高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省西安市鄠邑區(qū)2024-2025學年高二上學期期中質(zhì)量檢測數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知點關(guān)于軸的對稱點為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】點關(guān)于軸的對稱點為，所以,所以，故選:D.2.直線：的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意可知該直線的斜率為，所以其傾斜角為.故選：C.3.已知點在平面內(nèi)，并且對空間任一點，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為點在平面內(nèi)，所以點，，，四點共面，所以，解得.故選：B.4.如圖，在正方體中，點E是上底面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以為原點，為軸正方向建立空間直角坐標系如圖所示，設(shè)正方體棱長為2，所以，，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.5.兩平行直線和之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】將直線變形為，所以兩平行線間的距離為.故選：A．6.下列說法正確的是（）A.若直線的一個方向向量的坐標為，則的斜率為B.三點共線C.過兩點的直線的方程為D.經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【答案】B【解析】對A，當時，的斜率不存在，當時，的斜率為，A錯誤；對B，因為且共點，所以三點共線，B正確；對C，當或時，不能用兩點式方程表示，C錯誤；對D，當在軸和軸上截距都相等且不為零時，設(shè)方程為，因為直線經(jīng)過點，所以，解得，則直線方程為，當在軸和軸上截距都相等且為零時，設(shè)方程為，因為直線經(jīng)過點，所以，直線方程為，所以滿足條件的直線方程為或，D錯誤；故選：B.7.直線關(guān)于軸對稱的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】在所求直線上任取一點，關(guān)于y軸的對稱點為，由題意點直線上，將點代入直線方程，得，即，故選：C.8.空間直角坐標系中，經(jīng)過點，且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點且一個方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】〖祥解〗因為平面的方程為，故其法向量為，因為直線的方程為，故其方向向量為，故直線與平面所成角的正弦值為，故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分.9.已知點是所在平面外一點，若，下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】因為，故，故A正確；而，故B正確；，故C正確；若，則，故，此方程組無解；故不共線，故不成立，故D錯誤；故選：ABC.10.設(shè)為坐標原點，直線過圓的圓心且交圓于兩點，則（）A. B.C.的面積為 D.【答案】BC【解析】由題設(shè)，圓心，半徑為5，又過圓心，所以，且，A錯，B對；顯然，即原點在圓上，由到的距離，故的面積為，C對；若，則，與矛盾，D錯.故選：BC.11.對于直線和直線，以下說法正確的有（）A.直線過定點B.若，則C.的充要條件是D.點到直線距離的最大值為5【答案】ABD【解析】A：由，即直線恒過定點，對；B：，則，可得，對；C：，則，可得，即或，時，，，滿足；時，，，滿足，綜上，或，錯；D：點到直線距離的最大值，是到定點的距離，即為5，對.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知兩點和則以為直徑的圓的標準方程是__________.【答案】【解析】因為和，故可得AB中點為，又，故所求圓的半徑為，則所求圓的標準方程是：.13.過點作圓的切線，切線方程為__________.【答案】或【解析】由，可得圓的圓心，半徑為，當過的直線斜率不存在時，直線方程為，易得直線與圓相切，當過的切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，即，由，解得，切線方程為，所以切線方程為或．14.在空間直角坐標系中，點在上的射影分別為，則四面體的體積為__________.【答案】1【解析】由，可得點在上的射影分別為，所以平面，且三角形是直角三角形，所以.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知三角形的三個頂點是.（1）求邊所在的直線方程；（2）求邊上的高所在直線的方程.解：（1）由題意可得,由斜截式可得直線方程為；（2）,所以邊上的高所在直線的斜率為，由點，所以邊上的高所在直線方程為.16.如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，.（1）證明：直線平面；（2）求點到平面的距離.（1）證明：由平面，且四邊形為矩形，可建立如圖所示空間直角坐標系，則由，得，解得，同理，，顯然面的一個法向量為，顯然且面，故面（2）解：設(shè)面的一個法向量為，且，由，取x=1，則，所以為平面的一個法向量，又，點到平面的距離為.17.已知直線.（1）若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；（2）若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，求面積的最小值.解：（1）直線，即，所以直線過定點，是直線的斜率，所以.（2）因為直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，所以??；??；所以，所以，當且僅當時等號成立.18.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓及點.（1）若直線過點，與圓相交于兩點，且，求直線l的方程；（2）圓上是否存在點，使得成立？若存在，求點的個數(shù)；若不存在，請說明理由.解：（1）圓可化為，圓心為，若的斜率不存在時，，此時符合要求.當?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)的斜率為，則令，因為，由垂徑定理可得，圓心到直線的距離，，，所以直線的方程為或.（2）假設(shè)圓上存在點，設(shè)，則，，即，即，，與相交，則點有兩個.19.如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，和分別是和的中點，點在直線上，且.（1）證明：無論取何值，總有；（2）是否存在點，使得平面與平面所成的角為？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由.（1）證明：因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，，，所以，，則，因此，無論取何值，總有；（2）解：，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，平面的一個法向量為，易知平面的一個法向量為，由題意可得，整理可得，，此方程無解，因此，不存在點，使得平面與平面所成的角為.陜西省西安市鄠邑區(qū)2024-2025學年高二上學期期中質(zhì)量檢測數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知點關(guān)于軸的對稱點為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】點關(guān)于軸的對稱點為，所以,所以，故選:D.2.直線：的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意可知該直線的斜率為，所以其傾斜角為.故選：C.3.已知點在平面內(nèi)，并且對空間任一點，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為點在平面內(nèi)，所以點，，，四點共面，所以，解得.故選：B.4.如圖，在正方體中，點E是上底面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以為原點，為軸正方向建立空間直角坐標系如圖所示，設(shè)正方體棱長為2，所以，，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.5.兩平行直線和之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】將直線變形為，所以兩平行線間的距離為.故選：A．6.下列說法正確的是（）A.若直線的一個方向向量的坐標為，則的斜率為B.三點共線C.過兩點的直線的方程為D.經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【答案】B【解析】對A，當時，的斜率不存在，當時，的斜率為，A錯誤；對B，因為且共點，所以三點共線，B正確；對C，當或時，不能用兩點式方程表示，C錯誤；對D，當在軸和軸上截距都相等且不為零時，設(shè)方程為，因為直線經(jīng)過點，所以，解得，則直線方程為，當在軸和軸上截距都相等且為零時，設(shè)方程為，因為直線經(jīng)過點，所以，直線方程為，所以滿足條件的直線方程為或，D錯誤；故選：B.7.直線關(guān)于軸對稱的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】在所求直線上任取一點，關(guān)于y軸的對稱點為，由題意點直線上，將點代入直線方程，得，即，故選：C.8.空間直角坐標系中，經(jīng)過點，且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點且一個方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】〖祥解〗因為平面的方程為，故其法向量為，因為直線的方程為，故其方向向量為，故直線與平面所成角的正弦值為，故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分.9.已知點是所在平面外一點，若，下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】因為，故，故A正確；而，故B正確；，故C正確；若，則，故，此方程組無解；故不共線，故不成立，故D錯誤；故選：ABC.10.設(shè)為坐標原點，直線過圓的圓心且交圓于兩點，則（）A. B.C.的面積為 D.【答案】BC【解析】由題設(shè)，圓心，半徑為5，又過圓心，所以，且，A錯，B對；顯然，即原點在圓上，由到的距離，故的面積為，C對；若，則，與矛盾，D錯.故選：BC.11.對于直線和直線，以下說法正確的有（）A.直線過定點B.若，則C.的充要條件是D.點到直線距離的最大值為5【答案】ABD【解析】A：由，即直線恒過定點，對；B：，則，可得，對；C：，則，可得，即或，時，，，滿足；時，，，滿足，綜上，或，錯；D：點到直線距離的最大值，是到定點的距離，即為5，對.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知兩點和則以為直徑的圓的標準方程是__________.【答案】【解析】因為和，故可得AB中點為，又，故所求圓的半徑為，則所求圓的標準方程是：.13.過點作圓的切線，切線方程為__________.【答案】或【解析】由，可得圓的圓心，半徑為，當過的直線斜率不存在時，直線方程為，易得直線與圓相切，當過的切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，即，由，解得，切線方程為，所以切線方程為或．14.在空間直角坐標系中，點在上的射影分別為，則四面體的體積為__________.【答案】1【解析】由，可得點在上的射影分別為，所以平面，且三角形是直角三角形，所以.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知三角形的三個頂點是.（1）求邊所在的直線方程；（2）求邊上的高所在直線的方程.解：（1）由題意可得,由斜截式可得直線方程為；（2）,所以邊上的高所在直線的斜率為，由點，所以邊上的高所在直線方程為.16.如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，.（1）證明：直線平面；（2）求點到平面的距離.（1）證明：由平面，且四邊形為矩形，可建立如圖所示空間直角坐標系，則由，得，解得，同理，，顯然面的一個法向量為，顯然且面，故面（2）解：設(shè)面的一個法向量為，且，由，取x=1，則，所以為平面的一個法向量，又，點到平面的距離為.17.已知直線.（1）若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；（2）若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，求面積的最小值.解：（1）直線，即，所以直線過定點，是直線的斜率，所以.（2）因為直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，所以?。蝗?；所以，所以，當且僅當時等號成立.18.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓及點.（1）若直線過點，與圓相交于兩點，且，求直線l的方程；（2）圓上是否存在點，使得成立？若存在，求點的個數(shù)；若不存在，請說明理由.解：（1）圓可化為，圓心為，若的斜率不存在時，，此時符合要求.當?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)的斜率為，則令，因為，由垂徑定理可得，圓心到直線的距離，，，所以直線的方程為或.（2）假設(shè)圓上存在點，設(shè)，則，，即