2025年下學期高中平面向量概念與運算試卷一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）下列關于平面向量的說法中，正確的是（）A.若向量a與b共線，則a與b的方向相同B.若|a|=|b|，則a=b或a=-bC.零向量與任意向量平行D.向量的模是一個正實數(shù)在△ABC中，點D是BC的中點，若(\overrightarrow{AB}=\mathbf{a})，(\overrightarrow{AC}=\mathbf)，則(\overrightarrow{AD})=（）A.(\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{1}{2}\mathbf)B.(\frac{1}{2}\mathbf{a}-\frac{1}{2}\mathbf)C.(-\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{1}{2}\mathbf)D.(-\frac{1}{2}\mathbf{a}-\frac{1}{2}\mathbf)已知向量a=(2,-1)，b=(1,m)，若a⊥b，則m=（）A.-2B.-(\frac{1}{2})C.(\frac{1}{2})D.2向量a=(3,4)，則|a|=（）A.3B.4C.5D.7已知向量a=(1,2)，b=(x,1)，且a+2b與2a-b平行，則x=（）A.(\frac{1}{2})B.2C.1D.-(\frac{1}{2})若向量a與b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則a·b=（）A.(\sqrt{3})B.1C.2D.(\frac{1}{2})在平面直角坐標系中，已知點A(1,2)，B(3,4)，則向量(\overrightarrow{AB})的坐標為（）A.(2,2)B.(-2,-2)C.(4,6)D.(-4,-6)已知|a|=3，|b|=4，且a與b反向，則|a+b|=（）A.1B.7C.5D.-1設向量a=(cosθ,sinθ)，b=(sinθ,cosθ)，則a·b=（）A.sinθB.cosθC.sin2θD.cos2θ已知向量a=(1,-2)，b=(k,1)，若|a+b|=|a-b|，則k=（）A.2B.-2C.(\frac{1}{2})D.-(\frac{1}{2})二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題5分，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）下列命題中，正確的有（）A.若a·b=0，則a=0或b=0B.若a與b均為單位向量，則a·b=1C.若a=b，則|a|=|b|且a與b方向相同D.對于任意向量a，b，c，都有(a·b)c=a(b·c)已知向量a=(2,1)，b=(-1,3)，則下列結論正確的有（）A.a+b=(1,4)B.a-b=(3,-2)C.|a|=(\sqrt{5})D.a·b=1在△ABC中，下列命題正確的有（）A.(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC})B.(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC})C.(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB})D.(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\mathbf{0})三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知向量a=(3,-4)，b=(x,y)，且a=2b，則x=______，y=______。若向量a=(1,2)，b=(3,4)，則2a-3b=______。已知|a|=5，|b|=6，a與b的夾角為60°，則a·b=______。在平面直角坐標系中，點P(2,-3)，Q(-1,1)，則向量(\overrightarrow{PQ})的模為______。四、解答題（本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（12分）已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，求：（1）a+b的坐標及|a+b|；（2）a·b；（3）a與b的夾角θ的余弦值。（12分）已知點A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，且(\overrightarrow{AB}=\mathbf{a})，(\overrightarrow{AC}=\mathbf)。（1）求向量a和b的坐標；（2）若向量c=2a-b，求c的坐標；（3）判斷向量a與c是否垂直，并說明理由。（12分）已知向量a=(m,1)，b=(1,m)，其中m∈R。（1）若a與b共線，求m的值；（2）若a與b的夾角為銳角，求m的取值范圍。（13分）在△ABC中，已知(\overrightarrow{AB}=\mathbf{a})，(\overrightarrow{AC}=\mathbf)，且|a|=|b|=1，a·b=-(\frac{1}{2})。（1）求|a+b|；（2）求△ABC的面積。（13分）已知向量a=(cosα,sinα)，b=(cosβ,sinβ)，其中α，β為銳角，且a·b=(\frac{\sqrt{2}}{2})，|a-b|=(\frac{\sqrt{3}}{3})。（1）求cos(α-β)的值；（2）求α+β的大小。（14分）在平面直角坐標系中，已知點O(0,0)，A(4,0)，B(0,3)，點P是線段AB上的一動點（不與A，B重合），且(\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB})（x>0，y>0）。（1）求x+y的值；（2）若x=(\frac{1}{2})，求點P的坐標；（3）求(\overrightarrow{OP})·(\overrightarrow{AB})的最小值。參考答案及評分標準（僅供閱卷參考）一、單項選擇題C2.A3.D4.C5.A6.B7.A8.A9.C10.A二、多項選擇題C12.ACD13.ACD三、填空題1.5（或(\frac{3}{2})），-215.(-7,-8)16.1517.5四、解答題解：（1）a+b=(1+3,2+(-4))=(4,-2)，|a+b|=(\sqrt{4^2+(-2)^2})=(\sqrt{20})=2(\sqrt{5})；（4分）（2）a·b=1×3+2×(-4)=3-8=-5；（8分）（3）|a|=(\sqrt{1^2+2^2})=(\sqrt{5})，|b|=(\sqrt{3^2+(-4)^2})=5，cosθ=(\frac{\mathbf{a}·\mathbf}{|\mathbf{a}||\mathbf|})=(\frac{-5}{\sqrt{5}×5})=-(\frac{\sqrt{5}}{5})。（12分）解：（1）a=(\overrightarrow{AB})=(0-1,1-0)=(-1,1)，b=(\overrightarrow{AC})=(2-1,5-0)=(1,5)；（4分）（2）c=2a-b=2(-1,1)-(1,5)=(-2-1,2-5)=(-3,-3)；（8分）（3）a·c=(-1)×(-3)+1×(-3)=3-3=0，故a與c垂直。（12分）解：（1）若a與b共線，則1×1-m×m=0，即m2=1，解得m=±1；（6分）（2）a·b=m×1+1×m=2m，若夾角為銳角，則a·b>0且a與b不共線，即2m>0且m≠±1，解得m>0且m≠1。（12分）解：（1）|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=1+2×(-(\frac{1}{2}))+1=1-1+1=1，故|a+b|=1；（6分）（2）cosθ=(\frac{\mathbf{a}·\mathbf}{|\mathbf{a}||\mathbf|})=-(\frac{1}{2})，θ=120°，S△ABC=(\frac{1}{2})|\mathbf{a}||\mathbf|sinθ=(\frac{1}{2})×1×1×(\frac{\sqrt{3}}{2})=(\frac{\sqrt{3}}{4})。（13分）解：（1）a·b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=(\frac{\sqrt{2}}{2})；（6分）（2）|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=1-2×(\frac{\sqrt{2}}{2})+1=2-(\sqrt{2})，由|a-b|=(\frac{\sqrt{3}}{3})，得2-(\sqrt{2})=(\frac{1}{3})，矛盾（此處題目數(shù)據(jù)可能有誤，若修正為|a-b|=(\sqrt{2-\sqrt{2}})，則α+β=45°）。（13分）解：（1）AB的方程為(\frac{x}{4}+\frac{y}{3})=1，設P(4t,3(1-t))（0<t<1），(\overrightarrow{OP})=(4t,3-3t)=x(4,0)+y(0,3)=(4x,3y)，故x=t，y=1-t，x+y=1；（5分）（2）x=(\frac{1}{2})時，t=(\frac{1}{2})，P(2,(\frac{3}{2}))；（9分）（3）(\overrightarrow{AB})=(-4,3)，(\overrightarrow{OP