2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)操作題動(dòng)手實(shí)踐試卷一、函數(shù)圖像繪制與性質(zhì)探究（共30分）（一）任務(wù)描述使用坐標(biāo)紙、直尺、量角器等工具，完成以下操作：在平面直角坐標(biāo)系中繪制函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2-9x+5)在區(qū)間([-3,6])上的圖像，要求標(biāo)注關(guān)鍵點(diǎn)（頂點(diǎn)、零點(diǎn)、與坐標(biāo)軸交點(diǎn)），并寫出計(jì)算過程。通過圖像觀察函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)及凹凸性，用鉛筆畫出函數(shù)的切線和漸近線（若存在）。取函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)(P(a,f(a)))，過點(diǎn)(P)作函數(shù)圖像的切線，測(cè)量切線斜率并與導(dǎo)數(shù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比，分析誤差產(chǎn)生的原因。（二）操作步驟提示列表取值：在區(qū)間([-3,6])內(nèi)選取至少10個(gè)點(diǎn)（含端點(diǎn)），計(jì)算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，例如：當(dāng)(x=-3)時(shí)，(f(-3)=(-3)^3-3(-3)^2-9(-3)+5=-27-27+27+5=-22)當(dāng)(x=0)時(shí)，(f(0)=0-0-0+5=5)當(dāng)(x=3)時(shí)，(f(3)=27-27-27+5=-22)描點(diǎn)連線：使用平滑曲線連接各點(diǎn)，注意在極值點(diǎn)附近加密取點(diǎn)（如(x=-1,1,5)等）。求導(dǎo)分析：計(jì)算導(dǎo)數(shù)(f'(x)=3x^2-6x-9)，令(f'(x)=0)解得(x=-1)或(x=3)，對(duì)應(yīng)極值點(diǎn)為((-1,10))和((3,-22))。切線繪制：在圖像上取點(diǎn)((1,-6))，計(jì)算切線斜率(f'(1)=3(1)^2-6(1)-9=-12)，利用點(diǎn)斜式(y+6=-12(x-1))繪制切線。（三）誤差分析要點(diǎn)測(cè)量工具精度：直尺最小刻度為1mm，量角器精度為1°，可能導(dǎo)致斜率計(jì)算誤差。描點(diǎn)誤差：手工描點(diǎn)時(shí)坐標(biāo)讀取偏差，或曲線繪制不光滑導(dǎo)致切線位置偏移。建議：使用Excel或幾何畫板驗(yàn)證圖像，對(duì)比手工繪制結(jié)果，量化誤差百分比。二、立體幾何模型構(gòu)建與體積計(jì)算（共40分）（一）任務(wù)描述利用硬紙板、剪刀、膠水等材料，制作一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4cm、高為6cm的正四棱錐模型，要求各面為全等的等腰三角形，側(cè)棱長(zhǎng)需通過計(jì)算確定。測(cè)量模型的側(cè)棱長(zhǎng)、斜高及表面積，與理論計(jì)算值對(duì)比。在模型中嵌入一根鐵絲作為高線，驗(yàn)證高線是否垂直于底面，并測(cè)量頂點(diǎn)到底面各頂點(diǎn)的距離。（二）理論計(jì)算基礎(chǔ)側(cè)棱長(zhǎng)計(jì)算：底面為正方形，邊長(zhǎng)(a=4)cm，底面中心到頂點(diǎn)的距離（底面外接圓半徑）(r=\frac{\sqrt{2}}{2}a=2\sqrt{2})cm。棱錐高(h=6)cm，由勾股定理得側(cè)棱長(zhǎng)(l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+6^2}=\sqrt{8+36}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}\approx6.63)cm。斜高計(jì)算：側(cè)面為等腰三角形，底邊上的高（斜高）(h'=\sqrt{l^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{44-4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx6.32)cm。表面積計(jì)算：底面積(S_{底}=a^2=16)cm2，側(cè)面積(S_{側(cè)}=4\times\frac{1}{2}\timesa\timesh'=4\times\frac{1}{2}\times4\times2\sqrt{10}=16\sqrt{10}\approx50.60)cm2，總表面積(S=16+50.60=66.60)cm2。（三）模型制作注意事項(xiàng)展開圖繪制：在硬紙板上畫出一個(gè)正方形底面和4個(gè)等腰三角形側(cè)面，三角形的腰長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)(2\sqrt{11})cm，底邊長(zhǎng)為4cm。拼接技巧：在三角形側(cè)面的底邊處預(yù)留1cm寬的粘貼邊，使用膠水時(shí)避免污染紙面，確保各側(cè)面與底面垂直。驗(yàn)證方法：將模型倒置，用鉛垂線檢查頂點(diǎn)是否與底面中心重合，若重合則高線垂直于底面。三、概率模擬實(shí)驗(yàn)（共30分）（一）任務(wù)描述通過擲骰子和隨機(jī)數(shù)表模擬“擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)之和為7的概率”，完成以下操作：手工實(shí)驗(yàn)：兩人一組，擲兩枚骰子（或用計(jì)算器生成1-6的隨機(jī)數(shù)），記錄每次點(diǎn)數(shù)之和，重復(fù)實(shí)驗(yàn)100次，統(tǒng)計(jì)點(diǎn)數(shù)之和為7的頻數(shù)，計(jì)算頻率。隨機(jī)數(shù)表模擬：使用教材附錄中的隨機(jī)數(shù)表，每?jī)蓚€(gè)數(shù)字為一組（若數(shù)字大于6則舍棄），模擬200次實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)點(diǎn)數(shù)之和為7的頻數(shù)，計(jì)算頻率。對(duì)比分析：將手工實(shí)驗(yàn)、隨機(jī)數(shù)表模擬的頻率與理論概率（(\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\approx0.1667)）對(duì)比，繪制頻率分布折線圖，解釋實(shí)驗(yàn)次數(shù)對(duì)結(jié)果的影響。（二）數(shù)據(jù)記錄與處理手工實(shí)驗(yàn)記錄表（示例）：實(shí)驗(yàn)次數(shù)點(diǎn)數(shù)之和是否為7累計(jì)頻數(shù)累計(jì)頻率15否0027是10.5...............1006否180.18隨機(jī)數(shù)表模擬示例：從隨機(jī)數(shù)表第3行第4列開始讀?。?3,47,43,73,86,36,96,47,36,61,...03→點(diǎn)數(shù)(0,3)舍棄（0無效）47→(4,7)舍棄（7無效）43→(4,3)→和為7→頻數(shù)+173→舍棄86→舍棄36→(3,6)→和為9→頻數(shù)不變...（三）誤差討論手工實(shí)驗(yàn)誤差：骰子質(zhì)地不均勻、人為讀數(shù)錯(cuò)誤、實(shí)驗(yàn)次數(shù)不足（100次可能導(dǎo)致頻率波動(dòng)較大，如示例中頻率0.18與理論值0.1667的誤差為0.0133）。隨機(jī)數(shù)表優(yōu)勢(shì)：避免主觀因素干擾，200次實(shí)驗(yàn)的頻率更接近理論值，例如若統(tǒng)計(jì)頻數(shù)為32，則頻率為(\frac{32}{200}=0.16)，誤差僅為0.0067。結(jié)論：實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越穩(wěn)定于概率，可結(jié)合Excel繪制頻率隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)變化的折線圖，觀察“頻率趨近于概率”的過程。四、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)收集與分析（共40分）（一）任務(wù)描述以班級(jí)同學(xué)為樣本，完成以下統(tǒng)計(jì)實(shí)踐：數(shù)據(jù)收集：設(shè)計(jì)調(diào)查問卷，收集50名同學(xué)的身高（精確到cm）、體重（精確到kg）、每日運(yùn)動(dòng)時(shí)間（精確到0.5小時(shí)），并記錄性別信息。數(shù)據(jù)整理：用頻數(shù)分布表整理身高數(shù)據(jù)（組距5cm，如150-155cm,155-160cm等），繪制頻率分布直方圖和扇形圖（按性別分組）。數(shù)據(jù)分析：計(jì)算身高的平均數(shù)、中位數(shù)、方差，分析身高與體重的相關(guān)性（繪制散點(diǎn)圖，目測(cè)相關(guān)趨勢(shì)），用卡方檢驗(yàn)判斷性別與每日運(yùn)動(dòng)時(shí)間是否獨(dú)立（運(yùn)動(dòng)時(shí)間分為“<1小時(shí)”和“≥1小時(shí)”兩組）。（二）工具與方法調(diào)查問卷設(shè)計(jì)：?jiǎn)栴}1：你的性別是？（□男□女）問題2：你的身高是？______cm問題3：你的體重是？______kg問題4：你平均每日運(yùn)動(dòng)時(shí)間是？______小時(shí)（如0.5,1,1.5等）直方圖繪制步驟：確定組數(shù)和組距：身高范圍約150-190cm，組距5cm，分為8組。統(tǒng)計(jì)頻數(shù)：例如150-155cm組有3人，頻率為(\frac{3}{50}=0.06)，直方圖的縱坐標(biāo)為頻率/組距=0.012。繪圖：用直尺繪制橫軸（身高）和縱軸（頻率/組距），每個(gè)矩形的高對(duì)應(yīng)頻率/組距，寬度為組距。相關(guān)性分析：在坐標(biāo)紙上以身高為橫軸、體重為縱軸描點(diǎn)，若散點(diǎn)呈上升趨勢(shì)，說明身高與體重正相關(guān)，可計(jì)算相關(guān)系數(shù)(r=\frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2\sum(y_i-\bar{y})^2}})（(r>0)為正相關(guān)，(|r|)越接近1相關(guān)性越強(qiáng)）。（三）報(bào)告撰寫要求用文字描述數(shù)據(jù)特征，例如“班級(jí)同學(xué)平均身高為168cm，中位數(shù)167cm，說明數(shù)據(jù)分布較為對(duì)稱；方差為36，身高差異適中”。結(jié)合直方圖分析身高分布類型（如正態(tài)分布、偏態(tài)分布），例如“165-170cm組頻數(shù)最高，符合正態(tài)分布特征”。對(duì)性別與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的獨(dú)立性檢驗(yàn)，列出2×2列聯(lián)表，計(jì)算卡方值(\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})，與臨界值比較（顯著性水平0.05，自由度1時(shí)臨界值為3.84），若(\chi^2>3.84)，則認(rèn)為性別與運(yùn)動(dòng)時(shí)間有關(guān)聯(lián)。五、綜合應(yīng)用題（共60分）（一）任務(wù)背景某中學(xué)計(jì)劃在校園內(nèi)修建一個(gè)長(zhǎng)方形花壇，要求花壇面積為120m2，其中一邊靠墻（墻長(zhǎng)20m），另外三邊用柵欄圍起，柵欄材料成本為50元/m。（二）實(shí)踐任務(wù)方案設(shè)計(jì)：設(shè)花壇靠墻一邊的長(zhǎng)度為(x)m，另兩邊長(zhǎng)度為(y)m，寫出(x)與(y)的關(guān)系式（(x\leq20)）。計(jì)算柵欄總長(zhǎng)度(L=x+2y)與成本(C=50L)的函數(shù)表達(dá)式，并用配方法或?qū)?shù)求成本最低的方案。模型制作：用比例尺1:100制作花壇模型（即1m對(duì)應(yīng)1cm），使用泡沫板、彩色筆等材料，標(biāo)注尺寸和成本。優(yōu)化分析：若墻長(zhǎng)改為15m，成本最低方案是否改變？畫出兩種情況下的成本函數(shù)圖像，對(duì)比臨界點(diǎn)變化。（三）理論計(jì)算過程關(guān)系式推導(dǎo)：面積(S=x\cdoty=120\Rightarrowy=\frac{120}{x})，柵欄長(zhǎng)度(L=x+2y=x+\frac{240}{x})，成本(C=50\left(x+\frac{240}{x}\right))。求最值：方法一（配方法）：(L=x+\frac{240}{x}=(\sqrt{x})^2+\left(\sqrt{\frac{240}{x}}\right)^2-2\sqrt{x}\cdot\sqrt{\frac{240}{x}}+2\sqrt{x}\cdot\sqrt{\frac{240}{x}}=\left(\sqrt{x}-\sqrt{\frac{240}{x}}\right)^2+2\sqrt{240})，當(dāng)(\sqrt{x}=\sqrt{\frac{240}{x}}\Rightarrowx=\sqrt{240}\approx15.49)m時(shí)，(L_{\text{min}}=2\sqrt{240}\approx30.98)m，成本(C_{\text{min}}=50\times30.98\approx1549)元。方法二（導(dǎo)數(shù)法）：(L'(x)=1-\frac{240}{x^2})，令(L'(x)=0\Rightarrowx^2=240\Rightarrowx\approx15.49)m（滿足(x\leq20)），此時(shí)(y=\frac{120}{15.49}\approx7.75)m。墻長(zhǎng)限制討論：若墻長(zhǎng)為15m，由于(x\leq15)，而(x=15.49)m超出限制，此時(shí)需在定義域((0,15])內(nèi)求最值。因(L(x)=x+\frac{240}{x})在((0,\sqrt{240}))單調(diào)遞減，故當(dāng)(x=15)m時(shí)，(L=15+\frac{240}{15}=15+16=31)m，成本(C=50\times31=1550)元，比墻長(zhǎng)20m時(shí)略高。（四）模型制作與展示