高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省名校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，則的值為（）A. B.14 C. D.4【答案】B【解析】．故選：B.2.點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：B.3.已知圓，圓，則這兩圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)含 B.相切 C.相交 D.外離【答案】A【解析】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，則，故，所以兩圓內(nèi)含；故選：A.4.兩平行直線之間的距離為（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】直線可化為，直線可化為，所以兩平行直線之間的距離為.故選：A.5.已知點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由題意得，，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以，解得，故選：A.6.已知方程表示一個(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榉匠瘫硎疽粋€(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以有解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B.7.在直三棱柱中，，，，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)槿庵侵比庵?，且，所以以B為原點(diǎn)、AB所在直線為x軸、BC所在直線為y軸、所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．因?yàn)椋?，故．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，得．設(shè)直線與平面，所成的角為，則，則．故選：D．8.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則點(diǎn)A到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.向量，若，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因?yàn)?，所以，由題意可得，所以，則．故選：BC.10.如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱和的中點(diǎn)，則以為原點(diǎn)，所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.C.是平面的一個(gè)法向量D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ACD【解析】對于A，由于，分別是的中點(diǎn)，所以平面平面，所以平面，故A正確；對于B，，故，，故與不垂直，進(jìn)而可得與不垂直，故B錯(cuò)誤；對于C，由，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量，故C正確；對于D，，點(diǎn)到平面的距離為，故D正確.故選：ACD．11.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.B.C.當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，從點(diǎn)向軸作垂線，為垂足，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為D.的最大值為【答案】ABC【解析】對于A，由橢圓方程得：F1-1,0，F(xiàn)21,0，，A正確；對于B，，，，B正確；對于C，設(shè)，Mx,y，則，，即，，又在橢圓上，，即點(diǎn)軌跡為，C正確；對于D，由橢圓定義知：，，（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號，即位于圖中點(diǎn)的位置時(shí)取等號），，D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.兩平面的法向量分別為，則兩平面的夾角為__________.【答案】【解析】兩平面的法向量分別為，設(shè)兩平面的夾角為，所以，因?yàn)?，所以，即兩平面的夾角為.13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則______．【答案】4【解析】由題知，根據(jù)可知，是平面的一個(gè)法向量，則，所以，整理可得．14.在平面直角坐標(biāo)系中，軸被圓心為的圓截得的弦長為，直線：與圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且，那么圓的方程為________，的取值范圍為_________．【答案】【解析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)檩S被圓心為的圓截得的弦長為，所以，可得，所以圓方程為；由直線與圓相交，有，解得或．由，，可得直線與直線垂直，有，有，解得，可得，又由或，，或，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得或，所以的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.求符合下列條件的直線的方程：（1）過點(diǎn)，且斜率為；（2）過點(diǎn)，；（3）過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等．解：（1）∵所求直線過點(diǎn)，且斜率為，∴，即；（2）∵所求直線過，，∴，∴，即；（3）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，∵直線過點(diǎn)，∴，直線方程為，即；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入上式，得，解得，故直線的方程為，綜上，直線方程為或．16.如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與直線的夾角的余弦值.（1）證明：因是直三棱柱，則，又因點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，所以，則四邊形是平行四邊形，所以，又因平面平面，故平面；（2）解：如圖，因直三棱柱中，故可以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，于是，設(shè)直線與直線的夾角為，則，故直線與直線的夾角的余弦值為.17.已知圓C過點(diǎn)，，且圓心C直線上．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線l與圓C相切，求直線l的方程．解：（1）直線AB的斜率為，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為直線AB的垂直平分線的方程為，整理為聯(lián)立方程，解得由圓C的性質(zhì)可知，圓心C的坐標(biāo)為，可得圓C的半徑為故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線正好與圓C相切，故此時(shí)直線l的方程為②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，整理為由直線l與圓C相切，有，解得可得直線l的方程為，整理為故直線l的方程為或．18.已知橢圓C：的短軸長和焦距相等，長軸長是．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線l的距離為．點(diǎn)M在橢圓C上，且滿足，求直線l的方程．解：（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c，由題意有，解得，，，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）若直線l的斜率不存在，直線l的方程為，此時(shí)滿足的點(diǎn)M顯然不在橢圓C上，可得直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，，，，聯(lián)立方程，消去y后整理為，可得，，由，可得，又由，可得，，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓C的方程，有，整理為，又由原點(diǎn)O到直線l的距離為，有，可得，聯(lián)立方程，可得，解得或或或，又由，可得直線l的方程為或或或．19.如圖，在直棱柱中，底面是邊長為2的菱形，，.點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值的取值范圍.解：（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，，因，，所以，在菱形中，，為中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以為中點(diǎn)，即；（2）連接交于點(diǎn)，連接；交于點(diǎn)，因?yàn)槔庵鶠橹崩庵?，且底面為菱形，所以兩兩垂直，所以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易解得，，則，，，，，所以，，，，設(shè)，可解得，則，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，，取，則，取，則，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則.遼寧省名校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，則的值為（）A. B.14 C. D.4【答案】B【解析】．故選：B.2.點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：B.3.已知圓，圓，則這兩圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)含 B.相切 C.相交 D.外離【答案】A【解析】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，則，故，所以兩圓內(nèi)含；故選：A.4.兩平行直線之間的距離為（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】直線可化為，直線可化為，所以兩平行直線之間的距離為.故選：A.5.已知點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由題意得，，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以，解得，故選：A.6.已知方程表示一個(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榉匠瘫硎疽粋€(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以有解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B.7.在直三棱柱中，，，，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)槿庵侵比庵?，且，所以以B為原點(diǎn)、AB所在直線為x軸、BC所在直線為y軸、所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．因?yàn)?，所以，故．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，得．設(shè)直線與平面，所成的角為，則，則．故選：D．8.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則點(diǎn)A到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.向量，若，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因?yàn)椋?，由題意可得，所以，則．故選：BC.10.如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱和的中點(diǎn)，則以為原點(diǎn)，所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.C.是平面的一個(gè)法向量D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ACD【解析】對于A，由于，分別是的中點(diǎn)，所以平面平面，所以平面，故A正確；對于B，，故，，故與不垂直，進(jìn)而可得與不垂直，故B錯(cuò)誤；對于C，由，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量，故C正確；對于D，，點(diǎn)到平面的距離為，故D正確.故選：ACD．11.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.B.C.當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，從點(diǎn)向軸作垂線，為垂足，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為D.的最大值為【答案】ABC【解析】對于A，由橢圓方程得：F1-1,0，F(xiàn)21,0，，A正確；對于B，，，，B正確；對于C，設(shè)，Mx,y，則，，即，，又在橢圓上，，即點(diǎn)軌跡為，C正確；對于D，由橢圓定義知：，，（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號，即位于圖中點(diǎn)的位置時(shí)取等號），，D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.兩平面的法向量分別為，則兩平面的夾角為__________.【答案】【解析】兩平面的法向量分別為，設(shè)兩平面的夾角為，所以，因?yàn)?，所以，即兩平面的夾角為.13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則______．【答案】4【解析】由題知，根據(jù)可知，是平面的一個(gè)法向量，則，所以，整理可得．14.在平面直角坐標(biāo)系中，軸被圓心為的圓截得的弦長為，直線：與圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且，那么圓的方程為________，的取值范圍為_________．【答案】【解析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)檩S被圓心為的圓截得的弦長為，所以，可得，所以圓方程為；由直線與圓相交，有，解得或．由，，可得直線與直線垂直，有，有，解得，可得，又由或，，或，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得或，所以的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.求符合下列條件的直線的方程：（1）過點(diǎn)，且斜率為；（2）過點(diǎn)，；（3）過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等．解：（1）∵所求直線過點(diǎn)，且斜率為，∴，即；（2）∵所求直線過，，∴，∴，即；（3）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，∵直線過點(diǎn)，∴，直線方程為，即；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入上式，得，解得，故直線的方程為，綜上，直線方程為或．16.如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與直線的夾角的余弦值.（1）證明：因是直三棱柱，則，又因點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，所以，則四邊形是平行四邊形，所以，又因平面平面，故平面；（2）解：如圖，因直三棱柱中，故可以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，于是，設(shè)直線與直線的夾角為，則，故直線與直線的夾角的余弦值為.17.已知圓C過點(diǎn)，，且圓心C直線上．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線l與圓C相切，求直線l的方程．解：（1）直線AB的斜率為，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為直線AB的垂直平分線的方程為，整理為聯(lián)立方程，解得由圓C的性質(zhì)可知，圓心C的坐標(biāo)為，可得圓C的半徑為故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線正好與圓C相切，故此時(shí)直線l的方程為②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，整理為由直線l與圓C相切，有，解得可得直線l的方程為，整理為故直線l的方程為或．18.已知橢圓C：的短軸長和焦距相等，長軸長是．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線l的距離為．點(diǎn)M在橢圓C上，且滿足，求直線l的方程．解：（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c，由題意有，解得，，，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）若直線l的斜率不存在，直線l的方程為，此時(shí)滿足的點(diǎn)M顯然不在橢圓C上，可得直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，，，，聯(lián)立方程，消去y后整理為，可得，，由，可得，又由，可得，，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓C的方程，有，整理為，又由原點(diǎn)O到直線l的距離為，有，可得，聯(lián)立方程