2025年下學期高中正態(tài)分布試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）下列關于正態(tài)分布的說法中，正確的是（）A.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖像一定關于y軸對稱B.若隨機變量X~N(μ,σ2)，則μ越大，正態(tài)曲線越“矮胖”C.正態(tài)曲線與x軸圍成的面積隨參數(shù)σ的增大而減小D.服從正態(tài)分布的隨機變量取值落在區(qū)間(μ-σ,μ+σ)內的概率與μ無關已知隨機變量X~N(3,4)，則該正態(tài)分布的標準差為（）A.1B.2C.3D.4若正態(tài)曲線的函數(shù)解析式為$f(x)=\frac{1}{\sqrt{8\pi}}e^{-\frac{(x-2)^2}{8}}$，則該正態(tài)分布的均值μ和方差σ2分別為（）A.μ=2，σ2=2B.μ=2，σ2=4C.μ=-2，σ2=2D.μ=-2，σ2=4設隨機變量X~N(μ,σ2)，其正態(tài)曲線如圖所示，則下列結論正確的是（）（注：圖中曲線關于x=1對稱，且在x=1處的縱坐標為$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$）A.μ=1，σ=1B.μ=1，σ=2C.μ=2，σ=1D.μ=2，σ=2已知隨機變量X~N(0,1)，則P(X≤0)的值為（）A.0B.0.3413C.0.5D.0.6826若隨機變量X~N(5,σ2)，且P(X≤3)=0.1587，則P(3<X≤7)的值為（）A.0.3174B.0.6826C.0.8413D.0.9544某班學生的數(shù)學成績近似服從正態(tài)分布N(100,25)，則該班數(shù)學成績在90分至110分之間的學生人數(shù)約占總人數(shù)的（）A.68.26%B.95.44%C.99.74%D.31.74%已知隨機變量X~N(μ,σ2)，且P(X>μ+2σ)=0.0228，則P(X<μ-2σ)的值為（）A.0.0228B.0.4772C.0.9544D.0.9772某工廠生產的零件長度X~N(50,0.04)（單位：mm），現(xiàn)從該廠生產的零件中隨機抽取一件，則該零件長度落在(49.4,50.6)內的概率為（）A.0.6826B.0.9544C.0.9974D.0.9999設隨機變量X~N(μ,σ2)，若P(X>μ+a)=P(X<μ-a)，則a的值為（）A.0B.σC.2σD.3σ在某次物理考試中，學生成績X~N(75,100)，若規(guī)定85分及以上為優(yōu)秀，則成績優(yōu)秀的學生人數(shù)約占總人數(shù)的（）A.15.87%B.31.74%C.68.26%D.84.13%已知隨機變量X~N(2,σ2)，且P(2<X≤4)=0.3413，則σ的值為（）A.1B.2C.3D.4二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若隨機變量X~N(μ,σ2)，且E(X)=3，D(X)=2，則μ=，σ2=。已知正態(tài)分布N(μ,σ2)的概率密度函數(shù)為$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-1)^2}{2\sigma^2}}$，若該正態(tài)曲線在x=1處的峰值為$\frac{1}{2\sqrt{\pi}}$，則σ=______。某地區(qū)高二學生的身高X~N(165,25)（單位：cm），現(xiàn)從該地區(qū)隨機抽取一名高二學生，則其身高超過175cm的概率為______。設隨機變量X~N(μ,σ2)，且P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974，若P(X>μ+3σ)=a，則P(X<μ-3σ)=______（用含a的代數(shù)式表示）。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）已知隨機變量X~N(0,1)，求：（1）P(X≤1)；（2）P(-1<X≤2)。（12分）某工廠生產的電子元件壽命X（單位：小時）服從正態(tài)分布N(1000,2500)。（1）求該電子元件壽命在950小時至1050小時之間的概率；（2）若該工廠規(guī)定壽命低于850小時的電子元件為不合格品，求該電子元件的不合格率。（12分）某校高三年級學生的數(shù)學模擬考試成績X~N(120,100)（滿分150分）。（1）求成績在110分至130分之間的概率；（2）若該校高三年級共有1000名學生，估計成績在130分以上的學生人數(shù)。（12分）已知隨機變量X~N(μ,σ2)，且P(X≤μ-σ)=0.1587，P(X≤μ+2σ)=0.9772。（1）求P(μ-σ<X≤μ+2σ)；（2）若μ=5，σ=2，求P(1<X≤9)。（12分）某商場銷售的某品牌洗衣機的使用壽命X（單位：年）服從正態(tài)分布N(8,4)。（1）求該洗衣機使用壽命在6年至10年之間的概率；（2）若該商場承諾：洗衣機售出后3年內出現(xiàn)質量問題可免費更換，求該商場需要免費更換洗衣機的概率。（12分）在某次英語考試中，某校學生的成績X~N(80,64)。（1）若規(guī)定成績在96分及以上為“優(yōu)秀”，成績在64分至96分之間為“良好”，成績低于64分為“不及格”，求該校學生成績?yōu)椤皟?yōu)秀”“良好”“不及格”的概率分別是多少？（2）若該校共有500名學生參加考試，估計成績?yōu)椤傲己谩钡膶W生人數(shù)。參考答案及評分標準（注：實際試卷中無需提供答案，此處僅為示例完整性添加）一、選擇題D2.B3.B4.A5.C6.B7.B8.A9.C10.A11.A12.B二、填空題3，214.$\sqrt{2}$15.0.022816.a三、解答題解：（1）∵X~N(0,1)，∴P(X≤1)=Φ(1)=0.8413。（5分）（2）P(-1<X≤2)=Φ(2)-Φ(-1)=Φ(2)-[1-Φ(1)]=0.9772-(1-0.8413)=0.8185。（10分）解：（1）∵X~N(1000,2500)，∴μ=1000，σ=50。P(950<X≤1050)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826。（6分）（2）P(X<850)=P(X≤μ-3σ)=0.0013，故不合格率為0.13%。（12分）解：（1）∵X~N(120,100)，∴μ=120，σ=10。P(110<X≤130)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826。（6分）（2）P(X>130)=P(X>μ+σ)=$\frac{1-0.6826}{2}$=0.1587，故成績在130分以上的學生人數(shù)約為1000×0.1587≈159人。（12分）解：（1）P(μ-σ<X≤μ+2σ)=P(X≤μ+2σ)-P(X≤μ-σ)=0.9772-0.1587=0.8185。（6分）（2）∵μ=5，σ=2，∴μ-2σ=1，μ+2σ=9，P(1<X≤9)=P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544。（12分）解：（1）∵X~N(8,4)，∴μ=8，σ=2。P(6<X≤10)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826。（6分）（2）P(X<3)=P(X≤μ-2.5σ)，∵μ-2.5σ=8-5=3，查標準正態(tài)分布表得Φ(-2.5)=0.0062，故免費更換概率為0.62%。（12分）解：（1）∵X~N(80,64)，∴μ=80，σ=8。