2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽幾何軌跡試卷一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分）已知點(diǎn)P在Rt△ABC的斜邊AB上運(yùn)動(dòng)，且滿足PC=2，則點(diǎn)P的軌跡是（）A.線段ABB.以C為圓心，2為半徑的圓C.以C為圓心，2為半徑的圓在△ABC內(nèi)部的弧D.以AB中點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓解答：C解析：根據(jù)圓的定義，到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓。由于點(diǎn)P在斜邊AB上運(yùn)動(dòng)，且PC=2，故軌跡為以C為圓心、2為半徑的圓與線段AB的交點(diǎn)軌跡。但需考慮Rt△ABC的邊長(zhǎng)限制，若AC或BC小于2，則軌跡可能為圓弧。題目未給出具體邊長(zhǎng)，需根據(jù)幾何性質(zhì)判斷：當(dāng)PC=2為定長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡必然是圓的一部分，且受限于AB線段，因此選C。在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)，連接AE，作DF⊥AE于F，則點(diǎn)F的軌跡是（）A.線段B.圓弧C.橢圓D.拋物線解答：B解析：連接AF、DF，由于∠AFD=90°，根據(jù)圓周角定理，點(diǎn)F在以AD為直徑的圓上。AD=3，故圓心為AD中點(diǎn)O（坐標(biāo)設(shè)為(1.5,0)），半徑1.5。又因?yàn)镋在BC上移動(dòng)，F(xiàn)的軌跡為該圓在矩形內(nèi)部的部分，即圓弧，因此選B。已知定線段AB=6，動(dòng)點(diǎn)P滿足∠APB=60°，則點(diǎn)P的軌跡是（）A.以AB為弦的優(yōu)弧（不含A、B）B.以AB為弦的劣弧（不含A、B）C.以AB為直徑的圓（不含A、B）D.兩條射線解答：A解析：根據(jù)圓周角定理，同弧所對(duì)圓周角相等?！螦PB=60°，則點(diǎn)P在以AB為弦的圓上，且圓心角為120°。由于60°圓周角對(duì)應(yīng)的弧為劣弧AB，故點(diǎn)P的軌跡為優(yōu)弧AB（不含端點(diǎn)），因此選A。點(diǎn)P(x,y)滿足x2+y2=4，且x≥0，則點(diǎn)P的軌跡是（）A.圓B.半圓C.直線D.射線解答：B解析：方程x2+y2=4表示以原點(diǎn)為圓心、2為半徑的圓，x≥0的條件限制了軌跡為右半圓（含y軸上的點(diǎn)），因此選B。在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,0)，B(4,0)，點(diǎn)C在y軸上移動(dòng)，連接AC、BC，則△ABC外心的軌跡是（）A.直線y=2B.拋物線y=-x2+4xC.拋物線y=-(1/8)x2+2D.線段解答：C解析：設(shè)C(0,c)，△ABC外心為三邊垂直平分線交點(diǎn)。AB中點(diǎn)為(2,0)，AB垂直平分線為x=2；AC中點(diǎn)為(0,c/2)，AC斜率不存在，垂直平分線為水平線y=c/2。外心坐標(biāo)為(2,c/2)，消去參數(shù)c得y=(c/2)，而c可由外心到A的距離等于到B的距離推導(dǎo)：√(22+(c/2)2)=√((2-4)2+(c/2)2)，化簡(jiǎn)得軌跡方程y=-(1/8)x2+2，因此選C。二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）已知點(diǎn)A(1,0)，B(-1,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=2PB，則點(diǎn)P的軌跡方程為________。解答：3x2+3y2+10x+3=0解析：設(shè)P(x,y)，由PA=2PB得√[(x-1)2+y2]=2√[(x+1)2+y2]，兩邊平方化簡(jiǎn)：(x-1)2+y2=4[(x+1)2+y2]→x2-2x+1+y2=4x2+8x+4+4y2→3x2+3y2+10x+3=0。在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且到AC、BC的距離之和為2，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為________。解答：5√2/2解析：建立坐標(biāo)系，C(0,0)，A(0,3)，B(4,0)。設(shè)P(x,y)，則y+x=2（x≥0,y≥0），軌跡為線段x+y=2在第一象限內(nèi)的部分，與坐標(biāo)軸交點(diǎn)(0,2)、(2,0)，長(zhǎng)度為√[(2-0)2+(0-2)2]=√8=2√2。但需考慮△ABC邊界：當(dāng)x+y=2與AB交于點(diǎn)(4/5,6/5)，故實(shí)際軌跡為從(0,2)到(4/5,6/5)的線段，長(zhǎng)度為√[(4/5)2+(6/5-2)2]=√[(16/25)+(16/25)]=√(32/25)=4√2/5。（注：原答案修正為考慮三角形邊界后的正確計(jì)算）點(diǎn)P在半徑為5的⊙O上，點(diǎn)A(3,0)，則線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程為________。解答：(x-1.5)2+y2=6.25解析：設(shè)M(x,y)，P(a,b)，則x=(a+3)/2，y=b/2→a=2x-3，b=2y。由于P在⊙O上，a2+b2=25，代入得(2x-3)2+(2y)2=25→4(x-1.5)2+4y2=25→(x-1.5)2+y2=6.25。已知等邊△ABC邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P在其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和為4，則點(diǎn)P的軌跡是________（填“曲線類型”）。解答：橢圓解析：在三角形內(nèi)部到三頂點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)定值大于三角形周長(zhǎng)一半時(shí)，軌跡為橢圓。等邊△ABC周長(zhǎng)的一半為3，4>3，故軌跡為橢圓。在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y)滿足|x|+|y|=2，則點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形面積為________。解答：8解析：|x|+|y|=2表示以(2,0),(0,2),(-2,0),(0,-2)為頂點(diǎn)的正方形，邊長(zhǎng)為√[(2-0)2+(0-2)2]=2√2，面積為(2√2)2/2=8（或直接用菱形面積公式：對(duì)角線乘積的一半，4×4/2=8）。三、解答題（共3小題，每小題20分，滿分60分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)P在斜邊AB上移動(dòng)，過P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，連接DE，求線段DE中點(diǎn)M的軌跡。解答：解析：（1）建立坐標(biāo)系：C(0,0)，A(0,6)，B(8,0)，AB方程為3x+4y=24。（2）設(shè)P(x?,y?)，則D(0,y?)，E(x?,0)，DE中點(diǎn)M(x?/2,y?/2)。（3）由于P在AB上，3x?+4y?=24，設(shè)M(x,y)，則x?=2x，y?=2y，代入得3(2x)+4(2y)=24→3x+4y=12。（4）P在線段AB上，故x?∈[0,8]，y?∈[0,6]，則x∈[0,4]，y∈[0,3]，因此M的軌跡為線段3x+4y=12（0≤x≤4，0≤y≤3）。已知⊙O半徑為5，點(diǎn)A(3,0)，點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)，求線段PA的垂直平分線與直線OP的交點(diǎn)Q的軌跡方程。解答：解析：（1）設(shè)Q(x,y)，P(a,b)，則OP方程為y=(b/a)x（a≠0）。（2）PA中點(diǎn)為((a+3)/2,b/2)，PA斜率為(b-0)/(a-3)=b/(a-3)，故PA垂直平分線斜率為-(a-3)/b，方程為：y-b/2=[-(a-3)/b][x-(a+3)/2]（3）Q為垂直平分線與OP交點(diǎn)，聯(lián)立y=(b/a)x與上述方程，化簡(jiǎn)得：(b/a)x-b/2=[-(a-3)/b](x-(a+3)/2)兩邊乘2ab消分母，整理得a2+b2-3a=2ax-3x（4）由于P在⊙O上，a2+b2=25，代入得25-3a=2ax-3x→25=x(2a+3)-3a（5）又Q在OP上，a=(x·OP)/√(x2+y2)，但OP=5，故a=5x/√(x2+y2)，代入上式最終化簡(jiǎn)得x2+y2-3x-25/4=0，即(x-1.5)2+y2=(√34/2)2，軌跡為圓。如圖，在正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E在邊BC上從B向C運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），連接AE，作CF⊥AE于F，連接DF，求點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度。解答：解析：（1）建立坐標(biāo)系：A(0,0)，B(4,0)，C(4,4)，D(0,4)，E(4,t)（0<t<4）。（2）AE方程：y=(t/4)x，CF⊥AE，斜率為-4/t，CF方程：y-4=(-4/t)(x-4)。（3）聯(lián)立AE與CF方程求F坐標(biāo)：(t/4)x-4=(-4/t)(x-4)解得x=(16+4t2)/(t2+16)，y=t(16+4t2)/(4(t2+16))=t(4+t2)/(t2+16)（4）消參數(shù)t，令x=4(4+t2)/(t2+16)，y=t(4+t2)/(t2+16)，則y=(t/4)x，t=4y/x，代入x表達(dá)式化簡(jiǎn)得：x=4(4+(16y2/x2))/(16y2/x2+16)→x3+xy2-4x2-4y2=0→(x2+y2)(x-4)=0（5）x2+y2=0（舍）或x=4，故F軌跡為線段x=4（0<y<4），長(zhǎng)度為4。四、附加題（共1小題，滿分20分）已知定圓⊙O半徑為R，定點(diǎn)A在⊙O內(nèi)，OA=d（d<R），點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)，M為AP中點(diǎn)，過M作AP的垂線交OP于N，求點(diǎn)N的軌跡方程，并判斷軌跡類型。解答：解析：（1）建立坐標(biāo)系：O(0,0)，A(d,0)，P(Rcosθ,Rsinθ)，M為AP中點(diǎn)：((d+Rcosθ)/2,(Rsinθ)/2)。（2）AP斜率k1=(Rsinθ-0)/(Rcosθ-d)=Rsinθ/(Rcosθ-d)，故MN斜率k2=(d-Rcosθ)/(Rsinθ)。（3）MN方程：y-(Rsinθ)/2=[(d-Rcosθ)/(Rsinθ)][x-(d+Rcosθ)/2]（4）OP方程：y=(tanθ)x，聯(lián)立MN方程求N坐標(biāo)，化簡(jiǎn)得：x=(R2+d2)/2d，y=(R2+d2)tanθ/(2d)（5）消參數(shù)θ，得x=(R2+d2)/2d（常數(shù)），故軌跡為垂直于OA的直線x=(R2+d2)/2d，類型為直線。結(jié)論：點(diǎn)N的軌跡是垂直于OA的定直線，方程為x=(R2+d2)/2d。試卷設(shè)計(jì)說明：題型覆蓋：包含選擇、填空、解答、附加題，全面考察軌跡概念、方