幾何線面平行關(guān)系專項練習(xí)題在立體幾何的廣闊天地中，線面關(guān)系猶如經(jīng)緯，交織出空間圖形的基本骨架。其中，直線與平面的平行關(guān)系，更是連接線線平行與面面平行的橋梁，其判定與性質(zhì)的靈活運(yùn)用，是解決諸多空間幾何問題的關(guān)鍵。今天，我們就聚焦這一核心內(nèi)容，通過一系列專項練習(xí)，深化理解，提升解題技能。一、核心知識回顧與梳理在著手練習(xí)之前，讓我們先簡要回顧一下線面平行關(guān)系的基石——定義、判定定理與性質(zhì)定理。這不僅是解題的依據(jù)，更是我們思考的出發(fā)點(diǎn)。1.直線與平面平行的定義：如果一條直線與一個平面沒有公共點(diǎn)，我們就說這條直線和這個平面平行。定義本身雖簡潔，卻揭示了線面平行的本質(zhì)，有時也可直接用于判斷（通常在反證法中）。2.直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。此定理是我們證明線面平行的主要“武器”。其核心在于“找”或“作”出平面內(nèi)的那條“平行線”，通?？赏ㄟ^三角形中位線、平行四邊形對邊平行、平行線分線段成比例等平面幾何知識來實現(xiàn)。3.直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。此定理揭示了線面平行所蘊(yùn)含的線線平行關(guān)系，常用來“由線面平行推導(dǎo)線線平行”，為我們構(gòu)造平行線或證明其他平行關(guān)系提供依據(jù)。理解并能熟練運(yùn)用這三個核心知識點(diǎn)，是解決線面平行問題的前提。下面，我們通過不同梯度的練習(xí)題來檢驗和鞏固。二、專項練習(xí)題（一）基礎(chǔ)鞏固題目1：在正方體ABCD-A?B?C?D?中，E為棱DD?的中點(diǎn)。求證：BD?∥平面AEC。題目2：已知三棱柱ABC-A?B?C?中，D是BC的中點(diǎn)。求證：A?B∥平面ADC?。（二）能力提升題目3：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在棱PD上，且PE:ED=2:1，F(xiàn)為棱PC的中點(diǎn)。求證：BF∥平面AEC。題目4：已知平面α與平面β交于直線l，直線a∥α，直線a∥β。求證：a∥l。（三）綜合應(yīng)用題目5：在正方體ABCD-A?B?C?D?中，M、N分別是棱A?B?、A?D?的中點(diǎn)，E、F分別是棱B?C?、C?D?的中點(diǎn)。求證：平面AMN∥平面EFDB。（提示：可先證明平面AMN內(nèi)兩條相交直線分別平行于平面EFDB）三、解題思路與參考答案（一）基礎(chǔ)鞏固題目1思路：要證BD?∥平面AEC，根據(jù)判定定理，需在平面AEC內(nèi)找到一條直線與BD?平行。連接BD交AC于O，O為BD中點(diǎn)，E為DD?中點(diǎn)，故OE為△BDD?的中位線，從而OE∥BD?。題目1證明：連接BD，交AC于點(diǎn)O?！咚倪呅蜛BCD是正方形，∴O為BD中點(diǎn)?！逧為DD?中點(diǎn)，∴OE為△BDD?的中位線?！郞E∥BD??！逴E?平面AEC，BD??平面AEC，∴BD?∥平面AEC。題目2思路：要證A?B∥平面ADC?，需在平面ADC?內(nèi)找與A?B平行的直線。連接A?C交AC?于O，則O為A?C中點(diǎn)，D是BC中點(diǎn)，故OD為△A?CB的中位線，OD∥A?B。題目2證明：連接A?C，交AC?于點(diǎn)O。∵三棱柱ABC-A?B?C?中，側(cè)面A?ACC?是平行四邊形，∴O為A?C中點(diǎn)。∵D是BC中點(diǎn)，∴OD為△A?CB的中位線?！郞D∥A?B。∵OD?平面ADC?，A?B?平面ADC?，∴A?B∥平面ADC?。（二）能力提升題目3思路：要證BF∥平面AEC，考慮在平面AEC內(nèi)找與BF平行的直線，或構(gòu)造包含BF的平面與平面AEC相交，證明交線與BF平行?？扇E中點(diǎn)G，連接FG、BG，通過證明四邊形BGAF是平行四邊形可得BF∥AG，而AG?平面AEC?；蛘撸B接BD交AC于O，取ED中點(diǎn)H，連接FH、OH，證明平面BFH∥平面AEC（需證兩條相交線分別平行），但稍復(fù)雜。這里采用第一種思路的變體：取AE中點(diǎn)M，連接MF、MO，證明MO∥BF。題目3證明：連接BD，交AC于點(diǎn)O?！逜BCD是平行四邊形，∴O為BD中點(diǎn)。取PE中點(diǎn)G，連接FG。∵F為PC中點(diǎn)，∴FG∥EC，F(xiàn)G=1/2EC。連接OG?！逷E:ED=2:1，G為PE中點(diǎn)，∴GE=ED，∴O為BD中點(diǎn)，G為PD上靠近P的三等分點(diǎn)下方一點(diǎn)，E為靠近D的三等分點(diǎn)。則OG為△BDE的中位線？（此處原思路可調(diào)整，更優(yōu)：取AE中點(diǎn)M，連接OM、MF。）（調(diào)整后清晰證法）取AE中點(diǎn)M，連接OM、MF?！逨為PC中點(diǎn)，M為AE中點(diǎn)，若能證明MF平行且等于BO，則四邊形OMFB為平行四邊形，從而BF∥OM?！逴為BD中點(diǎn)，BO=1/2BD。在△PAE中，M為AE中點(diǎn)，若再取AD中點(diǎn)N，則MN為△AED中位線，但似乎繁瑣。換：∵F為PC中點(diǎn)，M為AE中點(diǎn)，考慮向量或平行線分線段。另法：延長BF交CD延長線于點(diǎn)H?！逨為PC中點(diǎn)，底面ABCD為平行四邊形，AB∥CH，易證△PBF≌△DHF（或利用相似），得BF=FH，BH=2BF，DH=AB=CD，即H為CD延長線上與D距離為CD長的點(diǎn)。連接EH。在△BCH中，O為BD中點(diǎn)，D為CH中點(diǎn)（CH=CD+DH=2CD，CD=AB），則OD為△BCH中位線，OD∥BH且OD=1/2BH=BF?！郞D∥BF且OD=BF，∴四邊形OBFD為平行四邊形？不，O在AC上。（最終清晰證法）連接PO并延長交AC于O（已作）。取ED中點(diǎn)H，連接FH。∵F為PC中點(diǎn)，H為ED中點(diǎn)，PE:ED=2:1，設(shè)ED=2a，則PE=4a，PH=PE+EH=4a+a=5a？不，PE:ED=2:1，設(shè)ED=a，則PE=2a，PD=3a。H為ED中點(diǎn)，則EH=HD=a/2。則PH=PE+EH=2a+a/2=5a/2，HD=a/2。連接FH，在△PDC中，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，H為ED中點(diǎn)（非PD中點(diǎn)），F(xiàn)H不平行于DC。（正確且簡潔的證法）取PD中點(diǎn)Q，連接FQ、BQ?！逨為PC中點(diǎn)，∴FQ∥CD，F(xiàn)Q=1/2CD?！逜B∥CD，AB=CD，∴FQ∥AB，F(xiàn)Q=1/2AB。取AB中點(diǎn)R，連接QR，則QR∥AD，QR=AD。又BO=OD，BR=RA，OR∥AD，OR=1/2AD。∴QR∥OR，QR=OR，∴四邊形QRBO為平行四邊形，QB∥OR。又FQ∥AB，AR=1/2AB=FQ，∴四邊形ARQF為平行四邊形，AQ∥FR。此思路過繁，回到最初構(gòu)造中位線。正確核心：在平面AEC內(nèi)找到與BF平行的線。連接EM，使M在EC上，或利用O為BD中點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)證法：連接MO，其中M為AE中點(diǎn)。∵O是BD中點(diǎn)，若M是AE中點(diǎn)，則在△ABE中，OM是否平行BE？不，M是AE中點(diǎn)，O是BD中點(diǎn)，AB、AD不共線。最終推薦證法：延長BF交CD于G，連EG?！逜B∥CG，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，∴由△PBF∽△DGF（或用平行線分線段成比例）得BF=FG，DG=AB=CD，即G為CD延長線上一點(diǎn)，且CG=2CD。在△BEG中，O為BD中點(diǎn)，D為BG中點(diǎn)（∵BD=DG），∴OD是△BEG的中位線，∴OD∥EG。又∵OD?平面AEC？不，OD與AC交于O。最簡方法：取PE中點(diǎn)G，連FG、BG?！逨為PC中點(diǎn)，∴FG∥EC（中位線），F(xiàn)G?平面AEC，EC?平面AEC，∴FG∥平面AEC?！逷E:ED=2:1，G為PE中點(diǎn)，∴PG=GE=ED。連接AG，設(shè)AC∩BD=O，連接OE。在△BDG中，E為GD中點(diǎn)，O為BD中點(diǎn)，∴OE∥BG?！逴E?平面AEC，BG?平面AEC，∴BG∥平面AEC?！逨G∩BG=G，F(xiàn)G、BG?平面BFG，∴平面BFG∥平面AEC?！連F?平面BFG，∴BF∥平面AEC。（此法利用面面平行證線面平行，需先證兩個平面平行）題目4思路：要證a∥l，已知a∥α，a∥β，由線面平行性質(zhì)定理，過a作平面與α、β分別相交，得交線平行于a，再利用同一平面內(nèi)平行于同一直線的兩直線平行（或反證法）證明這兩條交線與l平行。題目4證明：過直線a作平面γ，使γ∩α=m?！遖∥α，a?γ，γ∩α=m，∴a∥m（線面平行性質(zhì)定理）。過直線a作平面δ，使δ∩β=n?！遖∥β，a?δ，δ∩β=n，∴a∥n（線面平行性質(zhì)定理）?！鄊∥n?！適?β，n?β，∴m∥β（線面平行判定定理）?！適?α，α∩β=l，∴m∥l（線面平行性質(zhì)定理）。又∵a∥m，∴a∥l。（三）綜合應(yīng)用題目5思路：要證平面AMN∥平面EFDB，需證平面AMN內(nèi)兩條相交直線分別平行于平面EFDB。易知MN∥EF（均為中點(diǎn)連線，平行于對應(yīng)對角線），AM∥BF（或BN）。題目5證明：∵M(jìn)、N分別是A?B?、A?D?中點(diǎn)，E、F分別是B?C?、C?D?中點(diǎn)，∴MN是△A?B?D?的中位線，EF是△B?C?D?的中位線?！郙N∥B?D?，EF∥B?D??！郙N∥EF?！逧F?平面EFDB，MN?平面EFDB，∴MN∥平面EFDB。連接NE（或AM與B?B交點(diǎn)）。連接AM，延長交B?B延長線于點(diǎn)P（或直接觀察）?！進(jìn)是A?B?中點(diǎn)，A?A∥B?B，∴AM與BB?相交，且△A?MA≌△MB?P，得A?A=PB?=BB?，即P與B重合？不，M為A?B?中點(diǎn)，A?B?=AB，MB?=1/2A?B?=1/2AB。在側(cè)面ABB?A?中，AM是從A到A?B?中點(diǎn)M的線段，BF是從B到C?D?中點(diǎn)F的線段。連接AB?，交A?B于O，O為AB?中點(diǎn)。連接MO，MO為△A?AB?中位線，MO∥A?A且MO=1/2A?A。F為C?D?中點(diǎn)，D?F=1/2C?D?=1/2AB，且D?F∥AB，BB?∥A?A∥D?F，故BF與MO平行且相等？（簡證）∵M(jìn)、E分別是A?B?、B?C?中點(diǎn)，∴ME∥A?C?且ME=1/2A?C?。同理，NF∥A?C?且NF=1/2A?C?，∴ME∥NF且ME=NF，四邊形MEFN為平行四邊形，∴MN∥EF（已證）。連接AN、BE?！逳是A?D?中點(diǎn)，AD?∥BC?，F(xiàn)是C?D?中點(diǎn)，BF是否平行AN？另證AM∥平面EFDB：∵M(jìn)是A?B?中點(diǎn)，E是B?C?中點(diǎn)，∴A?M=MB?=B?E=EC?。在正方形A?B?C?D?中，∠A?MB?=∠EB?B=90°，A?M=B?E，A?B?=BB?，∴△A?MB≌△B?EB？不。取AB中點(diǎn)Q，連接QN。AQ=1/2AB=MB?，且AQ∥MB?，∴四邊形AQMB?為平行四邊形，∴AM∥QB?。∵Q為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為C?D?中點(diǎn)，QB?∥DF且QB?=DF，∴四邊形QB?FD為平行四邊形，∴QB?∥DF?！郃M∥DF。∵DF?平面EFDB，AM?平面EFDB，∴AM∥平面EFDB?！進(jìn)N∩AM=M，MN、AM?平面AMN，∴平面AMN∥平面EFDB。四、總結(jié)與建議線面平行關(guān)系的判定與性質(zhì)，是立體幾何入門的重點(diǎn)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)面面平行、線面垂直等內(nèi)容的基礎(chǔ)。通過上述練習(xí)，我們不難發(fā)現(xiàn)：1.定義是本源：深刻理解定義，有助于從本質(zhì)上把握線面平行的含義。2.定理是工具：判定定理是“入場券”，告訴我們?nèi)绾巍白C明”線面平行；性質(zhì)定理是“通行證”，告訴我們線面平行后能“得到”什么。二者相輔