2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽市隊(duì)選拔試卷一、填空題（本大題共8小題，每小題8分，共64分）已知正實(shí)數(shù)$a,b$滿(mǎn)足$\log_2(a+1)+\log_4(b^2+1)=2$，且$a+b=5$，則$ab=$_________數(shù)列${a_n}$滿(mǎn)足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2}$，其前$n$項(xiàng)和為$S_n$，則$\lim_{n\to\infty}nS_n=$_________已知集合$A={x\midx^2-4x+3<0}$，$B={x\mid\log_2(x-1)\leq1}$，定義集合$A\oplusB={x\midx\inA\cupB且x\notinA\capB}$，則集合$A\oplusB$的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)________在三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$\angleBAC=120^\circ$，$PA=3$，則該三棱錐外接球的表面積為_(kāi)________復(fù)數(shù)$z$滿(mǎn)足$|z|=1$，且$\arg(z)=\alpha$，$\arg(z^2+z)=\beta$，若$\beta-\alpha=\frac{\pi}{3}$，則$\sin\alpha=$_________已知橢圓$C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$與橢圓$C_2:\frac{x^2}{a^2+4}+\frac{y^2}{b^2+1}=1$有相同的焦點(diǎn)$F_1,F_2$，點(diǎn)$P$是橢圓$C_1$上的動(dòng)點(diǎn)，則$\trianglePF_1F_2$面積的最大值為_(kāi)________已知向量$\vec{a},\vec,\vec{c}$滿(mǎn)足$|\vec{a}|=|\vec|=|\vec{c}|=1$，且$\vec{a}+\vec+\vec{c}=\vec{0}$，則$\vec{a}\cdot\vec+\vec\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}=$_________從1,2,3,4,5,6這六個(gè)數(shù)字中，任取三個(gè)不同的數(shù)字組成三位數(shù)，記"這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)"為事件$A$，"這個(gè)三位數(shù)能被3整除"為事件$B$，則$P(B|A)=$_________二、解答題（本大題共3小題，第9題16分，第10、11題各20分，共56分）已知函數(shù)$f(x)=\sin^2x+\sinx\cosx-\cos^2x$，$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$。（1）求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若$f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求$x$的值。已知雙曲線(xiàn)$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的離心率為$\sqrt{3}$，右焦點(diǎn)為$F$，過(guò)點(diǎn)$F$的直線(xiàn)$l$與雙曲線(xiàn)$C$交于$A,B$兩點(diǎn)。（1）求雙曲線(xiàn)$C$的漸近線(xiàn)方程；（2）若直線(xiàn)$l$的斜率為1，且$|AB|=4\sqrt{6}$，求雙曲線(xiàn)$C$的方程；（3）設(shè)點(diǎn)$M(0,b)$，若$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$，求直線(xiàn)$l$的斜率。已知函數(shù)$f(x)=|x^2-2ax+a|(x\in\mathbb{R})$，其中$a$為常數(shù)。（1）當(dāng)$a=1$時(shí)，求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[0,2]$上的最大值為$a^2$，求$a$的取值范圍；（3）若關(guān)于$x$的方程$f(x)=2$有四個(gè)不相等的實(shí)根，求$a$的取值范圍。三、附加題（本大題共4小題，每小題40分，共160分）如圖，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$的中點(diǎn)，$E$是$\triangleABC$外接圓上一點(diǎn)，且$AE\perpBE$，連接$DE$。求證：$DE\perpAC$。已知多項(xiàng)式$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$的四個(gè)根均為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足$\alpha+\beta+\gamma+\delta=6$，$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2=10$。（1）求$b$的取值范圍；（2）若$\alpha\beta=\gamma\delta$，求$d$的最大值。設(shè)正整數(shù)$n\geq2$，$a_1,a_2,\cdots,a_n$是$1,2,\cdots,n$的一個(gè)排列。定義數(shù)列${b_k}$：$b_k=|a_1+a_2+\cdots+a_k-k\cdot\frac{n+1}{2}|$，$k=1,2,\cdots,n$。求$\max{b_1,b_2,\cdots,b_n}$的最小值。設(shè)$S$是所有正整數(shù)構(gòu)成的集合，對(duì)于正整數(shù)$m,n$，定義$m\simn$當(dāng)且僅當(dāng)$m$和$n$的素因數(shù)集合相同（允許有不同的重?cái)?shù)）。（1）證明：$\sim$是$S$上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系；（2）求等價(jià)類(lèi)$[6]$中元素的個(gè)數(shù)；（3）對(duì)于每個(gè)等價(jià)類(lèi)$C$，定義$f(C)=\min{k\midk\inC}$，求$f(C)=12$的等價(jià)類(lèi)$C$中元素的個(gè)數(shù)。已知數(shù)列${a_n}$滿(mǎn)足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{a_n^2+2}{2a_n}(n\in\mathbb{N}^)$。（1）證明：數(shù)列${a_n}$是單調(diào)遞減數(shù)列；（2）證明：$a_n>\sqrt{2}-\frac{1}{2^{n-1}}$對(duì)一切$n\in\mathbb{N}^$成立；（3）設(shè)$b_n=a_n-\sqrt{2}$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n^2}$的值。已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{a}{x}(a\in\mathbb{R})$。（1）討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性；（2）若函數(shù)$f(x)$有兩個(gè)不同的零點(diǎn)$x_1,x_2$，求證：$x_1+x_2>2e^{-1}$；（3）設(shè)$g(x)=f(x)-\frac{1}{2}x$，若存在$x_1,x_2\in(0,+\infty)$，且$x_1\neqx_2$，使得$g(x_1)=g(x_2)$，求證：$x_1+x_2>4$。已知橢圓$\Gamma:\frac{x^2}{4}+y^2=1$，點(diǎn)$P(0,t)(t>0)$，過(guò)點(diǎn)$P$的直線(xiàn)$l$與橢圓$\Gamma$交于$A,B$兩點(diǎn)，點(diǎn)$Q$與點(diǎn)$A$關(guān)于$y$軸對(duì)稱(chēng)。（1）求證：直線(xiàn)$QB$恒過(guò)定點(diǎn)；（2）設(shè)直線(xiàn)$QB$與橢圓$\Gamma$的另一個(gè)交點(diǎn)為$C$，求$\triangleABC$面積的最大值。設(shè)$n$為正整數(shù)，$S={1,2,\cdots,n}$，$A,B$是$S$的兩個(gè)非空子集，且滿(mǎn)足$A\capB=\varnothing$，$A\cupB=S$。定義$d(A,B)=\sum_{a\inA}a-\sum_{b\inB}b$。求$|d(A,B)|$的最大值。已知數(shù)列${a_n}$滿(mǎn)足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}(n\in\mathbb{N}^)$。（1）證明：$a_n\geq\sqrt{2n-1}$對(duì)一切$n\in\mathbb{N}^$成立；（2）證明：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2