2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國(guó)際混合現(xiàn)實(shí)藝術(shù)創(chuàng)新組織競(jìng)賽素養(yǎng)試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）在混合現(xiàn)實(shí)（MR）環(huán)境中，一個(gè)虛擬正方體的棱長(zhǎng)為3cm，若將其按1:2的比例進(jìn)行縮放后投射到物理空間，新正方體的表面積為（）A.13.5cm2B.27cm2C.54cm2D.108cm2某國(guó)際藝術(shù)展采用MR技術(shù)展示幾何圖形，其中動(dòng)態(tài)圖形的變換規(guī)律滿足函數(shù)y=|x-2|+1，該函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（）A.1B.2C.3D.4創(chuàng)新競(jìng)賽組委會(huì)為參賽團(tuán)隊(duì)分配編號(hào)，規(guī)則為：前兩位是國(guó)家代碼（如CN代表中國(guó)），中間三位是年級(jí)班級(jí)（如702代表七年級(jí)二班），后四位是隨機(jī)數(shù)字。若每個(gè)部分的編碼均不重復(fù)，最多可容納的參賽團(tuán)隊(duì)數(shù)為（）A.26×26×9×10×10×10?B.100×900×10?C.262×9×102×10?D.無(wú)法計(jì)算在MR藝術(shù)裝置中，一個(gè)虛擬圓形光斑的半徑隨時(shí)間變化規(guī)律為r(t)=2t+1（t單位：秒，r單位：分米），則第3秒時(shí)光斑面積的瞬時(shí)變化率為（）A.8πdm2/sB.10πdm2/sC.12πdm2/sD.14πdm2/s某跨校合作項(xiàng)目需要將12名學(xué)生平均分成3組，每組4人，分別負(fù)責(zé)數(shù)學(xué)建模、MR技術(shù)開(kāi)發(fā)和藝術(shù)設(shè)計(jì)，不同的分組方案有（）A.C???×C??×C??B.C???×C??×C??÷3!C.12!÷(4!3×3!)D.12!÷(4!3)如圖1（虛擬MR場(chǎng)景截圖），在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AB為直徑的虛擬半圓與AC交于點(diǎn)D，則陰影部分（虛擬投影區(qū)域）的面積為（）A.2π-6B.(25π/8)-6C.(25π/8)-12D.(25π/4)-6國(guó)際競(jìng)賽評(píng)分系統(tǒng)采用加權(quán)平均制：數(shù)學(xué)邏輯（40%）、技術(shù)實(shí)現(xiàn)（30%）、藝術(shù)創(chuàng)意（20%）、團(tuán)隊(duì)協(xié)作（10%）。某團(tuán)隊(duì)得分分別為85、90、80、95，則最終得分為（）A.85.5B.86.5C.87.5D.88.5在MR坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2,3,4)繞z軸旋轉(zhuǎn)90°后的坐標(biāo)為（）A.(-3,2,4)B.(3,-2,4)C.(-2,-3,4)D.(3,2,-4)某藝術(shù)創(chuàng)新作品的成本函數(shù)為C(x)=2000+50x+0.1x2（x為作品數(shù)量），銷(xiāo)售收入函數(shù)為R(x)=200x-0.2x2，則最大利潤(rùn)對(duì)應(yīng)的產(chǎn)量為（）A.200件B.250件C.300件D.350件表1為5個(gè)國(guó)家參賽隊(duì)伍的MR設(shè)備使用率數(shù)據(jù)，其中方差最小的國(guó)家是（）|國(guó)家|使用率（%）||||||---|---|---|---|---|---||A|85|90|95|80|90||B|88|89|90|91|92||C|70|80|90|100|100||D|85|85|85|85|85||E|60|90|90|90|110|A.AB.BC.DD.E二、填空題（共5題，每題6分，共30分）在虛擬三維坐標(biāo)系中，平面3x+4y-5z=15與坐標(biāo)平面圍成的四面體體積為_(kāi)_____。某MR藝術(shù)展每天9:00-17:00開(kāi)放，每小時(shí)進(jìn)入人數(shù)服從λ=20的泊松分布，則10:00-11:00期間無(wú)人進(jìn)入的概率為_(kāi)_____（保留3位小數(shù)）。如圖2（MR動(dòng)態(tài)圖形），正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，建立平面直角坐標(biāo)系后，點(diǎn)A(0,0)，點(diǎn)B(2,0)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)_____。國(guó)際團(tuán)隊(duì)協(xié)作中，6名成員分別來(lái)自3個(gè)不同國(guó)家，每個(gè)國(guó)家2人，現(xiàn)從中任選3人，至少有2人來(lái)自同一國(guó)家的概率為_(kāi)_____。某MR數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的服務(wù)器IP地址為192.168.a.b，其中a,b為1-255的整數(shù)，且a+b≤200，則符合條件的IP地址有______個(gè)。三、解答題（共5題，共70分）（14分）某混合現(xiàn)實(shí)藝術(shù)裝置由兩個(gè)部分組成：（1）底部為半徑1米的圓柱形容器，內(nèi)部裝有高度為0.8米的透明液體（折射率n=1.5）；（2）頂部為MR投影儀，能在液體表面投射半徑為0.5米的圓形光斑。當(dāng)光斑中心與容器中心重合時(shí)，求：（1）光斑在液體底部的虛擬投影半徑（光的折射定律：n?sinθ?=n?sinθ?，空氣折射率n?=1）；（2）若光斑以0.1m/s的速度沿容器直徑移動(dòng)，求投影光斑中心的移動(dòng)速度。（14分）國(guó)際競(jìng)賽組委會(huì)計(jì)劃設(shè)計(jì)一個(gè)“數(shù)學(xué)+藝術(shù)”主題的MR展廳，展廳平面圖為長(zhǎng)方形ABCD（AB=10m，BC=6m），需在內(nèi)部劃分三個(gè)區(qū)域：圓形互動(dòng)區(qū)（半徑rm）矩形展示區(qū)（長(zhǎng)am，寬bm）三角形休息區(qū)（直角邊cm，dm）要求：①圓形區(qū)域與矩形區(qū)域相切；②三角形區(qū)域面積為8m2；③所有區(qū)域面積之和不超過(guò)展廳面積的70%。（1）用含r的代數(shù)式表示a,b之間的關(guān)系；（2）若r=1，求a+b的最小值。（14分）在跨文化MR協(xié)作項(xiàng)目中，團(tuán)隊(duì)成員需通過(guò)虛擬坐標(biāo)系傳遞信息。定義“國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)”：以倫敦格林尼治天文臺(tái)為原點(diǎn)(0,0,0)，向東為x軸，向北為y軸，向上為z軸。（1）北京某參賽點(diǎn)坐標(biāo)為(116.4°E,39.9°N,50m)，將其轉(zhuǎn)換為三維直角坐標(biāo)（地球半徑取6371km，結(jié)果保留3位有效數(shù)字）；（2）若兩地坐標(biāo)分別為P(x?,y?,z?)和Q(x?,y?,z?)，推導(dǎo)兩點(diǎn)間球面距離公式。（14分）某藝術(shù)創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)開(kāi)發(fā)了一個(gè)“分形樹(shù)”MR模型，生成規(guī)則如下：第0級(jí)：1條長(zhǎng)度為1m的主干；第n級(jí)：每條樹(shù)枝生長(zhǎng)出2條新枝，長(zhǎng)度為上一級(jí)的1/2，與原樹(shù)枝夾角為60°。（1）求第n級(jí)樹(shù)枝的總長(zhǎng)度；（2）證明：當(dāng)n→∞時(shí)，所有樹(shù)枝的總長(zhǎng)度收斂于4m。（14分）為評(píng)估MR教學(xué)效果，某機(jī)構(gòu)對(duì)100名初中生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下表：||數(shù)學(xué)成績(jī)提升|無(wú)提升|總計(jì)||---|---|---|---||使用MR教學(xué)|45|15|60||傳統(tǒng)教學(xué)|20|20|40||總計(jì)|65|35|100|（1）能否在95%置信水平下認(rèn)為“使用MR教學(xué)”與“成績(jī)提升”獨(dú)立？（參考公式：χ2=∑(ad-bc)2n/(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，臨界值3.841）（2）從成績(jī)提升的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至少有2人使用MR教學(xué)的概率。四、創(chuàng)新實(shí)踐題（共2題，每題25分，共50分）藝術(shù)裝置設(shè)計(jì)要求：利用MR技術(shù)創(chuàng)作一個(gè)“斐波那契螺旋”動(dòng)態(tài)裝置，需滿足：（1）繪制前10項(xiàng)斐波那契數(shù)列對(duì)應(yīng)的正方形（邊長(zhǎng)依次為1,1,2,3,...）；（2）在每個(gè)正方形內(nèi)繪制四分之一圓，形成螺旋線；（3）計(jì)算螺旋線總長(zhǎng)度及所圍區(qū)域面積；（4）設(shè)計(jì)一個(gè)交互功能：當(dāng)用戶手勢(shì)與螺旋線切線方向夾角為θ時(shí)，虛擬花瓣數(shù)量隨cosθ變化。國(guó)際協(xié)作方案某跨國(guó)團(tuán)隊(duì)由中國(guó)（4人）、美國(guó)（3人）、日本（2人）、法國(guó)（1人）組成，需完成：（1）分配4個(gè)項(xiàng)目：數(shù)學(xué)建模（需2人）、程序開(kāi)發(fā)（需3人）、藝術(shù)設(shè)計(jì)（需2人）、文檔翻譯（需1人），每個(gè)項(xiàng)目至少包含2個(gè)國(guó)家的成員；（2）制定時(shí)間計(jì)劃：項(xiàng)目周期20天，各階段（需求分析、開(kāi)發(fā)、測(cè)試、展示）時(shí)間比為2:5:3:2，用甘特圖表示；（3）預(yù)算分配：總預(yù)算10000美元，按人力成本（50%）、設(shè)備采購(gòu)（30%）、差旅（15%）、應(yīng)急（5%）分配，計(jì)算各國(guó)家成員的人均預(yù)算。五、開(kāi)放論述題（共1題，30分）結(jié)合本次競(jìng)賽主題，論述“混合現(xiàn)實(shí)技術(shù)如何推動(dòng)數(shù)學(xué)教育的藝術(shù)化轉(zhuǎn)型”，要求：（1）包含至少2個(gè)具體應(yīng)用場(chǎng)景（如幾何可視化、數(shù)據(jù)分析藝術(shù)化）；（2）引用1個(gè)國(guó)際教育案例（需說(shuō)明數(shù)學(xué)原理與藝術(shù)表現(xiàn)的結(jié)合點(diǎn)）；（3）提出1