高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1甘肅省臨夏州高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線的傾斜角為，方向向量，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由直線的傾斜角為可得直線的斜率為，又方向向量，即，解得.故選：D.2.橢圓的短軸長為（）A.4 B.6 C. D.【答案】A【解析】由題意可得，所以短軸長為.故選：A.3.過點，且與直線平行的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)與直線平行的直線方程為，因為點在直線上，所以，所以與直線平行的直線方程為.故選：C.4.二項式的展開式中的常數(shù)項為（）A. B.10 C. D.20【答案】C【解析】的展開式的通項為：，令，解得，此時，所以常數(shù)項為.故選：C.5.圓與圓相交，則公共弦長（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓即，兩圓方程相減可得公共弦方程為，圓心到公共弦的距離為，所以公共弦長為.故選：B.6.已知等比數(shù)列為遞減數(shù)列，若是方程的兩個根，則公比（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】是方程的兩個根，且等比數(shù)列為遞減數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時，等比數(shù)列的奇數(shù)項為正數(shù)，偶數(shù)項為負數(shù)，不符合遞減數(shù)列，故舍去，所以公比.故選：A.7.已知圓的方程為，過點的2025條弦長組成一個等差數(shù)列，且過點的最短弦長和最長弦長分別為，則（）A.5 B.6 C.9 D.10【答案】C【解析】由題意知的圓心為，半徑，又可得點在圓內(nèi)，所以過點的最短弦長是與過點的直徑垂直的弦長，，由弦長公式可得，過點的最長弦長為直徑，所以，又過點的2025條弦長組成一個等差數(shù)列，所以，所以.故選：C.8.臨夏被譽為中國“彩陶之鄉(xiāng)”，彩陶以造型獨特，花紋別致而聞名于世.如圖，一落地彩陶擺件外形為單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的形狀，可以看成是雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0A. B. C. D.【答案】D【解析】因為彩陶擺件橫截面圓的最小半徑為，所以，則，又雙曲線的離心率為，所以，即，則，所以，可得雙曲線的方程為，將代入可得，所以該彩陶擺件的高為，故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知曲線，則下列說法正確的是（）A.若，則曲線是橢圓B.若，則曲線是雙曲線C.若，則曲線是橢圓，其焦點在軸上D.若，則曲線是兩條平行于軸的直線【答案】BCD【解析】對于A，若，則曲線表示圓，故A錯誤；對于B，若，則曲線表示雙曲線，B正確；對于C，若，則可化為，此時曲線表示焦點在軸上的橢圓，故C正確；對于D，若，則可化為，此時曲線表示兩條平行于軸的直線，故D正確．故選：BCD10.3名學(xué)生，2名教師站成一排參加文藝匯演，則下列說法正確的是（）A.任意站成一排，有120種排法B.學(xué)生不相鄰，有24種排法C.教師相鄰，有48種排法D.教師不站在兩邊，有72種排法【答案】AC【解析】對于A，任意站成一排，是全排列，所以有種排法，故A正確；對于B，學(xué)生不相鄰，所以先排老師，然后插空，即種排法，故B錯誤；對于C，教師相鄰用捆綁，即種排法，故C正確；對于D，教師不站兩邊，先將兩邊排上學(xué)生，剩下的人全排列，即種排法，故D錯誤；故選：AC.11.已知拋物線，點是拋物線的焦點，點是拋物線上的一點，為坐標原點，則下列說法正確的是（）A.拋物線的準線方程為B.拋物線的焦點到準線的距離為C.若，則的面積為D.若，點在軸上，則【答案】ACD【解析】已知拋物線，求得，則焦點坐標為，準線方程為，故選項A正確；對于B，拋物線的焦點到準線的距離為，故B錯誤；對于C，若，則到準線的距離為，所以即為點的橫坐標，如圖所示：根據(jù)，解得，所以，故C正確；對于D，，點在軸上，如圖所示：根據(jù)拋物線的定義可得，則，即點是的中點，所以，則，故D正確；故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列的前項和公式為，則通項公式__________.【答案】【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，滿足上式，所以，故答案為：.13.已知圓過三點，則圓的標準方程為__________.過圓上的一點的圓的切線方程為__________（填一般式方程）.【答案】【解析】設(shè)圓的標準方程為，將三點代入可得，，解得，所以圓的標準方程為；過圓上一點圓的切線方程為：，化簡得：，故答案為：；.14.如圖，分別為橢圓的頂點與焦點，若，則橢圓的離心率__________.【答案】【解析】由題意可得，因為，，所以，又，即，同除可得，解得或（舍去）.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知拋物線，并且經(jīng)過點.（1）求拋物線方程；（2）若直線與拋物線交于兩點，求.解：（1）因為拋物線y2=2pxp>0所以，解得，所以拋物線方程為.（2）設(shè)Ax聯(lián)立消去可得，.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，.方法一：.方法二：依題意可知，直線過拋物線的焦點，如圖，設(shè)Ax1,y1,Bx由拋物線的定義可知，.于是.由方法一可得，于是.16.已知橢圓的右焦點為，點和點在上.（1）求點的坐標；（2）過點的直線經(jīng)過原點，且與交于另一點，求的面積.解：（1）方法一：由題意得解得由，得，所以右焦點.方法二：由題意知，橢圓的上頂點為，顯然，將點坐標代入橢圓方程得，解得，由，得，所以右焦點.（2）由（1）知橢圓的標準方程為.過點的直線的方程為.方法一：將直線與橢圓的方程聯(lián)立，得方程組解得，顯然點位于第三象限，所以，又因為，所以，點到直線的距離，所以.所以的面積為9.方法二：由橢圓的對稱性可知，點與點關(guān)于原點對稱，因為，所以，所以.所以的面積為9.17.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前2025項和.解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，所以，則.因為等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以.又因為，所以，解得.所以.所以數(shù)列的通項公式為.（2）因為，所以，，所以，故數(shù)列的前項和.18.已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦距為.（1）求方程；（2）過點作直線與雙曲線相交于兩點，且為線段的中點，求這條直線的方程.解：（1）由題意知，，解得，故雙曲線的方程為.（2）①當(dāng)過點的直線斜率不存在時，若點為的中點，則點必在軸上，這與矛盾；②當(dāng)過點直線斜率存在時，設(shè)斜率為，則直線方程為，設(shè)，因為點為線段的中點，所以，因為在雙曲線上，所以，則，所以，則所求直線方程為，即.經(jīng)檢驗此時直線與雙曲線有兩個交點，滿足題意.19.如圖，定義：以橢圓中心為圓心，長軸為直徑的圓叫作橢圓的“仿射圓”，過橢圓上一點作軸的垂線，垂足為，交其“仿射圓”于點（在同一象限內(nèi)），稱點為點的“仿射點”.（1）若橢圓的“仿射圓”為，點為線段的中點，求橢圓的標準方程.（2）若橢圓上的點的“仿射點”.①求橢圓及其“仿射圓”的方程；②設(shè)點在直線上，且，證明：過點且垂直于的直線過橢圓的左焦點.解：（1）設(shè)點的坐標為，“仿射點”的坐標為，因為點為線段的中點，則.因為“仿射點”Px0,y0把代入上述方程，得，即橢圓的標準方程為.（2）①設(shè)橢圓E:x2a“仿射圓”過點，所以解得.所以橢圓的方程為，“仿射圓”的方程為.②方法一：由①知橢圓的左焦點的坐標為，設(shè)，由，得，解得.又，所以，即.又過點存在唯一的直線垂直于，所以過點且垂直于的直線過橢圓的左焦點.方法二：由①知橢圓的左焦點的坐標為，設(shè)，由，得，解得.則，直線的斜率為，所以直線的方程為，即，當(dāng)時，，所以直線過點，所以過點且垂直于的直線過橢圓的左焦點.甘肅省臨夏州高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線的傾斜角為，方向向量，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由直線的傾斜角為可得直線的斜率為，又方向向量，即，解得.故選：D.2.橢圓的短軸長為（）A.4 B.6 C. D.【答案】A【解析】由題意可得，所以短軸長為.故選：A.3.過點，且與直線平行的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)與直線平行的直線方程為，因為點在直線上，所以，所以與直線平行的直線方程為.故選：C.4.二項式的展開式中的常數(shù)項為（）A. B.10 C. D.20【答案】C【解析】的展開式的通項為：，令，解得，此時，所以常數(shù)項為.故選：C.5.圓與圓相交，則公共弦長（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓即，兩圓方程相減可得公共弦方程為，圓心到公共弦的距離為，所以公共弦長為.故選：B.6.已知等比數(shù)列為遞減數(shù)列，若是方程的兩個根，則公比（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】是方程的兩個根，且等比數(shù)列為遞減數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時，等比數(shù)列的奇數(shù)項為正數(shù)，偶數(shù)項為負數(shù)，不符合遞減數(shù)列，故舍去，所以公比.故選：A.7.已知圓的方程為，過點的2025條弦長組成一個等差數(shù)列，且過點的最短弦長和最長弦長分別為，則（）A.5 B.6 C.9 D.10【答案】C【解析】由題意知的圓心為，半徑，又可得點在圓內(nèi)，所以過點的最短弦長是與過點的直徑垂直的弦長，，由弦長公式可得，過點的最長弦長為直徑，所以，又過點的2025條弦長組成一個等差數(shù)列，所以，所以.故選：C.8.臨夏被譽為中國“彩陶之鄉(xiāng)”，彩陶以造型獨特，花紋別致而聞名于世.如圖，一落地彩陶擺件外形為單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的形狀，可以看成是雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0A. B. C. D.【答案】D【解析】因為彩陶擺件橫截面圓的最小半徑為，所以，則，又雙曲線的離心率為，所以，即，則，所以，可得雙曲線的方程為，將代入可得，所以該彩陶擺件的高為，故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知曲線，則下列說法正確的是（）A.若，則曲線是橢圓B.若，則曲線是雙曲線C.若，則曲線是橢圓，其焦點在軸上D.若，則曲線是兩條平行于軸的直線【答案】BCD【解析】對于A，若，則曲線表示圓，故A錯誤；對于B，若，則曲線表示雙曲線，B正確；對于C，若，則可化為，此時曲線表示焦點在軸上的橢圓，故C正確；對于D，若，則可化為，此時曲線表示兩條平行于軸的直線，故D正確．故選：BCD10.3名學(xué)生，2名教師站成一排參加文藝匯演，則下列說法正確的是（）A.任意站成一排，有120種排法B.學(xué)生不相鄰，有24種排法C.教師相鄰，有48種排法D.教師不站在兩邊，有72種排法【答案】AC【解析】對于A，任意站成一排，是全排列，所以有種排法，故A正確；對于B，學(xué)生不相鄰，所以先排老師，然后插空，即種排法，故B錯誤；對于C，教師相鄰用捆綁，即種排法，故C正確；對于D，教師不站兩邊，先將兩邊排上學(xué)生，剩下的人全排列，即種排法，故D錯誤；故選：AC.11.已知拋物線，點是拋物線的焦點，點是拋物線上的一點，為坐標原點，則下列說法正確的是（）A.拋物線的準線方程為B.拋物線的焦點到準線的距離為C.若，則的面積為D.若，點在軸上，則【答案】ACD【解析】已知拋物線，求得，則焦點坐標為，準線方程為，故選項A正確；對于B，拋物線的焦點到準線的距離為，故B錯誤；對于C，若，則到準線的距離為，所以即為點的橫坐標，如圖所示：根據(jù)，解得，所以，故C正確；對于D，，點在軸上，如圖所示：根據(jù)拋物線的定義可得，則，即點是的中點，所以，則，故D正確；故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列的前項和公式為，則通項公式__________.【答案】【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，滿足上式，所以，故答案為：.13.已知圓過三點，則圓的標準方程為__________.過圓上的一點的圓的切線方程為__________（填一般式方程）.【答案】【解析】設(shè)圓的標準方程為，將三點代入可得，，解得，所以圓的標準方程為；過圓上一點圓的切線方程為：，化簡得：，故答案為：；.14.如圖，分別為橢圓的頂點與焦點，若，則橢圓的離心率__________.【答案】【解析】由題意可得，因為，，所以，又，即，同除可得，解得或（舍去）.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知拋物線，并且經(jīng)過點.（1）求拋物線方程；（2）若直線與拋物線交于兩點，求.解：（1）因為拋物線y2=2pxp>0所以，解得，所以拋物線方程為.（2）設(shè)Ax聯(lián)立消去可得，.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，.方法一：.方法二：依題意可知，直線過拋物線的焦點，如圖，設(shè)Ax1,y1,Bx由拋物線的定義可知，.于是.由方法一可得，于是.16.已知橢圓的右焦點為，點和點在上.（1）求點的坐標；（2）過點的直線經(jīng)過原點，且與交于另一點，求的面積.解：（1）方法一：由題意得解得由，得，所以右焦點.方法二：由題意知，橢圓的上頂點為，顯然，將點坐標代入橢圓方程得，解得，由，得，所以右焦點.（2）由（1）知橢圓的標準方程為.過點的直線的方程為.方法一：將直線與橢圓的方程聯(lián)立，得方程組解得，顯然點位于第三象限，所以，又因為，所以，點到直線的距離，所以.所以的面積為9.方法二：由橢圓的對稱性可知，點與點關(guān)于原點對稱，因為，所以，所以.所以的面積為9.17.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前2025項和.解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，所以，則.因為等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以.又因為，所以，解得.所以.所以數(shù)列的通項公式為.（2）因為