2025年下學期初中數(shù)學歸納總結(jié)能力試卷考試時間：120分鐘滿分：120分一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）觀察下列等式：(1=1^2)(1+3=2^2)(1+3+5=3^2)(1+3+5+7=4^2)……則第n個等式為（）A.(1+3+5+…+(2n-1)=n^2)B.(1+3+5+…+(2n+1)=n^2)C.(1+3+5+…+(n-1)=n^2)D.(1+3+5+…+(n+1)=n^2)如圖，在平面直角坐標系中，點A?(1,0)，A?(1,1)，A?(-1,1)，A?(-1,-1)，A?(2,-1)，A?(2,2)，…按此規(guī)律排列，則點A????的坐標為（）A.(507,-506)B.(506,-505)C.(507,-507)D.(506,-506)已知函數(shù)(y=ax+b)與(y=kx)的圖像交于點P(1,2)，則關于x的方程(ax+b=kx)的解為（）A.x=1B.x=2C.x=-1D.x=-2觀察下列圖形的構(gòu)成規(guī)律：第1個圖形由1個三角形組成，第2個圖形由4個三角形組成，第3個圖形由9個三角形組成，…，則第n個圖形中三角形的個數(shù)為（）A.nB.n2C.2n-1D.n(n+1)若一組數(shù)據(jù)x?,x?,x?的平均數(shù)為5，方差為2，則數(shù)據(jù)2x?+1,2x?+1,2x?+1的平均數(shù)和方差分別為（）A.11,4B.11,8C.10,4D.10,8如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D，DE平分∠BDC交BC于點E，則圖中等腰三角形的個數(shù)為（）A.3B.4C.5D.6已知(a+\frac{1}{a}=3)，則(a^2+\frac{1}{a^2})的值為（）A.7B.9C.11D.13觀察下列分式：(\frac{x}{y},-\frac{x^3}{y^2},\frac{x^5}{y^3},-\frac{x^7}{y^4},…)，則第n個分式為（）A.((-1)^n\frac{x^{2n-1}}{y^n})B.((-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{y^n})C.((-1)^n\frac{x^{2n+1}}{y^n})D.((-1)^{n+1}\frac{x^{2n+1}}{y^n})如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以點C為圓心，r為半徑作圓，若圓C與斜邊AB相切，則r的值為（）A.2B.2.4C.2.5D.3已知二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論：①a>0；②b<0；③c>0；④b2-4ac>0，其中正確的有（）A.1個B.2個C.3個D.4個二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）分解因式：(x^3-4x=)__________．已知點P(m,n)在反比例函數(shù)(y=\frac{6}{x})的圖像上，且m,n為正整數(shù)，則點P的坐標為__________（寫出一個即可）．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長為__________cm．觀察下列等式：(1×2=\frac{1}{3}×1×2×3)(1×2+2×3=\frac{1}{3}×2×3×4)(1×2+2×3+3×4=\frac{1}{3}×3×4×5)……則(1×2+2×3+…+n(n+1)=)__________（用含n的代數(shù)式表示）．一個不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球，這些球除顏色外無其他差別，從中隨機摸出一個球，記下顏色后放回，再隨機摸出一個球，則兩次摸出的球都是紅球的概率為__________．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E為BC的中點，點F在CD上，且CF=1，連接AE,AF,EF，則△AEF的面積為__________．三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（6分）計算：((-2)^2+|\sqrt{3}-2|-\sqrt{12}+(π-2025)^0)（6分）先化簡，再求值：(\left(\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}+\frac{2-x}{x+2}\right)÷\frac{x}{x-2})，其中x=3．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E,F分別在AD,BC上，且AE=CF，連接BE,DF．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若∠EBD=30°，∠BDF=20°，求∠BED的度數(shù)．（8分）某校為了解學生“最喜歡的球類運動”情況，隨機抽取了部分學生進行問卷調(diào)查，現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖：（1）本次調(diào)查共抽取了__________名學生；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）若該校共有2000名學生，估計最喜歡“籃球”的學生有多少人？（8分）某商店銷售A,B兩種商品，已知銷售一件A商品可獲利10元，銷售一件B商品可獲利15元．該商店計劃購進A,B兩種商品共100件，且投入資金不超過8000元．（1）若購進A商品x件，購進B商品y件，求y與x之間的函數(shù)關系式；（2）若銷售完這批商品后，總獲利不低于1350元，求最多可購進A商品多少件？（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C作⊙O的切線CD，交AB的延長線于點D，連接AC,BC．（1）求證：∠ACD=∠B；（2）若AB=10，CD=6，求BD的長．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線(y=ax^2+bx+c)經(jīng)過點A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是拋物線上一動點，且在x軸上方，連接PA,PB，設點P的橫坐標為m，△PAB的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關系式，并求出S的最大值．（10分）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，點D為AB的中點，點E,F分別在AC,BC上，且DE⊥DF．（1）求證：AE=CF；（2）若AE=1，求EF的長；（3）設AE=x，△DEF的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關系式，并求出y的最小值．四、歸納總結(jié)題（本大題共2小題，共20分）（10分）觀察下列關于自然數(shù)的等式：第1個等式：(3^2-4×1^2=5)第2個等式：(5^2-4×2^2=9)第3個等式：(7^2-4×3^2=13)第4個等式：(9^2-4×4^2=17)……根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題：（1）寫出第5個等式：__________；（2）寫出第n個等式（用含n的代數(shù)式表示），并證明．（10分）在數(shù)學活動課上，老師提出如下問題：如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點D為BC的中點，點E在AB上，點F在AC上，且∠EDF=60°，則BE,EF,FC之間存在怎樣的數(shù)量關系？小明通過探究發(fā)現(xiàn)：BE+FC=EF．（1）請你幫小明完成證明過程；（2）若將“∠BAC=120°”改為“∠BAC=90°”，其他條件不變（如圖2），則BE,EF,FC之間的數(shù)量關系為__________；（3）若將“∠BAC=120°”改為“∠BAC=α”，其他條件不變，則BE,EF,FC之間的數(shù)量關系為__________（用含α的代數(shù)式表示）．參考答案及評分標準一、選擇題A2.A3.A4.B5.B6.C7.A8.B9.B10.D二、填空題(x(x+2)(x-2))12.(1,6)（或(2,3)，(3,2)，(6,1)）13.1914.(\frac{1}{3}n(n+1)(n+2))15.(\frac{9}{25})16.8三、解答題解：原式=4+(2-(\sqrt{3}))-2(\sqrt{3})+1=4+2-(\sqrt{3})-2(\sqrt{3})+1=7-3(\sqrt{3})……6分解：原式=(\left[\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}-\frac{x-2}{x+2}\right]·\frac{x-2}{x})=(\left[\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}\right]·\frac{x-2}{x})=(\frac{(x+2)^2-(x-2)^2}{(x-2)(x+2)}·\frac{x-2}{x})=(\frac{8x}{(x-2)(x+2)}·\frac{x-2}{x})=(\frac{8}{x+2})當x=3時，原式=(\frac{8}{3+2}=\frac{8}{5})……6分（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠A=∠C，AD=BC．∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)……4分（2）解：∵△ABE≌△CDF，∴BE=DF．∵AD//BC，AE=CF，∴DE=BF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴BE//DF，∴∠EBD=∠BDF=20°，∵∠EBD=30°，∴∠BED=180°-30°-20°=130°……8分（1）100……2分（2）補全條形統(tǒng)計圖（足球20人）……4分（3）2000×30%=600（人）……8分（1）y=100-x……4分（2）10x+15(100-x)≥1350，解得x≤30，答：最多可購進A商品30件……8分（1）證明：連接OC，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠ACO=∠B+∠ACO=90°，∴∠ACD=∠B……5分（2）解：設BD=x，則OD=OB+BD=5+x，∵OC2+CD2=OD2，∴52+62=(5+x)2，解得x=4（x=-14舍去），∴BD=4……10分（1）解：設拋物線解析式為y=a(x+1)(x-3)，將C(0,3)代入得3=a(0+1)(0-3)，解得a=-1，∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3……4分（2）解：∵點P(m,-m2+2m+3)，AB=4，∴S=(\frac{1}{2})×4×(-m2+2m+3)=-2m2+4m+6=-2(m-1)2+8，∵-1<m<3，∴當m=1時，S最大值=8……10分（1）證明：連接CD，∵AC=BC，∠C=90°，D為AB中點，∴CD=AD=BD，∠ACD=∠B=45°，CD⊥AB，∵DE⊥DF，∴∠EDC+∠CDF=90°，∠CDF+∠FDB=90°，∴∠EDC=∠FDB，∴△CDE≌△BDF(ASA)，∴CE=BF，∵AC=BC，∴AE=CF……4分（2）解：∵AE=1，AC=4，∴CE=3，由（1）得BF=3，CF=AE=1，∴EF=(\sqrt{CE^2+CF^2-2CE·CF·cos45°})（或勾股定理）=(\sqrt{10})……7分（3）解：設AE=x，則CF=x，CE=4-x，CF=x，y=(\frac{1}{2})DE·DF·sin∠EDF，∵DE=DF，∠EDF=90°，∴y=(\frac{1}{2})DE2，DE2=CE2+CF2-2CE·CF·cos45°=(4-x)2+x2-(\sqrt{2})x(4-x)，化簡得y=(\frac{1}{2})(2x2-8x+16)=x2-4x+8=(x-2)2+4，∴當x=2時，y最小值=4……10分四、歸納總結(jié)題（1）112-4×52=21……4分（2）第n個等式：(2n+1)2-4n2=4n+1證明：左邊=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右邊，∴等式成立……10分（1）證明：延長FD至點G，使DG=DF，連接BG,EG，∵D為BC中點，∴BD=CD，∠BDG=∠CDF，∴△BDG≌△CDF，∴BG=CF，∠GBD=∠C，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠C=30°，∴∠ABG=∠ABC+∠GBD=60°，∵DE⊥DF，DG=DF，∴E