2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試：統(tǒng)計(jì)與決策應(yīng)用試題庫(kù)考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代表字母填在答題紙上。）1.設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)=μ，方差Var(X)=σ2(σ>0)，則根據(jù)切比雪夫不等式，對(duì)于任意ε>0，有P(|X-μ|≥ε)≤A.σ/ε2B.ε2/σ2C.σ2/εD.ε/σ22.在參數(shù)估計(jì)中，若用樣本均值α?來(lái)估計(jì)總體均值μ，當(dāng)樣本量n增大時(shí)，α?作為μ的估計(jì)量的（）。A.無(wú)偏性變好，有效性變差B.無(wú)偏性變差，有效性變好C.無(wú)偏性不變，有效性變好D.無(wú)偏性不變，有效性變差3.從正態(tài)分布N(μ,σ2)的總體中抽取容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，若要檢驗(yàn)H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?，在顯著性水平α下，拒絕域的臨界值與樣本量n的大?。ǎ.正相關(guān)B.負(fù)相關(guān)C.無(wú)關(guān)D.以上都不對(duì)4.在一元線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，若要檢驗(yàn)回歸系數(shù)β?是否顯著不為零，應(yīng)使用的假設(shè)檢驗(yàn)是（）。A.H?:β?=0vsH?:β?≠0B.H?:β?=0vsH?:β?≠0C.H?:σ2=0vsH?:σ2≠0D.H?:X=0vsH?:X≠05.設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)總體N(μ?,σ?2)和N(μ?,σ?2)，其中σ?2和σ?2已知。要檢驗(yàn)總體均值μ?是否顯著大于μ?(H?:μ?≤μ?vsH?:μ?>μ?)，應(yīng)使用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是（）。A.t=(α??-α??)/sqrt(σ?2/n?+σ?2/n?)B.z=(α??-α??)/sqrt(σ?2/n?)C.z=(α??-α??)/sqrt(σ?2/n?)D.z=(α??-α??)/sqrt((σ?2/n?+σ?2/n?)/2)6.在單因素方差分析中，若要檢驗(yàn)因素A對(duì)結(jié)果是否有顯著影響(H?:μ?=μ?=...=μkvsH?:至少有兩個(gè)μi不等)，需要比較的統(tǒng)計(jì)量是（）。A.樣本均值α?iB.組內(nèi)方差s2wC.組間方差s2b與組內(nèi)方差s2w的大小D.總體方差σ27.某時(shí)間序列數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，若要對(duì)其進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，最適合的簡(jiǎn)單預(yù)測(cè)方法是（）。A.移動(dòng)平均法B.指數(shù)平滑法C.一元線性回歸預(yù)測(cè)D.ARIMA模型8.某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，其單位成本分別為50元和80元，售價(jià)分別為100元和120元。若生產(chǎn)過程中A、B兩種產(chǎn)品的原料存在配比限制，無(wú)法隨意調(diào)整。這種決策問題屬于（）。A.確定型決策B.風(fēng)險(xiǎn)型決策C.不確定型決策D.多目標(biāo)決策9.在風(fēng)險(xiǎn)型決策中，若決策者傾向于規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，則其通常會(huì)選擇（）。A.期望收益最大的方案B.期望損失最小的方案C.最小最大后悔值方案D.期望后悔值最小的方案10.某綜合指數(shù)的計(jì)算公式為∑(p??q??)/∑(p??q??)，該指數(shù)屬于（）。A.拉斯貝爾指數(shù)B.派許指數(shù)C.馬埃指數(shù)D.平均指數(shù)二、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分。請(qǐng)將答案寫在答題紙上。）1.簡(jiǎn)述參數(shù)估計(jì)中點(diǎn)估計(jì)量和區(qū)間估計(jì)量的區(qū)別與聯(lián)系。2.解釋什么是假設(shè)檢驗(yàn)中的第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤，并說(shuō)明它們之間的關(guān)系。3.簡(jiǎn)述在一元線性回歸分析中，判斷回歸模型擬合優(yōu)度的主要指標(biāo)及其含義。4.什么是時(shí)間序列分析中的季節(jié)性因素？簡(jiǎn)述其識(shí)別和衡量的一般思路。三、計(jì)算題（每題10分，共30分。請(qǐng)寫出詳細(xì)的計(jì)算步驟和公式。）1.從正態(tài)分布N(μ,42)的總體中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為16的樣本，樣本均值為25。若要構(gòu)造一個(gè)μ的95%置信區(qū)間，請(qǐng)寫出置信區(qū)間的計(jì)算公式，并說(shuō)明公式中各部分的含義。（假設(shè)總體方差已知）2.某研究人員想檢驗(yàn)一種新藥是否比現(xiàn)有藥物更有效。假設(shè)現(xiàn)有藥物使患者康復(fù)的天數(shù)服從N(μ?,52)，新藥使患者康復(fù)的天數(shù)服從N(μ?,42)。隨機(jī)抽取12名患者使用新藥，平均康復(fù)天數(shù)為18天；另隨機(jī)抽取15名患者使用現(xiàn)有藥物，平均康復(fù)天數(shù)為20天。在α=0.05的顯著性水平下，檢驗(yàn)新藥是否顯著縮短了康復(fù)天數(shù)（H?:μ?≤μ?vsH?:μ?>μ?）。（假設(shè)兩總體方差已知）3.某公司經(jīng)理想要分析廣告投入（X，單位：萬(wàn)元）與銷售額（Y，單位：萬(wàn)元）之間的關(guān)系。隨機(jī)收集了8組數(shù)據(jù)，計(jì)算得到：∑X=40,∑Y=480,∑X2=220,∑Y2=30240,∑XY=2240。請(qǐng)建立Y關(guān)于X的一元線性回歸方程，并解釋回歸系數(shù)的含義。四、應(yīng)用題（共20分。請(qǐng)結(jié)合問題背景，選擇合適的統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行分析，并說(shuō)明分析過程和結(jié)論。）某零售商想了解其店鋪內(nèi)不同位置（A區(qū)、B區(qū)、C區(qū)）的電視廣告投入對(duì)電視銷量（單位：臺(tái)/月）的影響。在過去6個(gè)月內(nèi)，各區(qū)域每月的廣告投入和銷量數(shù)據(jù)如下表所示（單位：萬(wàn)元，臺(tái)）：區(qū)域|廣告投入X|銷量Y-----|----------|------A|3|15|4|18|5|20|6|22|5|21|4|19B|2|10|3|12|4|14|5|15|4|13|3|11C|1|5|2|7|3|9|4|11|3|8|2|6假設(shè)各區(qū)域的銷量Y均服從正態(tài)分布，且方差相同。請(qǐng)分析廣告投入對(duì)三個(gè)區(qū)域的電視銷量是否存在顯著影響？如果存在，請(qǐng)進(jìn)一步分析不同區(qū)域之間的銷量是否存在顯著差異？請(qǐng)寫出你的分析過程和主要結(jié)論。試卷答案一、單項(xiàng)選擇題1.C解析：切比雪夫不等式表述為P(|X-E(X)|≥ε)≤Var(X)/ε2，即P(|X-μ|≥ε)≤σ2/ε2。題目中σ2/ε2對(duì)應(yīng)選項(xiàng)C。2.C解析：樣本均值α?是總體均值μ的無(wú)偏估計(jì)量，其方差Var(α?)=σ2/n。隨著樣本量n增大，Var(α?)減小，根據(jù)有效性定義（方差越小越有效），α?的有效性變好。3.C解析：在正態(tài)總體下檢驗(yàn)μ的假設(shè)檢驗(yàn)，其拒絕域的臨界值（如z臨界值或t臨界值）是固定值，僅與顯著性水平α和自由度（與n有關(guān)）有關(guān)。當(dāng)n增大時(shí)，自由度增大，t臨界值絕對(duì)值減小，z臨界值減小，但臨界值本身與n大小無(wú)關(guān)。4.B解析：檢驗(yàn)回歸系數(shù)β?是否顯著不為零，目的是判斷自變量X對(duì)因變量Y是否存在線性影響，這直接關(guān)系到回歸方程的顯著性，故檢驗(yàn)H?:β?=0vsH?:β?≠0。5.D解析：這是在兩正態(tài)總體方差已知時(shí)，比較均值μ?與μ?的檢驗(yàn)，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是Z統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算公式為(樣本均值?-樣本均值?)/sqrt(σ?2/n?+σ?2/n?)，且檢驗(yàn)方向?yàn)棣?>μ?。6.C解析：?jiǎn)我蛩胤讲罘治龅暮诵氖潜容^組間變異和組內(nèi)變異。通過比較組間方差s2b與組內(nèi)方差s2w的大小關(guān)系（通常用F=s2b/s2w），來(lái)判斷因素A不同水平下均值是否存在顯著差異。7.C解析：對(duì)于呈現(xiàn)明顯線性增長(zhǎng)趨勢(shì)的時(shí)間序列，一元線性回歸模型可以較好地描述其趨勢(shì)，從而進(jìn)行預(yù)測(cè)。8.A解析：題目描述了生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的成本和售價(jià)，但明確指出“生產(chǎn)過程中A、B兩種產(chǎn)品的原料存在配比限制，無(wú)法隨意調(diào)整”，這表明決策變量（如生產(chǎn)多少A產(chǎn)品，多少B產(chǎn)品）受到約束，屬于確定型決策問題。9.B解析：規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的決策者傾向于避免最壞的結(jié)果發(fā)生，因此會(huì)選擇期望損失最小的方案。10.A解析：拉斯貝爾指數(shù)是以基期質(zhì)量（或數(shù)量）為權(quán)數(shù)計(jì)算的綜合指數(shù)，其公式為∑(p??q??)/∑(p??q??)。二、簡(jiǎn)答題1.答：點(diǎn)估計(jì)是用樣本的某個(gè)統(tǒng)計(jì)量（如樣本均值、樣本方差）來(lái)估計(jì)總體的未知參數(shù)，得到的是一個(gè)具體的數(shù)值。區(qū)間估計(jì)是在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出一個(gè)區(qū)間，并希望該區(qū)間以一定的概率包含真實(shí)的總體參數(shù)，這個(gè)區(qū)間稱為置信區(qū)間。聯(lián)系在于：點(diǎn)估計(jì)是區(qū)間估計(jì)的基礎(chǔ)，區(qū)間估計(jì)依賴于點(diǎn)估計(jì)的精度（如標(biāo)準(zhǔn)誤）和置信水平。2.答：第一類錯(cuò)誤（α錯(cuò)誤）是在原假設(shè)H?為真時(shí)，錯(cuò)誤地拒絕了H?。犯第一類錯(cuò)誤的概率不超過顯著性水平α。第二類錯(cuò)誤（β錯(cuò)誤）是在原假設(shè)H?為假時(shí)，錯(cuò)誤地接受了H?（或未能拒絕H?）。犯第二類錯(cuò)誤的概率為β。兩者關(guān)系是：在樣本量固定的情況下，減小α通常會(huì)導(dǎo)致β增大，反之亦然。通常需要在兩者之間進(jìn)行權(quán)衡。3.答：判斷回歸模型擬合優(yōu)度的主要指標(biāo)是判定系數(shù)R2（或其調(diào)整后的R2adj）。R2表示因變量的總變異中，能夠被回歸模型解釋的變異所占的比例。R2的取值在0到1之間，R2越接近1，說(shuō)明模型的擬合優(yōu)度越好，即模型對(duì)數(shù)據(jù)的解釋能力越強(qiáng)。4.答：時(shí)間序列中的季節(jié)性因素是指數(shù)據(jù)在一年內(nèi)由于季節(jié)性原因（如氣候、節(jié)假日等）而呈現(xiàn)出的周期性波動(dòng)。識(shí)別和衡量的一般思路是：觀察時(shí)間序列圖，看是否存在規(guī)律性的年度重復(fù)模式；計(jì)算季節(jié)性指數(shù)（如移動(dòng)平均法剔除趨勢(shì)和隨機(jī)波動(dòng)后計(jì)算各季度/月份的平均值與總平均值的比例），或使用包含季節(jié)虛擬變量的回歸模型來(lái)分離季節(jié)效應(yīng)。三、計(jì)算題1.答：置信區(qū)間的計(jì)算公式為：μ∈(α?-z_(α/2)*σ/√n,α?+z_(α/2)*σ/√n)。其中：-α?是樣本均值，題目中給出為25。-z_(α/2)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的(1-α/2)分位點(diǎn)。對(duì)于95%置信區(qū)間，α=0.05，α/2=0.025，查表得z_(0.025)=1.96。-σ是總體標(biāo)準(zhǔn)差，題目中給出為4，故σ2=42=16。-n是樣本容量，題目中給出為16。-√n是樣本量的平方根，√16=4。將各值代入公式：(25-1.96*4/4,25+1.96*4/4)=(25-1.96,25+1.96)=(23.04,26.96)。因此，μ的95%置信區(qū)間為(23.04,26.96)。公式中，α?是樣本均值，z_(α/2)是置信水平對(duì)應(yīng)的臨界值，σ是總體標(biāo)準(zhǔn)差，√n是樣本量的平方根，整個(gè)公式體現(xiàn)了用樣本統(tǒng)計(jì)量加減一個(gè)與置信水平相關(guān)的臨界值乘以標(biāo)準(zhǔn)誤來(lái)構(gòu)造置信區(qū)間的思想。2.答：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：z=(α??-α??)/sqrt(σ?2/n?+σ?2/n?)計(jì)算樣本均值差：(18-20)=-2計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤：sqrt(52/12+42/15)=sqrt(25/12+16/15)=sqrt(4.1667+1.0667)=sqrt(5.2334)≈2.287計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：z=-2/2.287≈-0.873查臨界值：α=0.05，檢驗(yàn)方向?yàn)棣?>μ?，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得z_(0.05)=1.645。作出決策：由于|z|=0.873<1.645，未落入拒絕域。結(jié)論：在α=0.05的顯著性水平下，沒有足夠的證據(jù)支持新藥顯著縮短了康復(fù)天數(shù)（不能拒絕H?）。解析思路：這是兩正態(tài)總體均值差檢驗(yàn)（方差已知）的問題。首先根據(jù)公式計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量z的值，然后根據(jù)顯著性水平和檢驗(yàn)方向查找臨界值，最后比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與臨界值的大小關(guān)系做出統(tǒng)計(jì)決策。3.答：計(jì)算回歸系數(shù)：-b?=[n∑XY-(∑X)(∑Y)]/[n∑X2-(∑X)2]=[8*2240-40*480]/[8*220-402]=[17920-19200]/[1760-1600]=-1280/160=-8-b?=α?Y-b?(α?X)=(480/8)-(-8)*(40/8)=60+8*5=60+40=100回歸方程：Y?=100-8X解析：根據(jù)最小二乘法原理計(jì)算回歸系數(shù)b?和截距b?。b?表示當(dāng)廣告投入X每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)計(jì)銷量Y平均變化的量（在此為減少8臺(tái)）。b?表示當(dāng)廣告投入X為0時(shí)，預(yù)計(jì)的銷量Y值（在此為100臺(tái)，但實(shí)際意義可能有限）。建立回歸方程后，即可用于預(yù)測(cè)或解釋變量間的關(guān)系。四、應(yīng)用題答：要分析廣告投入對(duì)電視銷量是否存在顯著影響以及不同區(qū)域銷量是否存在顯著差異，需要進(jìn)行方差分析（ANOVA）。1.廣告投入對(duì)銷量的影響：-提出假設(shè)：對(duì)于三個(gè)區(qū)域整體，廣告投入X對(duì)銷量Y沒有顯著影響。H?:β_A=β_B=β_C=0（線性回歸系數(shù)同時(shí)為零）。-計(jì)算各區(qū)域數(shù)據(jù)：A區(qū)：X_A=4.5,Y_A=(15+18+20+22+21+19)/6=19.5；B區(qū)：X_B=3.5,Y_B=(10+12+14+15+13+11)/6=12.0；C區(qū)：X_C=2.5,Y_C=(5+7+9+11+8+6)/6=7.5。-計(jì)算整體均值：X?=(40/24),Y?=(480/24)=20。-計(jì)算平方和：∑X2_A=108.5,∑Y2_A=731,∑X_AY_A=427.5；∑X2_B=56.5,∑Y2_B=736,∑X_BY_B=364.0；∑X2_C=35.5,∑Y2_C=437,∑X_CY_B=241.0。-計(jì)算各區(qū)域回歸平方和SSR：A區(qū)SSR_A=6*19.52-4.5*427.5=2295-1923.75=371.25；B區(qū)SSR_B=6*12.02-3.5*364.0=864-1274=-410；C區(qū)SSR_C=6*7.52-2.5*241.0=337.5-602.5=-265。-計(jì)算總回歸平方和SST=SSR_A+SSR_B+SSR_C=371.25-410-265=-303.75。注意這里計(jì)算出的總平方和（SST=∑Y2-∑Y2?）與各區(qū)域回歸平方和之和不符，可能存在計(jì)算或模型設(shè)定問題。更規(guī)范的方法是使用ANOVA表格計(jì)算。-更規(guī)范的計(jì)算（使用ANOVA表框架思路，具體數(shù)值需精確計(jì)算或使用統(tǒng)計(jì)軟件）：-計(jì)算各區(qū)域離差平方和：SST=∑Y2-nY?2=30240-24*202=30240-9600=20640。-計(jì)算總均值平方和：SST=20640。自由度df_T=24-1=23。-計(jì)算廣告投入的離差平方和：SS(X)=∑6(X?i-X?)2=6[(4.5-3.5)2+(3.5-2.5)2]=6[1+1]=12。自由度df_X=3-1=2。-計(jì)算誤差平方和：SSE=SST-SSR(從X)=20640-[SSR_A+SSR_B+SSR_C]。這里需要精確計(jì)算各區(qū)域回歸平方和。-計(jì)算誤差均方：MSE=SSE/df_E。-計(jì)算廣告投入的F統(tǒng)計(jì)量：F=MS(X)/MSE=[SS(X)/df_X]/MSE。-假設(shè)計(jì)算得到F值，查F分布表得F_(α,df_X,df_E)。若F>F_(α,df_X,df_E)，則拒絕H?，認(rèn)為廣告投入對(duì)銷量有顯著影響。2.不同區(qū)域銷量是否存在顯著差異：-在確認(rèn)廣告投入對(duì)銷量有顯著影響后（或直接檢驗(yàn)），可進(jìn)行區(qū)域間的方差分析，檢驗(yàn)區(qū)域均值μ_A,μ_B,μ_C是否相等。-提出假設(shè)：三個(gè)區(qū)域的銷量均值相同。H?:μ_A=μ_B=