2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽全真模擬試卷_第1頁(yè)
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2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽全真模擬試卷考試時(shí)間:120分鐘滿分:150分一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)已知非零實(shí)數(shù)(a,b)滿足(a^2+4b^2=4ab),則(\left(\frac{a}\right)^{2025}+\left(\frac{a}\right)^{2025})的值為()A.(2^{2025})B.2C.0D.(-2)若關(guān)于(x)的方程(x^2-(m+2)x+m^2-3=0)的兩個(gè)實(shí)根(x_1,x_2)滿足(x_1^2+x_2^2=5),則(m)的值為()A.0B.2C.(-1)D.1如圖,在矩形(ABCD)中,(AB=6),(AD=8),點(diǎn)(E)是邊(BC)上一點(diǎn),將(\triangleABE)沿(AE)折疊,點(diǎn)(B)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(B')恰好落在對(duì)角線(AC)上,則(BE)的長(zhǎng)為()A.3B.(\frac{9}{4})C.(\frac{5}{2})D.4已知(a,b,c)是正整數(shù),且(a+b+c=2025),(a\leqb\leqc),則(abc)的最大值為()A.(\left(\frac{2025}{3}\right)^3)B.(675\times675\times675)C.(674\times675\times676)D.(673\times676\times676)若函數(shù)(y=|x^2-4x+3|-kx)有且僅有三個(gè)零點(diǎn),則(k)的值為()A.(-2)B.(2\sqrt{2}-4)C.(4-2\sqrt{2})D.(2)如圖,(\triangleABC)內(nèi)接于(\odotO),(AB=AC),(\angleBAC=30^\circ),(AD)是直徑,則(\angleBDC)的度數(shù)為()A.(15^\circ)B.(22.5^\circ)C.(30^\circ)D.(37.5^\circ)已知正整數(shù)(n)滿足(\sqrt{n}+\sqrt{n+2025})是整數(shù),則(n)的最小值為()A.0B.25C.100D.225甲、乙兩人從同一地點(diǎn)出發(fā),沿同一直線運(yùn)動(dòng),其速度(v)與時(shí)間(t)的函數(shù)關(guān)系如圖所示(甲為折線(OAB),乙為線段(OC)),則兩人相遇的次數(shù)為()A.1B.2C.3D.4二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)計(jì)算:(\frac{2025^3-2\times2025^2-2023}{2025^3+2025^2-2026}=)__________.已知實(shí)數(shù)(x,y)滿足(x+y=5),(xy=3),則(x^4+y^4=)__________.如圖,在(\triangleABC)中,(AB=5),(AC=7),(BC=8),點(diǎn)(D,E)分別在邊(AB,AC)上,且(DE\parallelBC),(\triangleADE)的面積是(\triangleABC)面積的(\frac{4}{9}),則(DE=)__________.若關(guān)于(x)的不等式組(\begin{cases}x-a>0\3-2x>-1\end{cases})的整數(shù)解共有3個(gè),則(a)的取值范圍是__________.從1,2,3,…,2025這2025個(gè)正整數(shù)中,隨機(jī)取出一個(gè)數(shù),該數(shù)是3的倍數(shù)或5的倍數(shù)的概率為_(kāi)_________.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)(A(1,0)),(B(0,1)),(C(-1,0)),(D(0,-1)),動(dòng)點(diǎn)(P)滿足(PA+PC=4),則(PB+PD)的最大值為_(kāi)_________.三、解答題(本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)(12分)已知關(guān)于(x)的方程(\frac{2x+a}{x-1}=1)的解是正數(shù),且關(guān)于(y)的不等式組(\begin{cases}y-a\geq0\3-2y>-1\end{cases})有解,求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍.(12分)如圖,在平行四邊形(ABCD)中,(E)是(AD)的中點(diǎn),連接(BE)并延長(zhǎng)交(CD)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)(F),連接(BD,AF).(1)求證:四邊形(ABDF)是平行四邊形;(2)若(AB=2),(\angleADB=90^\circ),求四邊形(ABDF)的面積.(14分)某商店銷(xiāo)售一種成本為每件30元的商品,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),該商品每天的銷(xiāo)售量(y)(件)與銷(xiāo)售單價(jià)(x)(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系:(y=-2x+160)((30\leqx\leq60)).(1)設(shè)每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為(w)元,求(w)與(x)的函數(shù)關(guān)系式;(2)若該商店每天的固定成本為200元,要使每天的凈利潤(rùn)不低于1000元,求銷(xiāo)售單價(jià)(x)的取值范圍;(3)在(2)的條件下,當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí),每天的凈利潤(rùn)最大?最大凈利潤(rùn)是多少?(14分)如圖,(\triangleABC)中,(\angleC=90^\circ),(AC=6),(BC=8),點(diǎn)(P)從點(diǎn)(A)出發(fā)沿(AC)方向向點(diǎn)(C)勻速運(yùn)動(dòng),速度為1個(gè)單位/秒;同時(shí)點(diǎn)(Q)從點(diǎn)(C)出發(fā)沿(CB)方向向點(diǎn)(B)勻速運(yùn)動(dòng),速度為2個(gè)單位/秒.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(t)秒((0<t<4)).(1)用含(t)的代數(shù)式表示線段(PC)和(CQ)的長(zhǎng)度;(2)當(dāng)(t)為何值時(shí),(\trianglePCQ)與(\triangleACB)相似?(3)在點(diǎn)(P,Q)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,線段(PQ)的長(zhǎng)度是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,說(shuō)明理由.(14分)已知拋物線(y=ax^2+bx+c)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(A(-1,0)),(B(3,0)),(C(0,3)).(1)求拋物線的解析式;(2)點(diǎn)(D)是拋物線上一點(diǎn),且位于第一象限,連接(AD,CD),若(\triangleACD)的面積為6,求點(diǎn)(D)的坐標(biāo);(3)點(diǎn)(E)在拋物線的對(duì)稱軸上,點(diǎn)(F)在拋物線上,是否存在以(A,B,E,F)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)(F)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.(14分)(1)如圖1,在正方形(ABCD)中,點(diǎn)(E,F)分別在邊(AB,AD)上,且(AE=AF),連接(CE,BF)交于點(diǎn)(G),求證:(CE\perpBF);(2)如圖2,在矩形(ABCD)中,(AB=2,AD=3),點(diǎn)(E)在邊(AB)上,(AE=1),點(diǎn)(F)在邊(AD)上,且(AF=t)((0<t<3)),連接(CE,BF)交于點(diǎn)(G),當(dāng)(CG=FG)時(shí),求(t)的值;(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)(P)是線段(BF)上一動(dòng)點(diǎn),連接(PE,PC),求(PE+PC)的最小值.參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(僅供閱卷參考)一、選擇題B2.D3.A4.C5.C6.D7.D8.B二、填空題(\frac{2023}{2026})10.52711.(\frac{16}{3})12.(-2\leqa<-1)13.(\frac{107}{225})14.(2\sqrt{13})三、解答題解:方程(\frac{2x+a}{x-1}=1)去分母得(2x+a=x-1),解得(x=-a-1).由題意得(x>0)且(x\neq1),即(-a-1>0)且(-a-1\neq1),解得(a<-1)且(a\neq-2).不等式組(\begin{cases}y\geqa\y<2\end{cases})有解,故(a<2).綜上,(a)的取值范圍是(a<-1)且(a\neq-2).(1)證明:(\becauseE)是(AD)中點(diǎn),(\thereforeAE=DE).(\becauseAB\parallelCD),(\therefore\angleABE=\angleDFE),(\angleBAE=\angleFDE),(\therefore\triangleABE\cong\triangleDFE)(AAS),(\thereforeAB=DF).又(\becauseAB\parallelDF),(\therefore)四邊形(ABDF)是平行四邊形.(2)解:(\becauseAB=2),(\angleADB=90^\circ),(E)是(AD)中點(diǎn),(\thereforeBE=AE=DE).設(shè)(AD=2x),則(AE=x),在(\triangleABD)中,(AB^2=AD^2+BD^2),即(4=4x^2+BD^2).又(\because)四邊形(ABDF)是平行四邊形,(\thereforeBD=AF),面積(S=AD\timesBD=2x\timesBD).解得(x=1),(BD=\sqrt{3}),(\thereforeS=2\sqrt{3}).(1)(w=(x-30)(-2x+160)=-2x^2+220x-4800).(2)凈利潤(rùn)(w'=-2x^2+220x-4800-200=-2x^2+220x-5000),令(w'\geq1000),即(-2x^2+220x-6000\geq0),解得(40\leqx\leq60).(3)(w'=-2(x-55)^2+1050),當(dāng)(x=55)時(shí),最大凈利潤(rùn)為1050元.(1)(PC=6-t),(CQ=2t).(2)當(dāng)(\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{BC})時(shí),(\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{8}),解得(t=\frac{12}{5});當(dāng)(\frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{AC})時(shí),(\frac{6-t}{8}=\frac{2t}{6}),解得(t=\frac{18}{11}).(3)(PQ^2=(6-t)^2+(2t)^2=5t^2-12t+36),當(dāng)(t=\frac{6}{5})時(shí),(PQ_{\text{min}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}).(1)設(shè)拋物線解析式為(y=a(x+1)(x-3)),代入(C(0,3))得(a=-1),(\thereforey=-x^2+2x+3).(2)設(shè)(D(m,-m^2+2m+3)),(\triangleACD)面積(S=\frac{1}{2}\times4\times(-m^2+2m+3)-\frac{1}{2}\times1\times3-\frac{1}{2}\times3\timesm=6),解得(m=2)((m=0)舍),(\thereforeD(2,3)).(3)對(duì)稱軸為(x=1),設(shè)(E(1,n)),(F(p,q)).①以(AB)為邊:(F(1+2,n))或(F(1-2,n)),解得(F(3,0))(舍)或(F(-1,0))(舍);②以(AB)為對(duì)角線:(F(1,4)).綜上,(F(1,4)).(1)證明:(\becauseAE=AF),(AB=AD),(\angleBAF=\angleDAE),(\therefore\triangleABF\cong\triangleADE)(SAS),(\therefore\angleABF=\angleADE),又(\angleADE+\angleCED=90^\circ),(\therefore\angleABF+\angleCED=90^\circ),(\thereforeCE\perpBF).(2)解:建立坐標(biāo)系,(C(2,3)),(E(1,0)),(F(0,t)),直線(BF:y=-\f

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