高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省河源市和平縣部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，，則（）A.11 B.10 C.9 D.8【答案】A【解析】.故選：A.2.已知直線(xiàn)：，：，且，則（）A.1 B.-2 C.2 D.3【答案】C【解析】因?yàn)?，故，解?故選：C.3.經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，則（）A. B.1 C.3 D.4【答案】C【解析】由題設(shè)條件可得，解得3.故選：C.4.已知A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)，點(diǎn)O不在平面ABC內(nèi)，，若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則的最大值為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】由及A，B，C，D四點(diǎn)共面得：，即，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：B5.已知集合，，則集合的非空真子集個(gè)數(shù)為（）A.32 B.62 C.64 D.30【答案】B【解析】由題意可得，，故，故集合的非空真子集個(gè)數(shù)為.故選：B.6.直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，故，因?yàn)檩S平面，則可取平面的一個(gè)法向量為，則，即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.故選：C.7.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上也是單調(diào)遞增，因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，所以有，即.故選：B.8.棱長(zhǎng)為2的正方體中，其內(nèi)部和表面上存在一點(diǎn)滿(mǎn)足，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有、、，設(shè)，、、，設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，由得，則，即，又，同理可得，即，即，即，故有，且，，，，故，由可得，故，故.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)（）的最小正周期為，則的零點(diǎn)可以為（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】易知，其最小正周期為，所以，即，令（），解得（）.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故選：ABD.10.已知復(fù)數(shù)，則（）A.的虛部為B.C.在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于直線(xiàn)上D.為方程的一個(gè)根【答案】BCD【解析】對(duì)于A，，故，其虛部為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于直線(xiàn)上，故C正確；對(duì)于D，易得，故D正確.故選：BCD.11.三棱錐中，，，，，平面與平面的夾角為，則的長(zhǎng)度可以為（）A.5 B. C. D.6【答案】BC【解析】三棱錐中，由可得，，則是二面角的平面角，如圖，，而，，，，因?yàn)槠矫媾c平面的夾角為，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的長(zhǎng)度可以為，.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.寫(xiě)出一個(gè)過(guò)和的直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程______.【答案】（答案不唯一，四種形式寫(xiě)出一種即可）.【解析】經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)直線(xiàn)兩點(diǎn)式方程是：或.故答案為：（答案不唯一，四種形式寫(xiě)出一種即可）.13.已知平面的一個(gè)法向量為，，，，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____.【答案】【解析】由題可知平面的一個(gè)法向量為，又，故點(diǎn)到平面的距離為.14.中，角A，，所對(duì)的邊分別為，，，記的面積為，若，則的最大值為_(kāi)__.【答案】【解析】由，可得，即，所以，所以，故.令，，則，，，所以，等號(hào)成立條件為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.（1）已知點(diǎn)，，求線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的斜截式方程；（2）已知傾斜角為的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的截距式方程.解：（1）由題意可得，，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)為，，所以直線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)的斜率為，則線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的方程為，故斜截式方程為.（2）設(shè)直線(xiàn)的截距式方程為，則①，②.由①②解得，，，故直線(xiàn)的截距式方程為.16.已知，.（1）求在方向上投影向量的坐標(biāo)；（2）求以，為鄰邊的平行四邊形的面積.解：（1）因?yàn)椋?，所以，，所以在方向上投影向量?故在方向上投影向量的坐標(biāo)為；（2）因?yàn)?，，，所以，又，所以，故以，為鄰邊的平行四邊形的面積為17.如圖，在棱長(zhǎng)均為2的正四棱柱中，，，，，用空間向量法解決下列三個(gè)問(wèn)題：（1）證明：；（2）求異面直線(xiàn)與夾角的余弦值；（3）求的長(zhǎng)度.（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由題意得，，，，，，因?yàn)?，，所以，所以，所?（2）解：由（1）可得，，所以.故異面直線(xiàn)與夾角余弦值為.（3）解：由（1）可得，故.18.現(xiàn)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，在坐標(biāo)軸正半軸上的點(diǎn)稱(chēng)為“正直點(diǎn)”，橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為“整數(shù)點(diǎn)”，已知，均為“正直點(diǎn)”.（1）求的取值范圍；（2）求的面積取得最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的周長(zhǎng)；（3）若A，也為“整數(shù)點(diǎn)”，求直線(xiàn)的一般式方程.解：（1）由題意可得，解得.故的取值范圍為；（2）由（1），，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，，的周長(zhǎng)為.（3）由題意可知，均為整數(shù)，所以均為整數(shù)，又，則，，.所以，即.所以，，0或2，當(dāng)時(shí)，，，直線(xiàn)的一般式方程為；當(dāng)時(shí)，，，直線(xiàn)的一般式方程為；當(dāng)時(shí)，，，直線(xiàn)一般式方程為；當(dāng)時(shí)，，，直線(xiàn)的一般式方程為，所以直線(xiàn)的一般式方程為或或或.19.在空間立體幾何中，球面往往是重要的研究對(duì)象，同時(shí)，它與平面幾何中的圓息息相關(guān).而對(duì)于幾何體的研究中，幾何重心的選取顯得尤為重要.古希臘著名數(shù)學(xué)家巴普斯（Pappus）在研究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)性質(zhì)：平面內(nèi)任一面積為的區(qū)域沿著垂直于該區(qū)域的平面運(yùn)動(dòng)得到體積為的立體，若記為此區(qū)域的幾何重心運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度，則有.（1）已知半圓面的幾何重心在其對(duì)稱(chēng)軸上，求半徑為3的半圓面的幾何重心到圓心的距離（試著考慮繞直徑旋轉(zhuǎn)一周得到球體）；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，取球心為，且半徑為1的球體，點(diǎn)為其表面上一點(diǎn).若、，，球體在點(diǎn)處的切面截坐標(biāo)系的三軸組成平面三角形，求面積的最小值.提示：①球面方程：，其中點(diǎn)為球心坐標(biāo)，為球的半徑；②平面方程的點(diǎn)法式：，其中平面過(guò)點(diǎn)，其法向量.解：（1）球體體積，半圓面積，設(shè)幾何重心到圓心的距離為，由于幾何重心在對(duì)稱(chēng)軸上，則幾何重心運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度為，運(yùn)用巴普斯定理有：，解得，代入即；（2）球心為，球面方程為，又，在球面上，故.切面的法向量為，則切面方程為：：，代入得到：，于是，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，運(yùn)用等體積法：設(shè)的面積為，，，（當(dāng)且僅當(dāng)同時(shí)，即取等），所以面積的最小值為.廣東省河源市和平縣部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，，則（）A.11 B.10 C.9 D.8【答案】A【解析】.故選：A.2.已知直線(xiàn)：，：，且，則（）A.1 B.-2 C.2 D.3【答案】C【解析】因?yàn)?，故，解?故選：C.3.經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，則（）A. B.1 C.3 D.4【答案】C【解析】由題設(shè)條件可得，解得3.故選：C.4.已知A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)，點(diǎn)O不在平面ABC內(nèi)，，若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則的最大值為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】由及A，B，C，D四點(diǎn)共面得：，即，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：B5.已知集合，，則集合的非空真子集個(gè)數(shù)為（）A.32 B.62 C.64 D.30【答案】B【解析】由題意可得，，故，故集合的非空真子集個(gè)數(shù)為.故選：B.6.直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，故，因?yàn)檩S平面，則可取平面的一個(gè)法向量為，則，即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.故選：C.7.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上也是單調(diào)遞增，因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，所以有，即.故選：B.8.棱長(zhǎng)為2的正方體中，其內(nèi)部和表面上存在一點(diǎn)滿(mǎn)足，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有、、，設(shè)，、、，設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，由得，則，即，又，同理可得，即，即，即，故有，且，，，，故，由可得，故，故.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)（）的最小正周期為，則的零點(diǎn)可以為（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】易知，其最小正周期為，所以，即，令（），解得（）.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故選：ABD.10.已知復(fù)數(shù)，則（）A.的虛部為B.C.在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于直線(xiàn)上D.為方程的一個(gè)根【答案】BCD【解析】對(duì)于A，，故，其虛部為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于直線(xiàn)上，故C正確；對(duì)于D，易得，故D正確.故選：BCD.11.三棱錐中，，，，，平面與平面的夾角為，則的長(zhǎng)度可以為（）A.5 B. C. D.6【答案】BC【解析】三棱錐中，由可得，，則是二面角的平面角，如圖，，而，，，，因?yàn)槠矫媾c平面的夾角為，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的長(zhǎng)度可以為，.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.寫(xiě)出一個(gè)過(guò)和的直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程______.【答案】（答案不唯一，四種形式寫(xiě)出一種即可）.【解析】經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)直線(xiàn)兩點(diǎn)式方程是：或.故答案為：（答案不唯一，四種形式寫(xiě)出一種即可）.13.已知平面的一個(gè)法向量為，，，，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____.【答案】【解析】由題可知平面的一個(gè)法向量為，又，故點(diǎn)到平面的距離為.14.中，角A，，所對(duì)的邊分別為，，，記的面積為，若，則的最大值為_(kāi)__.【答案】【解析】由，可得，即，所以，所以，故.令，，則，，，所以，等號(hào)成立條件為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.（1）已知點(diǎn)，，求線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的斜截式方程；（2）已知傾斜角為的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的截距式方程.解：（1）由題意可得，，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)為，，所以直線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)的斜率為，則線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的方程為，故斜截式方程為.（2）設(shè)直線(xiàn)的截距式方程為，則①，②.由①②解得，，，故直線(xiàn)的截距式方程為.16.已知，.（1）求在方向上投影向量的坐標(biāo)；（2）求以，為鄰邊的平行四邊形的面積.解：（1）因?yàn)?，，所以，，所以在方向上投影向量?故在方向上投影向量的坐標(biāo)為；（2）因?yàn)?，，，所以，又，所以，故以，為鄰邊的平行四邊形的面積為17.如圖，在棱長(zhǎng)均為2的正四棱柱中，，，，，用空間向量法解決下列三個(gè)問(wèn)題：（1）證明：；（2）求異面直線(xiàn)與夾角的余弦值；（3）求的長(zhǎng)度.（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由題意得，，，，，，因?yàn)?，，所以，所以，所?（2）解：由（1）可得，，所以.故異面直線(xiàn)與夾角余弦值為.（3）解：由（1）可得，故.18.現(xiàn)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，在坐標(biāo)軸正半軸上的點(diǎn)稱(chēng)為“正直點(diǎn)”，橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為“整數(shù)點(diǎn)”，已知，均為“正直點(diǎn)”.（1）求的取值范圍；（2）求的面積取得最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的周長(zhǎng)；（3）若A，也為“整數(shù)點(diǎn)”，求直線(xiàn)的一般式方程.解：（1）由題意可得，解得.故的取值范圍為；（2）由（1），，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，，的周長(zhǎng)為.（3）由題意可知，均為整數(shù)，所以均為整數(shù)，又，則，，.所以，即.所以，，0或2，當(dāng)時(shí)，，，直線(xiàn)的一般式方程為；當(dāng)時(shí)，，，直線(xiàn)的一般式方程為；當(dāng)時(shí)，，，直線(xiàn)一般式方程為；當(dāng)時(shí)，，，直線(xiàn)的一般式方程為，所以直線(xiàn)的一般式方程為或或或.19.在空間立體幾何中，球面往往是重要的研究對(duì)象，同時(shí)，它與平面幾何中的圓息息相關(guān).而對(duì)于幾何體的研究中，幾何重心的選取顯得尤為重要.古希臘著名數(shù)學(xué)家巴普斯（Pappus）在研究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)性質(zhì)：平面內(nèi)任一面積為的區(qū)域沿著垂直于該區(qū)域的平面運(yùn)動(dòng)得到體積為的立體，若記為此區(qū)域的幾何重心運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度，則有.（1）已知半圓面的幾何重心在其對(duì)稱(chēng)軸上，求半徑為3的半圓面的幾何重心到圓心的距離（試著考慮繞直徑旋轉(zhuǎn)一周得到球體）；（