2025年下學期初中數(shù)學證明題演繹推理試卷一、基礎證明題（共3小題，每題10分）1.等腰三角形性質證明題目：如圖1，在△ABC中，AB=AC，AD是底邊BC上的中線。求證：AD平分∠BAC且AD⊥BC。證明過程：∵AB=AC（已知），∴△ABC是等腰三角形（等腰三角形定義）?！逜D是底邊BC上的中線（已知），∴BD=DC（中線定義）。在△ABD和△ACD中，∵AB=AC（已知），BD=DC（已證），AD=AD（公共邊），∴△ABD≌△ACD（SSS全等判定定理）?！唷螧AD=∠CAD（全等三角形對應角相等），即AD平分∠BAC（角平分線定義）。又∵∠ADB=∠ADC（全等三角形對應角相等），且∠ADB+∠ADC=180°（平角定義），∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC（垂直定義）。2.平行四邊形判定證明題目：如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥CD，且對角線AC與BD交于點O，OA=OC。求證：四邊形ABCD是平行四邊形。證明過程：∵AB∥CD（已知），∴∠OAB=∠OCD（兩直線平行，內錯角相等）。在△AOB和△COD中，∵∠OAB=∠OCD（已證），OA=OC（已知），∠AOB=∠COD（對頂角相等），∴△AOB≌△COD（ASA全等判定定理）?！郃B=CD（全等三角形對應邊相等）?！逜B∥CD且AB=CD（已證），∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。3.圓的切線性質證明題目：如圖3，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C的直線l與AB的延長線交于點D，且∠ACD=∠ABC。求證：直線l是⊙O的切線。證明過程：連接OC（輔助線作法）?！逜B是⊙O的直徑（已知），∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角）?！唷螦BC+∠BAC=90°（直角三角形兩銳角互余）?！逴A=OC（半徑相等），∴∠OAC=∠OCA（等邊對等角）?！摺螦CD=∠ABC（已知），∴∠ACD+∠OCA=∠ABC+∠BAC=90°（等量代換），即∠OCD=90°?！郞C⊥CD（垂直定義）。∵OC是⊙O的半徑（已知），∴直線l是⊙O的切線（切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線）。二、中檔綜合題（共2小題，每題15分）4.三角形中位線定理應用題目：如圖4，在△ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，連接DE、EF、FD。（1）求證：△DEF∽△CBA；（2）若△ABC的周長為18cm，求△DEF的周長。證明與解答：（1）∵D、E分別是AB、BC的中點（已知），∴DE是△ABC的中位線（中位線定義）?！郉E∥AC且DE=1/2AC（三角形中位線定理）。同理可證：EF∥AB且EF=1/2AB，F(xiàn)D∥BC且FD=1/2BC?！逥E∥AC，EF∥AB（已證），∴四邊形ADEF是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）?！唷螮DF=∠A（平行四邊形對角相等）。同理可證：∠DEF=∠B，∠DFE=∠C。在△DEF和△CBA中，∵∠EDF=∠A，∠DEF=∠B，∠DFE=∠C（已證），∴△DEF∽△CBA（AAA相似判定定理）。（2）∵△DEF∽△CBA（已證），且相似比為1/2（中位線性質），∴△DEF的周長=1/2×△ABC的周長（相似三角形周長比等于相似比）?！摺鰽BC的周長為18cm（已知），∴△DEF的周長=1/2×18=9cm。5.幾何動態(tài)問題證明題目：如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點P從點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為1cm/s；同時點Q從點C出發(fā)沿CB方向向點B勻速運動，速度為2cm/s。設運動時間為t秒（0＜t＜4）。（1）用含t的代數(shù)式表示線段PC和CQ的長度；（2）當t為何值時，△PCQ與△ACB相似？解答過程：（1）根據(jù)題意，AP=1×t=t（cm），CQ=2×t=2t（cm）?！逜C=6cm（已知），∴PC=AC-AP=6-t（cm）。（2）∵∠C=∠C=90°（公共角），∴分兩種情況討論△PCQ與△ACB相似：情況1：PC/AC=CQ/CB，即（6-t）/6=2t/8，解得：8（6-t）=12t，48-8t=12t，20t=48，t=2.4。情況2：PC/CB=CQ/AC，即（6-t）/8=2t/6，解得：6（6-t）=16t，36-6t=16t，22t=36，t=18/11≈1.64?！?＜t＜4（已知），∴t=2.4或t=18/11時，△PCQ與△ACB相似。三、壓軸探究題（共1小題，20分）6.四邊形與圓的綜合證明題目：如圖6，四邊形ABCD內接于⊙O，對角線AC⊥BD，垂足為E，點F是BC的中點，連接EF并延長交AD于點G。（1）求證：EG⊥AD；（2）若AB=CD，求證：四邊形ABCD是等腰梯形。證明過程：（1）∵AC⊥BD（已知），∴△BEC是直角三角形（直角三角形定義）?！逨是BC的中點（已知），∴EF=1/2BC（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半）。同理，在Rt△BEC中，BF=FC=EF，∴∠FEB=∠FBE（等邊對等角）?！摺螰BE+∠ECB=90°（直角三角形兩銳角互余），∠ECB=∠ADB（同弧所對的圓周角相等），∴∠FEB+∠ADB=90°。∵∠FEB=∠DEG（對頂角相等），∴∠DEG+∠ADB=90°，即∠EGD=90°，∴EG⊥AD（垂直定義）。（2）∵AB=CD（已知），∴弧AB=弧CD（等弦對等?。！嗷B+弧BC=弧CD+弧BC（等式性質），即弧ABC=弧DCB。∴∠ADC=∠BAD（等弧所對的圓周角相等）?！咚倪呅蜛BCD內接于⊙O（已知），∴∠ABC+∠ADC=180°（圓內接四邊形對角互補），∠BAD+∠BCD=180°（同理）?！摺螦DC=∠BAD（已證），∴∠ABC=∠BCD（等量代換）?！郃D∥BC（同旁內角互補，兩直線平行）?！逜B=CD且AD∥BC（已證），∴四邊形ABCD是等腰梯形（等腰梯形定義：一組對邊平行且另一組對邊相等的四邊形是等腰梯形）。四、附加開放題（共1小題，10分）7.構造輔助線證明題目：如圖7，在△ABC中，AB=AC，點D在AC的延長線上，且BD=BC。請你添加一個條件（不添加新的字母或線段），并證明∠ABD=2∠ABC。參考答案：添加條件：CD=BC。證明：∵BD=BC（已知），CD=BC（添加條件），∴BD=CD=BC（等量代換），∴△BCD是等邊三角形（等邊三角形定義）?！唷螧CD=60°（等邊三角形內角為60°）?！逜B=AC（已知），∴∠ABC=∠ACB（等邊對等角）?！摺螦CB+∠BCD=180°（平角定義），∴∠ACB=180°-60°=120°，∴∠ABC=120°（等量代換）?！摺螦BD=∠ABC+∠CBD（角的和差定義），∠CBD=60°（等邊三角形內角），∴∠ABD=120°+60°=180°，但∠ABD不可能為180°，因此該條件錯誤。正確添加條件：AD=2AC。證明：設AC=AB=x，則AD=2x（添加條件），∴CD=AD-AC=2x-x=x，∴CD=AC=x?！連D=BC（已知），設∠ABC=∠ACB=α，則∠BAC=180°-2α（三角形內角和定理）。在△BCD中，BC=BD，∴∠BDC=∠BCD（等邊對等角）。∵∠BCD=180°-α（平角定義），∴∠BDC=180°-α，∴∠DBC=180°-2（180°-α）=2α-180°?！摺螦BD=∠ABC+∠DBC=α+（2α-180°）=3α-180°，又∵∠BAC=180°-2α=∠BAD，在△ABD中，∠ABD+∠BAD+∠ADB=180°，即（3α-180°）+（180°-2α）+（180°-α）=180°，解得α=60°，∴∠ABD=3×60°-1