2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)地理環(huán)境中的數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）月相變化周期約為29.5天，若以農(nóng)歷初一為起點(diǎn)，月相面積S（單位：平方度）與時(shí)間t（單位：天）的關(guān)系可近似表示為三角函數(shù)模型。下列函數(shù)中最適合描述這一規(guī)律的是（）A.(S(t)=A\sin(\frac{\pi}{14.75}t)+B)B.(S(t)=A\cos(\frac{\pi}{29.5}t)+B)C.(S(t)=A\sin(\frac{2\pi}{29.5}t)+B)D.(S(t)=A\cos(\frac{4\pi}{29.5}t)+B)某地區(qū)年降水量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布N(1000,2002)，則該地區(qū)年降水量在800mm~1200mm之間的概率約為（）A.68.3%B.95.4%C.99.7%D.50%在GIS系統(tǒng)中，某山體等高線圖的等高距為100米，若相鄰兩條等高線水平距離為200米，則該段山坡的坡度余弦值為（）A.0.5B.(\frac{\sqrt{5}}{5})C.(\frac{2\sqrt{5}}{5})D.0.8某城市熱島效應(yīng)強(qiáng)度U與人口密度ρ（萬人/km2）的關(guān)系模型為(U=0.8\ln\rho+0.3)，當(dāng)人口密度從2萬人/km2增至4萬人/km2時(shí)，熱島效應(yīng)強(qiáng)度增加約（）A.0.56B.0.8C.1.1D.1.6地球表面兩點(diǎn)A(30°N,120°E)與B(60°N,150°E)的球面距離約為（地球半徑R=6371km，π取3.14）（）A.2220kmB.3330kmC.4440kmD.5550km某濕地生態(tài)系統(tǒng)中，物種數(shù)量N與面積S的關(guān)系符合冪函數(shù)模型(N=kS^z)。若面積擴(kuò)大為原來的10倍時(shí)物種數(shù)量增加為原來的2倍，則z的值為（）A.0.2B.0.3C.0.5D.0.7某河流流域年徑流量Q（億m3）與年降雨量P（mm）的線性回歸方程為(\hat{Q}=0.02P-50)，若某年降雨量為1500mm，則預(yù)測徑流量為（）A.25億m3B.30億m3C.35億m3D.40億m3某臺風(fēng)移動(dòng)軌跡可近似視為拋物線(y=-\frac{1}{200}(x-500)^2+1250)（單位：km），則臺風(fēng)登陸點(diǎn)（y=0）的經(jīng)度位置x為（）A.1000kmB.1250kmC.1500kmD.2000km某山地垂直自然帶分布中，海拔h（km）與植被覆蓋率C的關(guān)系模型為(C=\frac{1}{1+e^{-(2h-3)}})，則植被覆蓋率為50%時(shí)的海拔為（）A.1.5kmB.2.0kmC.2.5kmD.3.0km在GIS緩沖區(qū)分析中，若以某污染工廠為圓心，5km為半徑建立緩沖區(qū)，已知該區(qū)域地圖比例尺為1:100000，則緩沖區(qū)在地圖上的半徑長度為（）A.5cmB.10cmC.15cmD.20cm二、填空題（共5題，每題6分，共30分）某地區(qū)近10年平均氣溫?cái)?shù)據(jù)如下（單位：℃）：12.5,13.2,12.8,13.5,14.0,13.8,14.2,14.5,14.3,15.0。則氣溫?cái)?shù)據(jù)的中位數(shù)是______，方差是______。某洋流流經(jīng)區(qū)域水溫T（℃）隨深度d（m）的變化模型為(T=20e^{-0.01d}+4)，當(dāng)深度為______m時(shí)，水溫降至10℃。（精確到整數(shù)）某區(qū)域土地利用類型中，耕地、林地、草地的面積比為5:3:2，若用扇形統(tǒng)計(jì)圖表示，則林地對應(yīng)的圓心角為______度。北斗衛(wèi)星定位系統(tǒng)中，某接收機(jī)同時(shí)接收三顆衛(wèi)星信號，其坐標(biāo)分別為(1,2,3)、(4,5,6)、(7,8,9)（單位：萬公里），則該接收機(jī)坐標(biāo)(x,y,z)需滿足的方程組為______。某沙漠化區(qū)域面積A（km2）隨時(shí)間t（年）的變化滿足微分方程(\frac{dA}{dt}=0.05A(1-\frac{A}{1000}))，當(dāng)A=500km2時(shí)，沙漠化擴(kuò)張速度為______km2/年。三、解答題（共4題，共70分）16.月相變化的三角函數(shù)模型（18分）某地理興趣小組觀測到農(nóng)歷初一（新月）月相面積為0，農(nóng)歷十五（滿月）月相面積最大為3.14平方度。（1）建立月相面積S(t)與時(shí)間t（天）的三角函數(shù)模型（以農(nóng)歷初一為t=0）；（2）計(jì)算農(nóng)歷初七（上弦月）的理論月相面積；（3）若某次觀測到月相面積為1.57平方度，估算可能的農(nóng)歷日期。解答參考：（1）設(shè)(S(t)=A\sin(\omegat+\phi)+B)，由周期T=29.5天得(\omega=\frac{2\pi}{29.5})。根據(jù)邊界條件：當(dāng)t=0時(shí)，S=0；t=14.75時(shí)，S=3.14。解得A=1.57，B=1.57，φ=-π/2，故(S(t)=1.57\sin(\frac{2\pi}{29.5}t-\frac{\pi}{2})+1.57=1.57[1-\cos(\frac{2\pi}{29.5}t)])（2）t=7時(shí)，(S(7)=1.57[1-\cos(\frac{14\pi}{29.5})]\approx1.57[1-\cos(1.48)]\approx1.57)平方度（3）令1.57=1.57[1-cos(θ)]，得cosθ=0，θ=π/2+2kπ，解得t=7.375（上弦月）或t=22.125（下弦月），對應(yīng)農(nóng)歷初七或廿二。17.人口分布的空間插值（16分）某城市四個(gè)區(qū)域的人口密度數(shù)據(jù)如下表：區(qū)域坐標(biāo)(x,y)（km）人口密度（萬人/km2）A(0,0)2.0B(10,0)3.0C(0,10)2.5D(10,10)4.0（1）使用雙線性插值法計(jì)算中心點(diǎn)(5,5)的人口密度；（2）若該城市總面積為100km2，估算總?cè)丝跀?shù)量。解答參考：（1）x方向插值：左邊緣（x=0）：(\rho_y=2.0+\frac{5}{10}(2.5-2.0)=2.25)右邊緣（x=10）：(\rho_y=3.0+\frac{5}{10}(4.0-3.0)=3.5)y方向插值：(\rho(5,5)=2.25+\frac{5}{10}(3.5-2.25)=2.875)萬人/km2（2）采用加權(quán)平均法估算總?cè)丝冢?\bar{\rho}=\frac{2.0+3.0+2.5+4.0}{4}=2.875)萬人/km2，總?cè)丝?2.875×100=287.5萬人18.泥石流災(zāi)害的風(fēng)險(xiǎn)評估（18分）某山區(qū)泥石流風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)R與坡度α、降雨量P（mm）、植被覆蓋率C的關(guān)系模型為：(R=0.1\tan\alpha+0.002P+0.5(1-C))已知該區(qū)域：坡度α∈[30°,60°]年降雨量P~N(1200,3002)植被覆蓋率C=0.6（1）計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)R的表達(dá)式（用α和P表示）；（2）當(dāng)坡度為45°、降雨量為1500mm時(shí)，計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)；（3）若風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)R>1.0時(shí)需發(fā)布預(yù)警，求當(dāng)年降雨量至少為多少時(shí)需預(yù)警（取α=45°）。解答參考：（1）代入C=0.6得：(R=0.1\tan\alpha+0.002P+0.5×0.4=0.1\tan\alpha+0.002P+0.2)（2）tan45°=1，故R=0.1×1+0.002×1500+0.2=0.1+3+0.2=3.3（3）令0.1×1+0.002P+0.2>1.0，解得P>(0.7)/0.002=350mm19.城市熱島效應(yīng)的空間分析（18分）某城市氣溫T（℃）與距市中心距離r（km）的關(guān)系模型為：(T(r)=30-2r+0.1r^2)（1）求城市氣溫最低值出現(xiàn)的位置及溫度；（2）計(jì)算距離市中心1km至5km范圍內(nèi)的平均氣溫；（3）若該城市半徑為10km，估算城市地表熱通量總量Q（單位：10?J/h），其中熱通量密度(q(r)=100(30-T(r)))W/m2。解答參考：（1）對T(r)求導(dǎo)得T’(r)=-2+0.2r，令T’(r)=0得r=10km，此時(shí)T(10)=30-20+10=20℃（2）平均氣溫(\bar{T}=\frac{1}{5-1}\int_{1}^{5}(30-2r+0.1r^2)dr=\frac{1}{4}[30r-r^2+\frac{0.1}{3}r^3]_{1}^{5}\approx26.53℃)（3）Q=∫?1?q(r)·2πr·10?dr=2π×10?∫?1?(2r-0.1r2)rdr=2π×10?[0.5r?-0.02r?]?1?≈1.88×1012J/h=1880×10?J/h四、綜合應(yīng)用題（共2題，共30分）20.氣候變化的時(shí)間序列分析（15分）某氣象站1950-2020年的年平均氣溫?cái)?shù)據(jù)（℃）如下表所示（節(jié)選）：年份19501970199020102020氣溫12.012.513.214.014.5（1）建立氣溫T與年份t的線性回歸模型(\hat{T}=at+b)（t=年份-1950）；（2）預(yù)測2050年的年平均氣溫；（3）若氣溫上升速率不變，估算全球氣溫較1950年上升2℃的年份。解答參考：（1）t=0,20,40,60,70，T=12.0,12.5,13.2,14.0,14.5計(jì)算得(\bar{t}=38)，(\bar{T}=13.24)，a=0.035，b=11.91，故(\hat{T}=0.035t+11.91)（2）t=100時(shí)，T=0.035×100+11.91=15.41℃（3）令0.035t=2，解得t≈57.1年，對應(yīng)年份1950+57=2007年21.生態(tài)保護(hù)區(qū)的優(yōu)化設(shè)計(jì)（15分）某自然保護(hù)區(qū)規(guī)劃為圓形區(qū)域，半徑r（km）與保護(hù)物種數(shù)量N的關(guān)系為(N(r)=500\sqrt{r})，建設(shè)成本C（萬元）為(C(r)=100r^2+500r)。（1）若預(yù)算成本為5000萬元，求保護(hù)區(qū)最大可能半徑；（2）在（1）的條件下，計(jì)算邊際物種保護(hù)成本（即每增加1個(gè)物種所需追加的成本）。解答參考：（1）令100r2+500r=5000，即r2+5r-50=0，解得r=5km（r=-10舍去）（2）N=500√5≈1118種，成本函數(shù)對N求導(dǎo)：(\frac{dC}{dN}=\frac{dC}{dr}·\frac{dr}{dN}=(200r+500)·\frac{2\sqrt{r}}{500})代入r=5得：(1000+500)·(2√5)/500≈1500×0.894/500≈2.68萬元/種試卷設(shè)計(jì)說明跨學(xué)科融合：整合三角函數(shù)（月相）、概率統(tǒng)計(jì)（氣候）、空間幾何（GIS）、微積分（生態(tài)模型