一、解答題1．（了解概念）在平面直角坐標系中，若，式子的值就叫做線段的“勾股距”，記作．同時，我們把兩邊的“勾股距”之和等于第三邊的“勾股距”的三角形叫做“等距三角形”．（理解運用）在平面直角坐標系中，．（1）線段的“勾股距”；（2）若點在第三象限，且，求并判斷是否為“等距三角形”﹔（拓展提升）（3）若點在軸上，是“等距三角形”，請直接寫出的取值范圍．解析：（1）5；（2）dAC=11，△ABC不是為“等距三角形”；（3）m≥4【分析】（1）根據(jù)兩點之間的直角距離的定義，結合O、P兩點的坐標即可得出結論；（2）根據(jù)兩點之間的直角距離的定義，用含x、y的代數(shù)式表示出來d（O，Q）=4，結合點Q（x，y）在第一象限，即可得出結論；（3）由點N在直線y=x+3上，設出點N的坐標為（m，m+3），通過尋找d（M，N）的最小值，得出點M（2，-1）到直線y=x+3的直角距離．【詳解】解：（1）由“勾股距”的定義知：dOA=|2-0|+|3-0|=2+3=5，故答案為：5；（2）∵dAB=|4-2|+|2-3|=2+1=3，∴2dAB=6，∵點C在第三象限，∴m＜0，n＜0，dOC=|m-0|+|n-0|=|m|+|n|=-m-n=-（m+n），∵dOC=2dAB，∴-（m+n）=6，即m+n=-6，∴dAC=|2-m|+|3-n|=2-m+3-n=5-（m+n）=5+6=11，dBC=|4-m|+|2-m|=4-m+2-n=6-（m+n）=6+6=12，∵5+11≠12，11+12≠5，12+5≠11，∴△ABC不是為“等距三角形”；（3）點C在x軸上時，點C（m，0），則dAC=|2-m|+3，dBC=|4-m|+2，①當m＜2時，dAC=2-m+3=5-m，dBC=4-m+2=6-m，若△ABC是“等距三角形”，∴5-m+6-m=11-2m=3，解得：m=4（不合題意），又∵5-m+3=8-m≠6-m，②當2≤m＜4時，dAC=m-2+3=m+1，dBC=4-m+2=6-m，若△ABC是“等距三角形”，則m+1+6-m=7≠3，6-m+3=m+1，解得：m=4（不和題意），③當m≥4時，dAC=m+1，dBC=m-2，若△ABC是“等距三角形”，則m+1+m-2=3，解得：m=4，m-2+3=m+1恒成立，∴m≥4時，△ABC是“等距三角形”，綜上所述：△ABC是“等距三角形”時，m的取值范圍為：m≥4．【點睛】本題考查坐標與圖形的性質，關鍵是對“勾股距”和“等距三角形”新概念的理解，運用“勾股距”和“等距三角形”解題．2．在平面直角坐標系中描出下列兩組點，分別將每組里的點用線段依次連接起來．第一組：、；第二組：、．（1）線段與線段的位置關系是；（2）在（1）的條件下，線段、分別與軸交于點，.若點為射線上一動點（不與點，重合）．①當點在線段上運動時，連接、，補全圖形，用等式表示、、之間的數(shù)量關系，并證明．②當與面積相等時，求點的坐標．解析：（1）AC∥DE；（2）①∠CAM＋∠MDE＝∠AMD，證明見解析；②點M的坐標為（0，）或（0，）．【分析】（1）根據(jù)兩點的縱坐標相等，連線平行x軸進行判斷即可；（2）①過點M作MN∥AC，運用平行線的判定和性質即可；②設M（0，m），分兩種情況：（i）當點M在線段OB上時，（ii）當點M在線段OB的延長線上時，分別運用三角形面積公式進行計算即可．【詳解】解：（1）∵A（?3，3）、C（4，3），∴AC∥x軸，∵D（?2，?1）、E（2，?1），∴DE∥x軸，∴AC∥DE；（2）①如圖，∠CAM＋∠MDE＝∠AMD．理由如下：過點M作MN∥AC，∵MN∥AC（作圖），∴∠CAM＝∠AMN（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵AC∥DE（已知），∴MN∥DE（平行公理推論），∴∠MDE＝∠NMD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴∠CAM＋∠MDE＝∠AMN＋∠NMD＝∠AMD（等量代換）．②由題意，得：AC＝7，DE＝4，設M（0，m），（i）當點M在線段OB上時，BM＝3?m，F(xiàn)M＝m＋1，∴S△ACM＝AC?BM＝×7×（3?m）＝，S△DEM＝DE?FM＝×4×（m＋1）＝2m＋2，∵S△ACM＝S△DEM，∴＝2m＋2，解得：m＝，∴M（0，）；（ii）當點M在線段OB的延長線上時，BM＝m?3，F(xiàn)M＝m＋1，∴S△ACM＝AC?BM＝×7×（m?3）＝，S△DEM＝DE?FM＝×4×（m＋1）＝2m＋2，∵S△ACM＝S△DEM，∴＝2m＋2，解得：m＝，∴M（0，）；綜上所述，點M的坐標為（0，）或（0，）．【點睛】本題考查了三角形面積，平行坐標軸的直線上的點的坐標的特征，平行線的判定和性質等，解題關鍵是運用數(shù)形結合思想和分類討論思想．3．如圖，A點的坐標為（0，3），B點的坐標為（﹣3，0），D為x軸上的一個動點且不與B，O重合，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得線段AE，使得AE⊥AD，且AE＝AD，連接BE交y軸于點M．（1）如圖，當點D在線段OB的延長線上時，①若D點的坐標為（﹣5，0），求點E的坐標．②求證：M為BE的中點．③探究：若在點D運動的過程中，的值是否是定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．（2）請直接寫出三條線段AO，DO，AM之間的數(shù)量關系（不需要說明理由）．解析：（1）①E（3，﹣2）②見解析；③，理由見解析；（2）OD+OA＝2AM或OA﹣OD＝2AM【分析】（1）①過點E作EH⊥y軸于H．證明△DOA≌△AHE（AAS）可得結論．②證明△BOM≌△EHM（AAS）可得結論．③是定值，證明△BOM≌△EHM可得結論．（2）根據(jù)點D在點B左側和右側分類討論，分別畫出對應的圖形，根據(jù)全等三角形的判定及性質即可分別求出結論．【詳解】解：（1）①過點E作EH⊥y軸于H．∵A（0，3），B（﹣3，0），D（﹣5，0），∴OA＝OB＝3，OD＝5，∵∠AOD＝∠AHE＝∠DAE＝90°，∴∠DAO+∠EAH＝90°，∠EAH+∠AEH＝90°，∴∠DAO＝∠AEH，∴△DOA≌△AHE（AAS），∴AH＝OD＝5，EH＝OA＝3，∴OH＝AH﹣OA＝2，∴E（3，﹣2）．②∵EH⊥y軸，∴∠EHO＝∠BOH＝90°，∵∠BMO＝∠EMH，OB＝EH＝3，∴△BOM≌△EHM（AAS），∴BM＝EM．③結論：＝．理由：∵△DOA≌△AHE，∴OD＝AH，∵OA＝OB，∴BD＝OH，∵△BOM≌△EHM，∴OM＝MH，∴OM＝OH＝BD．（2）結論：OA+OD＝2AM或OA﹣OD＝2AM．理由：當點D在點B左側時，∵△BOM≌△EHM，△DOA≌△AHE∴OM=MH，OD=AH∴OH=2OM，OD－OB=AH－OA∴BD=OH∴BD＝2OM，∴OD﹣OA＝2（AM﹣AO），∴OD+OA＝2AM．當點D在點B右側時，過點E作EH⊥y軸于點H∵∠AOD＝∠AHE＝∠DAE＝90°，∴∠DAO+∠EAH＝90°，∠EAH+∠AEH＝90°，∴∠DAO＝∠AEH，∵AD=AE∴△DOA≌△AHE（AAS），∴EH=AO=3=OB，OD=AH∴∠EHO＝∠BOH＝90°，∵∠BMO＝∠EMH，OB＝EH＝3，∴△BOM≌△EHM（AAS），∴OM＝MH∴OA＋OD=OA＋AH=OH=OM＋MH=2MH=2（AM＋AH）=2（AM＋OD）整理可得OA﹣OD＝2AM．綜上：OA+OD＝2AM或OA﹣OD＝2AM．【點睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質、旋轉的性質和平面直角坐標系，掌握全等三角形的判定及性質、旋轉的性質和點的坐標與線段長度的關系是解決此題的關鍵．4．如圖，以直角三角形AOC的直角頂點O為原點，以OC、OA所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標系，點A（0，a），C（b，0）滿足+|b﹣2|＝0，D為線段AC的中點．在平面直角坐標系中，以任意兩點P（x1，y1）、Q（x2，y2）為端點的線段中點坐標為（，）．（1）則A點的坐標為；點C的坐標為，D點的坐標為．（2）已知坐標軸上有兩動點P、Q同時出發(fā)，P點從C點出發(fā)沿x軸負方向以1個單位長度每秒的速度勻速移動，Q點從O點出發(fā)以2個單位長度每秒的速度沿y軸正方向移動，點Q到達A點整個運動隨之結束．設運動時間為t（t＞0）秒．問：是否存在這樣的t，使S△ODP＝S△ODQ，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．（3）點F是線段AC上一點，滿足∠FOC＝∠FCO，點G是第二象限中一點，連OG，使得∠AOG＝∠AOF．點E是線段OA上一動點，連CE交OF于點H，當點E在線段OA上運動的過程中，請確定∠OHC，∠ACE和∠OEC的數(shù)量關系，并說明理由．解析：（1），，；（2）存在，；（3）【分析】（1）根據(jù)絕對值和算術平方根的非負性，求得a，b的值，得出點A，C的坐標，再運用中點公式求出點D的坐標；（2）根據(jù)題意可得CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，再根據(jù)S△ODP=S△ODQ，列方程求解即可；（3）過點H作HP∥AC交x軸于點P，先證明OG∥AC，再根據(jù)角的和差關系以及平行線性質，得出∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，最后代入可得．【詳解】解：（1），，，，，，，設，為線段的中點．，，，故答案為：，，；（2）存在，．由條件可知：點從點運動到點需要時間為2秒，點從點運動到點需要時間2秒，，點在線段上，，，，，，，，，．（3）如圖2，，，，，，，，如圖，過點作交軸于點，則，，，，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形面積，非負數(shù)的性質，中點坐標公式等，是一道三角形綜合題，解題關鍵是學會添加輔助線，運用轉化的思想思考問題．5．已知A（0，a）、B（b，0），且+（b﹣4）2＝0．（1）直接寫出點A、B的坐標；（2）點C為x軸負半軸上一點滿足S△ABC＝15．①如圖1，平移直線AB經(jīng)過點C，交y軸于點E，求點E的坐標；②如圖2，若點F（m，10）滿足S△ACF＝10，求m．（3）如圖3，D為x軸上B點右側的點，把點A沿y軸負半軸方向平移，過點A作x軸的平行線l，在直線l上取兩點G、H（點H在點G右側），滿足HB＝8，GD＝6．當點A平移到某一位置時，四邊形BDHG的面積有最大值，直接寫出面積的最大值．解析：（1）A（0，5），B（4，0）；（2）①E（0，﹣）；②﹣2或6；（3）24．【分析】（1）根據(jù)二次根式和偶次冪的非負性得出a，b解答即可；（2）①根據(jù)三角形的面積公式得出點C的坐標，根據(jù)平行線的性質解答即可；②延長CA交直線l于點H（a，10），過點H作HM⊥x軸于點M，根據(jù)三角形面積公式解答即可；（3）平移GH到DM，連接HM，根據(jù)三角形面積公式解答即可．【詳解】解：（1）∵，且，（b﹣4）2≥0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，解得：a＝5，b＝4，∴A（0，5），B（4，0）；（2）①連接BE，如圖1，∵，∴BC＝6，∴C（﹣2，0），∵AB∥CE，∴S△ABC＝S△ABE，∴，∴AE＝，∴OE＝，∴E（0，﹣）；②∵F（m，10），∴點F在過點G（0，10）且平行于x軸的直線l上，延長CA交直線l于點H（a，10），過點H作HM⊥x軸于點M，則M（a，0），如圖2，∵S△HCM＝S△ACO+S梯形AOMH，∴，解得：a＝2，∴H（2，10），∵S△AFC＝S△CFH﹣S△AFH，∴，∴FH＝4，∵H（2，10），∴F（﹣2，10）或（6，10），∴m＝﹣2或6；（3）平移GH到DM，連接HM，則GD∥HM，GD＝HM，如圖3，四邊形BDHG的面積＝△BHM的面積，當BH⊥HM時，△BHM的面積最大，其最大值＝．【點睛】本題主要考查圖形與坐標及平移的性質，熟練掌握圖形與坐標及平移的性質是解題的關鍵．6．如圖所示，A（1，0），點B在y軸上，將三角形OAB沿x軸負方向平移，平移后的圖形為三角形DEC，點C的坐標為（﹣3，2）．（1）直接寫出點E的坐標；（2）在四邊形ABCD中，點P從點O出發(fā)，沿OB→BC→CD移動，若點P的速度為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，請解決以下問題；①當t為多少秒時，點P的橫坐標與縱坐標互為相反數(shù)；②當t為多少秒時，三角形PEA的面積為2，求此時P的坐標解析：（1）（-2，0）；（2）①4秒；②（0，）或（-3，）【分析】（1）根據(jù)BC=AE=3，OA=1，推出OE=2，可得結論．（2）①判斷出PB=CD，即可得出結論；②根據(jù)△PEA的面積以及AE求出點P到AE的距離，結合點P的路線可得坐標．【詳解】解：（1）∵C（-3，2），A（1，0），∴BC=3，OA=1，∵BC=AE=3，∴OE=AE-AO=2，∴E（-2，0）；（2）①∵點C的坐標為（-3，2）∴BC=3，CD=2，∵點P的橫坐標與縱坐標互為相反數(shù)；∴點P在線段BC上，∴PB=CD=2，即t=（2+2）÷1=4；∴當t=4秒時，點P的橫坐標與縱坐標互為相反數(shù)；②∵△PEA的面積為2，A（1，0），E（-2，0），∴AE=3，設點P到AE的距離為h∴，∴h=，即點P到AE的距離為，∴點P的坐標為（0，）或（-3，）．【點睛】本題考查坐標與圖形變化-平移，三角形的面積等知識，解本題的關鍵是由線段和部分點的坐標，得出其它點的坐標．7．如圖，直線HDGE，點A在直線HD上，點C在直線GE上，點B在直線HD、GE之間，∠DAB＝120°．（1）如圖1，若∠BCG＝40°，求∠ABC的度數(shù)；（2）如圖2，AF平分∠HAB，BC平分∠FCG，∠BCG＝20°，比較∠B，∠F的大小；（3）如圖3，點P是線段AB上一點，PN平分∠APC，CN平分∠PCE，探究∠HAP和∠N的數(shù)量關系，并說明理由．解析：（1）∠ABC＝100°；（2）∠ABC＞∠AFC；（3）∠N＝90°﹣∠HAP；理由見解析．【分析】（1）過點B作BMHD，則HDGEBM，根據(jù)平行線的性質求得∠ABM與∠CBM，便可求得最后結果；（2）過B作BPHDGE，過F作FQHDGE，由平行線的性質得，∠ABC＝∠HAB+∠BCG，∠AFC＝∠HAF+∠FCG，由角平分線的性質和已知角的度數(shù)分別求得∠HAF，∠FCG，最后便可求得結果；（3）過P作PKHDGE，先由平行線的性質證明∠ABC＝∠HAB+∠BCG，∠AFC＝∠HAF+∠FCG，再根據(jù)角平分線求得∠NPC與∠PCN，由后由三角形內(nèi)角和定理便可求得結果．【詳解】解：（1）過點B作BMHD，則HDGEBM，如圖1，∴∠ABM＝180°﹣∠DAB，∠CBM＝∠BCG，∵∠DAB＝120°，∠BCG＝40°，∴∠ABM＝60°，∠CBM＝40°，∴∠ABC＝∠ABM+∠CBM＝100°；（2）過B作BPHDGE，過F作FQHDGE，如圖2，∴∠ABP＝∠HAB，∠CBP＝∠BCG，∠AFQ＝∠HAF，∠CFQ＝∠FCG，∴∠ABC＝∠HAB+∠BCG，∠AFC＝∠HAF+∠FCG，∵∠DAB＝120°，∴∠HAB＝180°﹣∠DAB＝60°，∵AF平分∠HAB，BC平分∠FCG，∠BCG＝20°，∴∠HAF＝30°，∠FCG＝40°，∴∠ABC＝60°+20°＝80°，∠AFC＝30°+40°＝70°，∴∠ABC＞∠AFC；（3）過P作PKHDGE，如圖3，∴∠APK＝∠HAP，∠CPK＝∠PCG，∴∠APC＝∠HAP+∠PCG，∵PN平分∠APC，∴∠NPC＝∠HAP+∠PCG，∵∠PCE＝180°﹣∠PCG，CN平分∠PCE，∴∠PCN＝90°﹣∠PCG，∵∠N+∠NPC+∠PCN＝180°，∴∠N＝180°﹣∠HAP﹣∠PCG﹣90°+∠PCG＝90°﹣∠HAP，即：∠N＝90°﹣∠HAP．【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線性質和判定：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用，理清各角度之間的關系是解題的關鍵，也是本題的難點．8．已知：ABCD．點E在CD上，點F，H在AB上，點G在AB，CD之間，連接FG，EH，GE，∠GFB＝∠CEH．（1）如圖1，求證：GFEH；（2）如圖2，若∠GEH＝α，F(xiàn)M平分∠AFG，EM平分∠GEC，試問∠M與α之間有怎樣的數(shù)量關系（用含α的式子表示∠M）？請寫出你的猜想，并加以證明．解析：（1）見解析；（2），證明見解析．【分析】（1）由平行線的性質得到，等量代換得出，即可根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”得解；（2）過點作，過點作，根據(jù)平行線的性質及角平分線的定義求解即可．【詳解】（1）證明：，，，，；（2）解：，理由如下：如圖2，過點作，過點作，，，，，，同理，，平分，平分，，，，由（1）知，，，，，，．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質，熟記平行線的判定與性質及作出合理的輔助線是解題的關鍵．9．綜合與探究（問題情境）王老師組織同學們開展了探究三角之間數(shù)量關系的數(shù)學活動（1）如圖1，，點、分別為直線、上的一點，點為平行線間一點，請直接寫出、和之間的數(shù)量關系；（問題遷移）（2）如圖2，射線與射線交于點，直線，直線分別交、于點、，直線分別交、于點、，點在射線上運動，①當點在、（不與、重合）兩點之間運動時，設，．則，，之間有何數(shù)量關系？請說明理由．②若點不在線段上運動時（點與點、、三點都不重合），請你畫出滿足條件的所有圖形并直接寫出，，之間的數(shù)量關系．解析：（1）；（2）①，理由見解析；②圖見解析，或【分析】（1）作PQ∥EF，由平行線的性質，即可得到答案；（2）①過作交于，由平行線的性質，得到，，即可得到答案；②根據(jù)題意，可對點P進行分類討論：當點在延長線時；當在之間時；與①同理，利用平行線的性質，即可求出答案．【詳解】解：（1）作PQ∥EF，如圖：∵，∴，∴，，∵∴；（2）①；理由如下：如圖，過作交于，∵，∴，∴，，∴；②當點在延長線時，如備用圖1：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPC=，∠EPD=，∴；當在之間時，如備用圖2：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPD=，∠CPE=，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握兩直線平行同旁內(nèi)角互補，兩直線平行內(nèi)錯角相等，從而得到角的關系．10．如圖，已知直線射線，．是射線上一動點，過點作交射線于點，連接．作，交直線于點，平分．（1）若點，，都在點的右側．①求的度數(shù)；②若，求的度數(shù)．（不能使用“三角形的內(nèi)角和是”直接解題）（2）在點的運動過程中，是否存在這樣的偕形，使？若存在，直接寫出的度數(shù)；若不存在．請說明理由．解析：（1）①35°；（2）55°；（2）存在，或【分析】（1）①依據(jù)平行線的性質以及角平分線的定義，即可得到∠PCG的度數(shù)；②依據(jù)平行線的性質以及角平分線的定義，即可得到∠ECG=∠GCF=20°，再根據(jù)PQ∥CE，即可得出∠CPQ=∠ECP=60°；（2）設∠EGC=3x，∠EFC=2x，則∠GCF=3x-2x=x，分兩種情況討論：①當點G、F在點E的右側時，②當點G、F在點E的左側時，依據(jù)等量關系列方程求解即可．【詳解】解：（1）①∵AB∥CD，∴∠CEB+∠ECQ=180°，∵∠CEB=110°，∴∠ECQ=70°，∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，∴∠PCG＝∠PCF+∠FCG＝∠QCF+∠FCE＝∠ECQ＝35°；②∵AB∥CD，∴∠QCG=∠EGC，∵∠QCG+∠ECG=∠ECQ=70°，∴∠EGC+∠ECG=70°，又∵∠EGC-∠ECG=30°，∴∠EGC=50°，∠ECG=20°，∴∠ECG=∠GCF=20°，∠PCF＝∠PCQ＝(70°?40°)＝15°，∵PQ∥CE，∴∠CPQ=∠ECP=∠ECQ-∠PCQ=70°-15°=55°．（2）52.5°或7.5°，設∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，①當點G、F在點E的右側時，∵AB∥CD，∴∠QCG=∠EGC=3x°，∠QCF=∠EFC=2x°，則∠GCF=∠QCG-∠QCF=3x°-2x°=x°，∴∠PCF＝∠PCQ＝∠FCQ＝∠EFC＝x°，則∠ECG=∠GCF=∠PCF=∠PCD=x°，∵∠ECD=70°，∴4x=70°，解得x=17.5°，∴∠CPQ=3x=52.5°；②當點G、F在點E的左側時，反向延長CD到H，∵∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，∴∠GCH=∠EGC=3x°，∠FCH=∠EFC=2x°，∴∠ECG=∠GCF=∠GCH-∠FCH=x°，∵∠CGF=180°-3x°，∠GCQ=70°+x°，∴180-3x=70+x，解得x=27.5，∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=27.5°×2+70°=125°，∴∠PCQ＝∠FCQ＝62.5°，∴∠CPQ=∠ECP=62.5°-55°=7.5°，【點睛】本題主要考查了平行線的性質，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關鍵．11．綜合與實踐背景閱讀：在同一平面內(nèi)，兩條不重合的直線的位置關系有相交、平行，若兩條不重合的直線只有一個公共點，我們就說這兩條直線相交，若兩條直線不相交，我們就說這兩條直線互相平行兩條直線的位置關系的性質和判定是幾何的重要知識，是初中階段幾何合情推理的基礎．已知：AM∥CN，點B為平面內(nèi)一點，AB⊥BC于B．問題解決：（1）如圖1，直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關系；（2）如圖2，過點B作BD⊥AM于點D，求證：∠ABD＝∠C；（3）如圖3，在（2）問的條件下，點E、F在DM上，連接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，則∠EBC＝．解析：（1）；（2）見解析；（3）105°【分析】（1）通過平行線性質和直角三角形內(nèi)角關系即可求解．（2）過點B作BG∥DM，根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解．（3）利用（2）的結論，結合角平分線性質即可求解．【詳解】解：（1）如圖1，設AM與BC交于點O,∵AM∥CN，∴∠C＝∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠A＋∠AOB＝90°，∠A＋∠C＝90°，故答案為：∠A＋∠C＝90°；（2）證明：如圖2，過點B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG＝90°，∴∠ABD＋∠ABG＝90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG＋∠ABG＝90°，∴∠ABD＝∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C＝∠CBG，∴∠ABD＝∠C；（3）如圖3，過點B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）知∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，設∠DBE＝α，∠ABF＝β，則∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝∠AFB＝β，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α＋β，∵∠AFC＋∠NCF＝180°，∠FCB＋∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α＋β，△BCF中，由∠CBF＋∠BFC＋∠BCF＝180°得：2α＋β＋3α＋3α＋β＝180°，∵AB⊥BC，∴β＋β＋2α＝90°，∴α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE＋∠ABC＝15°＋90°＝105°．故答案為：105°．【點睛】本題考查平行線性質，畫輔助線，找到角的和差倍分關系是求解本題的關鍵．12．已知AB∥CD，線段EF分別與AB，CD相交于點E，F(xiàn)．（1）請在橫線上填上合適的內(nèi)容，完成下面的解答：如圖1，當點P在線段EF上時，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度數(shù)；解：過點P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是；因為AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是；所以∠C＝（），所以∠APC＝（）+（）＝∠A+∠C＝97°．（2）當點P，Q在線段EF上移動時（不包括E，F(xiàn)兩點）：①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立嗎？請說明理由；②如圖3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，請直接寫出∠M，∠A與∠C的數(shù)量關系．解析：（1）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由見解答過程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質即可完成填空；（2）結合（1）的輔助線方法即可完成證明；（3）結合（1）（2）的方法，根據(jù)∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可證明∠PMQ，∠A與∠C的數(shù)量關系．【詳解】解：過點P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是兩直線平行，內(nèi)錯角相等；因為AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是平行于同一條直線的兩條直線平行；所以∠C＝（∠CPH），所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：過點P作直線PH∥AB，QG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；②如圖3，過點P作直線PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【點睛】考核知識點：平行線的判定和性質．熟練運用平行線性質和判定，添加適當輔助線是關鍵．13．如圖，已知直線，點在直線上，點在直線上，點在點的右側，平分平分，直線交于點．（1）若時，則___________；（2）試求出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（3）將線段向右平行移動，其他條件不變，請畫出相應圖形，并直接寫出的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）解析：（1）60°；（2）n°+40°；（3）n°+40°或n°-40°或220°-n°【分析】（1）過點E作EF∥AB，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，即可求∠BED的度數(shù)；（2）同（1）中方法求解即可；（3）分當點B在點A左側和當點B在點A右側，再分三種情況，討論，分別過點E作EF∥AB，由角平分線的定義，平行線的性質，以及角的和差計算即可．【詳解】解：（1）當n=20時，∠ABC=40°，過E作EF∥AB，則EF∥CD，∴∠BEF=∠ABE，∠DEF=∠CDE，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠BEF=∠ABE=20°，∠DEF=∠CDE=40°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=60°；（2）同（1）可知：∠BEF=∠ABE=n°，∠DEF=∠CDE=40°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=n°+40°；（3）當點B在點A左側時，由（2）可知：∠BED=n°+40°；當點B在點A右側時，如圖所示，過點E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=2n°，∠ADC=80°，∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDG=∠ADC=40°，∵AB∥CD∥EF，∴∠BEF=∠ABE=n°，∠CDG=∠DEF=40°，∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°；如圖所示，過點E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=2n°，∠ADC=80°，∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDG=∠ADC=40°，∵AB∥CD∥EF，∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEF=40°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°-n°+40°=220°-n°；如圖所示，過點E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=70°，∴∠ABG=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，∵AB∥CD∥EF，∴∠BEF=∠ABG=n°，∠CDE=∠DEF=40°，∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°；綜上所述，∠BED的度數(shù)為n°+40°或n°-40°或220°-n°．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質，以及角平分線的定義，正確應用平行線的性質得出各角之間關系是解題關鍵．14．如圖，已知//，點是射線上一動點（與點不重合），分別平分和，分別交射線于點．（1）當時，的度數(shù)是_______；（2）當，求的度數(shù)（用的代數(shù)式表示）；（3）當點運動時，與的度數(shù)之比是否隨點的運動而發(fā)生變化?若不變化，請求出這個比值；若變化，請寫出變化規(guī)律．（4）當點運動到使時，請直接寫出的度數(shù)．解析：（1）120°；（2）90°-x°；（3）不變，；（4）45°【分析】（1）由平行線的性質：兩直線平行同旁內(nèi)角互補可得；（2）由平行線的性質可得∠ABN=180°-x°，根據(jù)角平分線的定義知∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP=180°-x°，即∠CBD=∠CBP+∠DBP=90°-x°；（3）由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，根據(jù)BD平分∠PBN知∠PBN=2∠DBN，從而可得∠APB：∠ADB=2：1；（4）由AM∥