2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)規(guī)律探索性問題試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.觀察下列等式：(1=1^2)(1+3=2^2)(1+3+5=3^2)(1+3+5+7=4^2)…根據(jù)以上規(guī)律，第(n)個等式應(yīng)為（）A.(1+3+5+...+(2n-1)=n^2)B.(1+3+5+...+(2n+1)=n^2)C.(1+3+5+...+(n-1)=n^2)D.(1+3+5+...+(n+1)=n^2)2.如圖是一組有規(guī)律的圖案，第1個圖案由4個基礎(chǔ)圖形組成，第2個圖案由7個基礎(chǔ)圖形組成，第3個圖案由10個基礎(chǔ)圖形組成，…，則第(n)個圖案中基礎(chǔ)圖形的個數(shù)為（）（圖案示意：第1個：△△△△；第2個：△△△△△△△；第3個：△△△△△△△△△△）A.(3n)B.(3n+1)C.(4n-1)D.(4n+1)3.已知一列數(shù)：(2)，(5)，(10)，(17)，(26)，…，按此規(guī)律，第(10)個數(shù)是（）A.(82)B.(91)C.(101)D.(112)4.日歷表中，任意圈出同一列上相鄰的三個數(shù)，設(shè)中間的數(shù)為(x)，則這三個數(shù)的和不可能是（）A.(30)B.(45)C.(57)D.(64)5.觀察下列圖形與等式的關(guān)系：圖1：(1=1^3)圖2：(3+5=2^3)圖3：(7+9+11=3^3)圖4：(13+15+17+19=4^3)…根據(jù)以上規(guī)律，圖7中所有數(shù)字之和為（）A.(343)B.(216)C.(125)D.(64)6.定義一種新運算“(※)”：(a※b=a^2-b)，則(3※(2※1))的值為（）A.(4)B.(5)C.(6)D.(7)7.如圖，將一張長方形紙片對折，可得到1條折痕；對折兩次，可得到3條折痕；對折三次，可得到7條折痕；…，則對折(n)次后折痕的條數(shù)為（）A.(2n-1)B.(2^n-1)C.(n^2)D.(n^2-1)8.觀察下列分?jǐn)?shù)數(shù)列：(\frac{1}{2})，(\frac{2}{5})，(\frac{3}{10})，(\frac{4}{17})，(\frac{5}{26})，…，則第8個數(shù)是（）A.(\frac{8}{61})B.(\frac{8}{63})C.(\frac{8}{65})D.(\frac{8}{67})9.如圖，用相同的小正方形按規(guī)律擺圖案，第1個圖案有5個小正方形，第2個圖案有11個小正方形，第3個圖案有19個小正方形，…，則第(n)個圖案中小正方形的個數(shù)為（）（圖案示意：第1個：5個；第2個：5+6=11個；第3個：11+8=19個）A.(n^2+4n)B.(n^2+2n+2)C.(n^2+4n+1)D.(n^2+3n+1)10.已知一列數(shù)：(a_1=1)，(a_2=1+2)，(a_3=1+2+3)，(a_4=1+2+3+4)，…，則(a_{100})的值為（）A.(5050)B.(5151)C.(10100)D.(10201)二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11.觀察下列等式：(1×2=\frac{1×2×3}{3})(1×2+2×3=\frac{2×3×4}{3})(1×2+2×3+3×4=\frac{3×4×5}{3})…根據(jù)以上規(guī)律，(1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)=)__________．12.如圖是一組有規(guī)律的點陣圖，第1個圖有1個點，第2個圖有5個點，第3個圖有11個點，第4個圖有19個點，…，則第(n)個圖中點的個數(shù)為__________．13.已知一列數(shù)：(3)，(6)，(11)，(18)，(27)，…，按此規(guī)律，第(n)個數(shù)是__________．14.如圖，將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，若有序數(shù)對((m,n))表示第(m)行第(n)個數(shù)，則數(shù)(2025)對應(yīng)的有序數(shù)對是__________．第1行：1第2行：23第3行：456第4行：78910…15.觀察下列等式：(2^1=2)，(2^2=4)，(2^3=8)，(2^4=16)，(2^5=32)，…，則(2^{2025})的個位數(shù)字是__________．16.如圖，用黑白兩種顏色的正六邊形地磚按規(guī)律鋪地面，第1個圖案有6塊白色地磚，第2個圖案有10塊白色地磚，第3個圖案有14塊白色地磚，…，則第(n)個圖案中白色地磚的塊數(shù)為__________．17.定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列({a_n})是等和數(shù)列，且(a_1=2)，公和為5，則(a_{2025})的值為__________．18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(A_1(1,0))，(A_2(1,1))，(A_3(-1,1))，(A_4(-1,-1))，(A_5(2,-1))，(A_6(2,2))，…，按此規(guī)律，點(A_{2025})的坐標(biāo)是__________．三、解答題（本大題共5小題，共58分）19.（10分）觀察下列等式：(1^2=1)(1^2-2^2=-(1+2))(1^2-2^2+3^2=1+2+3)(1^2-2^2+3^2-4^2=-(1+2+3+4))…（1）根據(jù)以上規(guī)律，寫出第5個等式：__________；（2）用含(n)的代數(shù)式表示第(n)個等式，并證明你的結(jié)論．20.（12分）如圖，用長度相等的小木棒按規(guī)律擺圖形：第1個圖形：用6根小木棒，擺出1個六邊形；第2個圖形：用15根小木棒，擺出3個六邊形；第3個圖形：用28根小木棒，擺出6個六邊形；…（1）第4個圖形需要多少根小木棒？擺出多少個六邊形？（2）第(n)個圖形需要多少根小木棒？擺出多少個六邊形？（3）若某圖形用了181根小木棒，求該圖形中六邊形的個數(shù)．21.（12分）已知一列數(shù)：(a_1=1)，(a_2=1+2)，(a_3=1+2+3)，(a_4=1+2+3+4)，…，(a_n=1+2+...+n)．（1）求(a_5)，(a_6)的值；（2）計算(a_{100}-a_{99})的值；（3）若(a_n=5050)，求(n)的值．22.（12分）如圖，將邊長為1的正方形紙片按如圖所示的規(guī)律折疊：第1次折疊：將正方形紙片沿對角線折疊，得到1個等腰直角三角形；第2次折疊：將等腰直角三角形沿斜邊上的高折疊，得到2個等腰直角三角形；第3次折疊：將其中一個等腰直角三角形沿斜邊上的高折疊，得到3個等腰直角三角形；…（1）第4次折疊后，得到多少個等腰直角三角形？（2）第(n)次折疊后，得到多少個等腰直角三角形？（3）若折疊后得到100個等腰直角三角形，求折疊的次數(shù)．23.（12分）觀察下列圖形與等式的關(guān)系：圖1：(1=1^2)圖2：(1+3=2^2)圖3：(1+3+5=3^2)圖4：(1+3+5+7=4^2)…（1）根據(jù)以上規(guī)律，寫出圖(n)中所有數(shù)字之和的表達(dá)式；（2）計算(1+3+5+...+2025)的值；（3）若圖(m)中所有數(shù)字之和為(2500)，求(m)的值．參考答案及解析（部分）一、選擇題A2.B3.C4.D5.A6.C7.B8.C9.A10.A二、填空題11.(\frac{n(n+1)(n+2)}{3})12.(n^2+n-1)13.(n^2+2)14.(45,45)15.216.(4n+2)17.218.(507,-506)三、解答題19.（1）(1^2-2^2+3^2-4^2+5^2=1+2+3+4+5)（2）第(n)個等式：當(dāng)(n)為奇數(shù)時，(1^2-2^2+3^2-...+n^2=\frac{n(n+1)}{2})；當(dāng)(n)為偶數(shù)時，(1^2-2^2+...-n^2=-\frac{n(n+1)}{2})．證明略．20.（1）第4個圖形需要45根小木棒，擺出10個六邊形；（2）第(n)個圖形需要(\frac{3n(n+1)}{2}+n)根小木棒，擺出(\frac{n(n+1)}{2})個六邊形；（3）六邊形個數(shù)為55個．21.（1）(a_5=15)，