)=∫[從0到1](x-2/3)2*2xdx=2∫[從0到1](x2-4x/3+4/9)xdx=2∫[從0到1](x3-4x2/3+4x/9)dx=2*[x?/4-4x3/9+4x2/9]從0到1=2*(1/4-4/9+4/9)=2*1/4=1/2D(X)=1/2-(2/3)2=1/2-4/9=1/1813.解：（1）因?yàn)?X～N(10,4/16)=N(10,1/4)，所以(?X-10)/(1/√4)=2(?X-10)～N(0,1)P(9.8<?X<10.2)=P((9.8-10)/0.5<(?X-10)/0.5<(10.2-10)/0.5)=P(-0.4<Z<0.4)=Φ(0.4)-Φ(-0.4)=2Φ(0.4)-1≈2*0.6554-1=0.3108（2）P(?X∈(9.8,10.2))=0.95P(?X≤9.8或?X≥10.2)=1-0.95=0.05P(?X≤9.8)+P(?X≥10.2)=0.052P(?X≤9.8)=0.05P(?X≤9.8)=0.025P((?X-10)/(σ/√n)≤(9.8-10)/(2/√n))=0.025P(Z≤(9.8-10)/(2/√n))=0.025(9.8-10)/(2/√n)=-1.96-0.2/(2/√n)=-1.960.2/(2/√n)=1.96√n=1.96*2/0.2=1.96*10=19.6n=(19.6)2≈384.16因?yàn)閚必須是整數(shù)，且要求概率至少為0.95，所以n至少應(yīng)取385。14.解：（1）樣本均值?x=(19.8+20.1+19.9+20.2+19.7+20.0+19.9+20.2+20.3)/9=180.1/9≈20.011樣本方差s2=[(∑(xi-?x)2]/(n-1)=[((19.8-20.011)2+(20.1-20.011)2+...+(20.3-20.011)2]/8≈[(-0.2112+0.0892+...+0.2892)/8]≈[(0.044521+0.007921+0.012521+0.038881+0.053721+0.008881+0.012521+0.038881+0.083521)/8]≈[0.36756/8]≈0.0463估計(jì)μ≈20.011,σ2≈0.0463（2）H?:X～N(20,0.04)即μ=20,σ2=0.04H?:X不服從N(20,0.04)檢驗(yàn)均值：選擇樣本均值?X作為統(tǒng)計(jì)量。在H?成立時(shí)，?X～N(20,0.04/9)=N(20,4/90)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=(?X-20)/√(4/90)=(?X-20)/(2/√90)=(?X-20)*√90/2拒絕域：|Z|>z_{α/2}=z_{0.025}=1.96計(jì)算Z=(20.011-20)*√90/2≈0.011*9.4868/2≈0.0521因?yàn)閨Z|=0.0521<1.96，未落入拒絕域。（備選：若檢驗(yàn)方差，選擇樣本方差S2，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量χ2=(n-1)S2/σ?2=8S2/0.04。拒絕域?yàn)棣?>χ2_{α,n-1}=χ2_{0.05,8}≈15.507。計(jì)算S≈√0.0463≈0.2152,χ2=8*(0.2152)2/0.04≈8*0.0463/0.04≈9.26.因?yàn)?.26<15.507，未落入拒絕域。）結(jié)論：無(wú)論檢驗(yàn)均值還是方差，在α=0.05下，均沒(méi)有充分證據(jù)拒絕原假設(shè)H??？梢哉J(rèn)為這批零件的直徑服從N(20,0.04)分布。四、證明題15.證明：P(A|B)