2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試：抽樣調(diào)查方法與樣本大小試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分。請將正確選項(xiàng)的代表字母填在題后的括號內(nèi)）1.在抽樣調(diào)查中，由樣本統(tǒng)計(jì)量推斷總體參數(shù)所依據(jù)的原理是（）。A.大數(shù)定律B.中心極限定理C.概率論基本定理D.數(shù)理邏輯規(guī)則2.從一個(gè)包含N個(gè)單元的總體中，按預(yù)先確定的規(guī)則抽取n個(gè)單元構(gòu)成樣本，這種抽樣方法稱為（）。A.簡單隨機(jī)抽樣B.分層抽樣C.整群抽樣D.系統(tǒng)抽樣3.某城市有100萬戶家庭，為調(diào)查該市家庭的年平均收入，按戶主年齡分層（青年、中年、老年），然后從各層中隨機(jī)抽取一定比例的家庭進(jìn)行調(diào)查。這種抽樣方法屬于（）。A.簡單隨機(jī)抽樣B.分層隨機(jī)抽樣C.整群抽樣D.系統(tǒng)抽樣4.在其他條件不變的情況下，要求的抽樣誤差范圍越小，則所需的樣本量（）。A.越大B.越小C.不變D.可能增大也可能減小5.使用整群抽樣方法時(shí)，為了獲得與簡單隨機(jī)抽樣相近的抽樣誤差，通常需要（）。A.增加樣本量B.減少樣本量C.使用無回答校正D.采用分層抽樣二、名詞解釋（每小題3分，共12分）1.抽樣框2.抽樣誤差3.有限總體校正系數(shù)4.置信區(qū)間三、簡答題（每小題5分，共10分）1.簡述分層抽樣相較于簡單隨機(jī)抽樣的主要優(yōu)點(diǎn)。2.簡述影響必要樣本量大小的因素。四、計(jì)算題（每小題8分，共16分）1.假定某城市有50萬居民，欲調(diào)查其居民對某項(xiàng)政策的支持率。根據(jù)過去的經(jīng)驗(yàn)，該支持率的方差估計(jì)為0.04。若要求置信水平為95%，允許誤差不超過3%，試計(jì)算在簡單隨機(jī)抽樣下，至少需要抽取多少居民進(jìn)行調(diào)查？（不考慮有限總體校正）2.某工廠生產(chǎn)一批零件，總數(shù)為2000件，準(zhǔn)備采用整群抽樣進(jìn)行調(diào)查，將這2000件零件隨機(jī)分為40群，每群50件?，F(xiàn)隨機(jī)抽取了4群，調(diào)查這4群中所有零件的某種質(zhì)量指標(biāo)，結(jié)果如下：（此處省略具體數(shù)據(jù)，假設(shè)給出4群的平均值和方差）要求估計(jì)整群抽樣的平均質(zhì)量指標(biāo)的抽樣平均誤差，并給出95%的置信區(qū)間。（需說明計(jì)算步驟）五、綜合分析題（10分）某研究者欲調(diào)查某地區(qū)中年人的吸煙情況，考慮采用抽樣調(diào)查方法。請分析：（1）如果總體范圍較大，且沒有現(xiàn)成的抽樣框，該研究者可以考慮使用哪些抽樣方法？簡述其優(yōu)缺點(diǎn)。（2）若研究者希望得到較為精確的結(jié)果，且經(jīng)費(fèi)和時(shí)間有限，應(yīng)該如何平衡抽樣精度和成本？（3）在設(shè)計(jì)抽樣方案時(shí)，除了抽樣方法本身，還需要考慮哪些其他重要因素？試卷答案一、選擇題1.B2.D3.B4.A5.A二、名詞解釋1.抽樣框：指包含總體所有單元的名單，是實(shí)施抽樣調(diào)查的依據(jù)。它可以是清單、地圖或其他形式的文件，為抽樣提供操作性的載體。2.抽樣誤差：指樣本統(tǒng)計(jì)量（如樣本均值、樣本比例）與總體參數(shù)（如總體均值、總體比例）之間存在的差異。這種誤差是由于抽取樣本時(shí)隨機(jī)性引起的，是不可避免的。3.有限總體校正系數(shù)：當(dāng)總體規(guī)模N相對樣本量n較大時(shí)，為了更準(zhǔn)確地反映抽樣誤差，需要對簡單隨機(jī)抽樣的標(biāo)準(zhǔn)誤差公式進(jìn)行修正，引入的修正因子（1-n/N）稱為有限總體校正系數(shù)。4.置信區(qū)間：在給定的置信水平下，以樣本統(tǒng)計(jì)量為中心，包含總體參數(shù)可能取值的一個(gè)區(qū)間。它表達(dá)了用樣本推斷總體參數(shù)的可靠程度。三、簡答題1.簡述分層抽樣相較于簡單隨機(jī)抽樣的主要優(yōu)點(diǎn)。*解析思路：對比分層抽樣和簡單隨機(jī)抽樣的核心差異在于對總體的處理。分層抽樣的關(guān)鍵在于按特定標(biāo)志分層，然后在層內(nèi)抽樣。*回答要點(diǎn)：*提高估計(jì)精度：通過在層內(nèi)減少單元間的差異，使得層內(nèi)方差減小，從而降低抽樣誤差，提高總體估計(jì)的精度。*保證代表性：確保每個(gè)層至少有一個(gè)單元被抽中，避免了簡單隨機(jī)抽樣中某些層可能抽不到樣本單元的情況，使得樣本結(jié)構(gòu)更貼近總體結(jié)構(gòu)。*便于管理和分析：可以對不同層進(jìn)行獨(dú)立分析，滿足不同子群體的研究需求，也便于對層進(jìn)行特定管理或?qū)嵤┎煌某闃颖壤?實(shí)施方便：當(dāng)層內(nèi)單元分布均勻或已知時(shí)，可以在層內(nèi)進(jìn)行更有效的抽樣。2.簡述影響必要樣本量大小的因素。*解析思路：樣本量的確定是一個(gè)平衡問題，受多個(gè)因素制約。需要回憶樣本量計(jì)算公式或其推導(dǎo)過程涉及的參數(shù)。*回答要點(diǎn)：*總體方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）：總體方差越大，即總體單元值越分散，需要的樣本量越大，以更準(zhǔn)確地反映總體的變異程度。*抽樣誤差范圍（允許誤差）：要求的抽樣誤差范圍越小，即希望結(jié)果越精確，需要的樣本量越大。*置信水平：要求的置信水平越高（如從90%提高到95%），需要的樣本量越大，因?yàn)楦叩闹眯潘揭馕吨鼘挼闹眯艆^(qū)間，需要更大的樣本來保證推斷的把握度。*抽樣方法：不同抽樣方法的抽樣效率不同。例如，在同等條件下，整群抽樣的效率通常低于簡單隨機(jī)抽樣，因此可能需要更大的樣本量。分層抽樣的效率取決于分層是否合理，合理分層可提高效率，可能需要相對較小的樣本量。*有限總體規(guī)模（N）：當(dāng)總體規(guī)模N相對較大時(shí)，對樣本量的影響較?。ㄓ邢蘅傮w校正系數(shù)接近1）；當(dāng)N相對較小時(shí)，需要考慮有限總體校正，此時(shí)N越大，所需樣本量相對越小。*無回答率：如果預(yù)計(jì)存在較高的無回答率，需要增加初始樣本量，以補(bǔ)償潛在的失訪，保證最終有效樣本量滿足要求。四、計(jì)算題1.假定某城市有50萬居民，欲調(diào)查其居民對某項(xiàng)政策的支持率。根據(jù)過去的經(jīng)驗(yàn)，該支持率的方差估計(jì)為0.04。若要求置信水平為95%，允許誤差不超過3%，試計(jì)算在簡單隨機(jī)抽樣下，至少需要抽取多少居民進(jìn)行調(diào)查？（不考慮有限總體校正）*解析思路：這是典型的比例估計(jì)（或百分比估計(jì)）樣本量計(jì)算問題。需要根據(jù)置信水平確定Z值，利用比例估計(jì)的樣本量公式進(jìn)行計(jì)算。*計(jì)算步驟：*確定參數(shù)：置信水平為95%，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得Z=1.96；允許誤差E=0.03；總體方差估計(jì)值σ2=0.04（對于比例，方差上限為0.25）。*選擇公式：使用比例估計(jì)樣本量公式n?=(Z2*p(1-p))/E2。由于不知道真實(shí)比例p，使用方差最大值0.25來計(jì)算最保守的樣本量。*代入計(jì)算：n?=(1.962*0.25)/0.032=(3.8416*0.25)/0.0009=0.9604/0.0009≈1067.11。*取整：由于樣本量必須是整數(shù)，且要保證達(dá)到要求的精度，向上取整，n?=1068。*考慮有限總體校正（雖然題目要求不考慮，但完整過程應(yīng)提及）：實(shí)際樣本量n=n?/(1+(n?-1)/N)=1068/(1+(1068-1)/500000)≈1068/(1+1.07/500)≈1068/1.00214≈1066。通常在n/N>0.05時(shí)考慮校正，此處1068/500000<0.002，可忽略校正，取n?即可。*最終答案：至少需要抽取1068名居民。2.某工廠生產(chǎn)一批零件，總數(shù)為2000件，準(zhǔn)備采用整群抽樣進(jìn)行調(diào)查，將這2000件零件隨機(jī)分為40群，每群50件?，F(xiàn)隨機(jī)抽取了4群，調(diào)查這4群中所有零件的某種質(zhì)量指標(biāo)，結(jié)果如下：（此處省略具體數(shù)據(jù)，假設(shè)給出4群的平均值和方差）要求估計(jì)整群抽樣的平均質(zhì)量指標(biāo)的抽樣平均誤差，并給出95%的置信區(qū)間。（需說明計(jì)算步驟）*解析思路：整群抽樣的誤差分析核心在于群內(nèi)相關(guān)（同質(zhì)性）和群間差異。計(jì)算步驟包括：計(jì)算群平均、計(jì)算群間方差（或平均群內(nèi)方差）、計(jì)算抽樣平均誤差、計(jì)算置信區(qū)間。*計(jì)算步驟：*假設(shè)給出的4群樣本數(shù)據(jù)為：群1平均X?，群2平均X?，群3平均X?，群4平均X?；或者直接給出了4群的總和T（ΣX?）。*計(jì)算樣本群平均數(shù)（或稱組內(nèi)平均數(shù)）：X?=(X?+X?+X?+X?)/4（如果已知群平均）；或者X?=T/(r*m)（如果已知總和，r=4,m=50）。*計(jì)算群間方差s2_r：如果已知每個(gè)群的樣本均值，s2_r=Σ(X?-X?)2/(r-1)。如果已知總和，可能需要轉(zhuǎn)換為群間平方和的形式計(jì)算。*計(jì)算抽樣平均誤差σ?_r：整群抽樣（不考慮同質(zhì)性）的均值抽樣平均誤差公式為σ?_r=sqrt(s2_r/r*(R-1)/R)或簡化為σ?_r=sqrt(s2_r/r)（當(dāng)R很大時(shí)）。這里R=40，r=4。注意區(qū)分群間方差和群內(nèi)方差。題目可能直接給出群間方差或要求先計(jì)算群間方差。*計(jì)算置信區(qū)間：置信區(qū)間=X?±Z*σ?_r。查正態(tài)分布表得Z=1.96（95%置信水平）。*（示例性數(shù)據(jù)假設(shè)進(jìn)行演示，非實(shí)際題目內(nèi)容）假設(shè)計(jì)算得到群間方差s2_r=4，則σ?_r=sqrt(4/4*(40-1)/40)=sqrt(1*39/40)=sqrt(0.975)≈0.987。假設(shè)群平均數(shù)X?=100。則95%置信區(qū)間=100±1.96*0.987=100±1.935，即(98.065,101.935)。*最終答案：（需要根據(jù)實(shí)際題目給出的數(shù)據(jù)計(jì)算）抽樣平均誤差為σ?_r（計(jì)算值），95%置信區(qū)間為（計(jì)算值，下限,計(jì)算值，上限）。五、綜合分析題某研究者欲調(diào)查某地區(qū)中年人的吸煙情況，考慮采用抽樣調(diào)查方法。請分析：（1）如果總體范圍較大，且沒有現(xiàn)成的抽樣框，該研究者可以考慮使用哪些抽樣方法？簡述其優(yōu)缺點(diǎn)。*解析思路：缺乏抽樣框是抽樣設(shè)計(jì)的重大限制，使得傳統(tǒng)的隨機(jī)抽樣方法難以實(shí)施。需要考慮無需完整列表或僅需部分信息的抽樣技術(shù)。*回答要點(diǎn)：*方便抽樣（非概率抽樣）：*方法：如判斷抽樣、隨意抽樣（偶遇抽樣）、滾雪球抽樣。*優(yōu)點(diǎn)：實(shí)施簡單，成本低，無需抽樣框。*缺點(diǎn)：樣本代表性差，無法進(jìn)行概率推斷，結(jié)果難以推廣到總體。*配額抽樣（非概率抽樣）：*方法：按某些特征（如年齡、性別）規(guī)定樣本中各類別的人數(shù)比例，然后在這些類別中方便抽樣。*優(yōu)點(diǎn)：比方便抽樣考慮了某些結(jié)構(gòu)，成本較低。*缺點(diǎn)：抽樣過程非隨機(jī)，存在選擇偏差，無法概率推斷。*多階段抽樣（概率抽樣，適用于無完整列表）：*方法：將抽樣過程分為多個(gè)階段，先抽取較大的單元（如街道、社區(qū)），再在這些單元中抽取較小的單元（如住戶、個(gè)人）。即使沒有完整的個(gè)人列表，也可以通過多階段抽樣實(shí)現(xiàn)概率抽樣。*優(yōu)點(diǎn)：是實(shí)際中解決無抽樣框問題的常用有效方法，屬于概率抽樣，結(jié)果可推斷。*缺點(diǎn)：抽樣過程相對復(fù)雜，可能存在階段間抽樣誤差累積，成本可能較高。（2）若研究者希望得到較為精確的結(jié)果，且經(jīng)費(fèi)和時(shí)間有限，應(yīng)該如何平衡抽樣精度和成本？*解析思路：抽樣精度（通常由抽樣誤差衡量）和成本是抽樣設(shè)計(jì)中常見的矛盾。需要分析影響兩者關(guān)系的關(guān)鍵因素，并提出策略。*回答要點(diǎn)：*優(yōu)先考慮效率：在有限的資源下，選擇效率高的抽樣方法。例如，在同樣條件下，分層抽樣通常比簡單隨機(jī)抽樣效率高（所需樣本量更小），可以在較低成本下獲得較高精度。*合理確定精度要求：審視研究的具體需求，區(qū)分哪些問題是“必須精確”的，哪些問題可以“相對粗略”。對于次要問題，可以適當(dāng)放寬精度要求，從而減少樣本量，降低成本。*利用輔助信息：如果能獲取關(guān)于總體的輔助信息（如人口普查數(shù)據(jù)、過往調(diào)查數(shù)據(jù)），可以用于設(shè)計(jì)更有效的抽樣方案，如輔助抽樣或分層抽樣，提高效率，在成本不變或略增的情況下提高精度。*考慮非抽樣成本：評估不同抽樣方法的執(zhí)行難度和成本構(gòu)成（如交通、人員、溝通等）。有時(shí)改變抽樣方法可能不會(huì)顯著增加直接抽樣成本，卻能大幅降低非抽樣成本，間接實(shí)現(xiàn)成本效益。*試點(diǎn)調(diào)查：先進(jìn)行小規(guī)模的試點(diǎn)調(diào)查，評估不同方法的實(shí)施效果和成本，為最終方案的選擇提供依據(jù)。（3）在設(shè)計(jì)抽樣方案時(shí)，除了抽樣方法本身，還需要考慮哪些其他重要因素？*解析思路：一個(gè)完