微專題14 導(dǎo)數(shù)解答題之函數(shù)型數(shù)列不等式問(wèn)題(解析版)-高考數(shù)學(xué)第三階段零基礎(chǔ)or藝考生_第1頁(yè)
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微專題14導(dǎo)數(shù)解答題之函數(shù)型數(shù)列不等式問(wèn)題總結(jié)1.分析通項(xiàng)法:由于左邊是一個(gè)求和(積)形式的表達(dá)式,右邊是一個(gè)簡(jiǎn)單的式子,為了使得兩者能夠明顯地顯現(xiàn)出大小特征,有必要將兩者統(tǒng)一成同一種形式,此處有兩條路可走,一種是將左邊的和式收攏,一種是將右邊的式子分解.很明顯,左邊是無(wú)法收找的,因此需要將右邊進(jìn)行拆分,而拆分的原則就是和左邊配對(duì).假設(shè)右邊,這樣一來(lái),相當(dāng)于已知一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)之和,求,利用數(shù)列的知識(shí)可知.所以,接下來(lái)只需要證明即可.2.幾種常見(jiàn)的數(shù)列放縮方法:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10);(11);(12);(13).3.根據(jù)不等式的信息,利用題目的結(jié)論,得出不等式,然后對(duì)變量取合適的數(shù)據(jù),再用數(shù)列求和法而得解.例1.(安徽省示范高中2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期冬季聯(lián)賽理科數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù).(1)若對(duì),都有,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若(),其中,且,求證:對(duì)任意,都有:.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可得,令,利用導(dǎo)數(shù)研究在參數(shù)、時(shí)的單調(diào)性,進(jìn)而求出的最小值,進(jìn)而得出結(jié)果;(2)由(1)可知,設(shè),進(jìn)而可得,結(jié)合題意有,利用求和的性質(zhì)將變形為,進(jìn)而得出結(jié)果.(1)由時(shí):即:設(shè):則:①若時(shí),由,故,所以對(duì)任意,都有:此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增,故對(duì)任意,都有:即:滿足條件.②若時(shí),由,故:故可得:x-0+極小值故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.故:不滿足條件.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.(2)由(1)可知,對(duì)任意,均有:設(shè),則,故對(duì)任意,均有:即:則對(duì)任意,,都有:故:,所以:例2.(第23講證明數(shù)列不等式-2022年新高考數(shù)學(xué)二輪專題突破精練)已知函數(shù),為常數(shù)).(1)若方程在區(qū)間上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),證明不等式在,上恒成立;(3)證明,.(參考數(shù)據(jù):)【答案】(1).(2)證明見(jiàn)解析.(3)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)將原方程化為.分離參數(shù)得.令.求導(dǎo)函數(shù),分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)得所令函數(shù)的單調(diào)性和值域,從而求得答案;(2)將不等式轉(zhuǎn)化為.令.運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)求出的最小值,即可得證;不等式化為.令,運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)求出最大值,從而不等式可得證;(3)由已知得,由(2)得,,即,由此可得證.(1)解:,,方程可化為.即.令.則.由得,,或(舍去).當(dāng)時(shí),.單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí),.單調(diào)遞減.,(1),.,時(shí),.方程在區(qū)間,上有解等價(jià)于.(2)解:時(shí),要證不等式,只需證,即.令.則,所以,時(shí),單調(diào)遞增.(4).當(dāng),時(shí),恒成立.要證,只需證,即.令.,所以,時(shí),單調(diào)遞減.(4).當(dāng),時(shí),恒成立.當(dāng)時(shí),證明不等式在,上恒成立.(3)解:,,由(2)可知,,,即,,,.例3.(第23講證明數(shù)列不等式-2022年新高考數(shù)學(xué)二輪專題突破精練)已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),其導(dǎo)函數(shù)為,數(shù)列的前項(xiàng)和為,點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上;又,,且,對(duì)任意都成立.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和;(3)求證:①;②.【答案】(1),(2)(3)①證明見(jiàn)解析;②證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)設(shè)出二次函數(shù),求導(dǎo)可得與,進(jìn)而求得,再利用退一相減法可求得與,再利用退一相減法求得;(2)由(1)求出,再利用分組求和與錯(cuò)位相減可得;(3)①構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,求最值即可得證;②根據(jù)①構(gòu)造,再變形、賦值、放縮得:,代入化簡(jiǎn)后,再進(jìn)一步放縮,利裂項(xiàng)相消法求和即可.(1)設(shè)二次函數(shù),,,則,在上,當(dāng)時(shí),又時(shí)符合,,則,由得,①,令代入上式得,②,①②得,,即,又不滿足上式,;(2)由(1)得,,③,④,③④得,,則,(3)①設(shè),則,在上是增函數(shù),,即,故;②,當(dāng),時(shí),令代入上式得:,即,令代入上式得,,,則,故結(jié)論成立.過(guò)關(guān)測(cè)試1.(安徽省合肥市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期11月月考文科數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值;(2)(i)當(dāng)時(shí),恒成立,求正整數(shù)的最大值;(ii)證明:.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)(i)3;(ii)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)求導(dǎo)后,分k≤0和k>0討論即可;(2)(i)轉(zhuǎn)化為尋求f(x)min>0,需要找隱零點(diǎn)的范圍(ii)將所證結(jié)論兩邊取對(duì)數(shù),再運(yùn)用(i)的結(jié)論可得,令x=1+n(n+1),則ln[n(n+1)+1]>2﹣,從而可證.(1),x>0,當(dāng)k≤0時(shí),f′(x)>0,函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,沒(méi)有極值;當(dāng)k>0時(shí),由f′(x)>0得x>k,由f′(x)<0得0<x<k,所以f(x)在(0,k)上單調(diào)遞減,在(k,+∞)上單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)f(x)的極小值f(k)=lnk﹣k+2,沒(méi)有極大值;(2)(i)當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0恒成立,即只要f(x)min>0即可,由(1)k>0時(shí),f(x)在(0,k)上單調(diào)遞減,在(k,+∞)上單調(diào)遞增,(a)若k≤1時(shí),f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)min>f(1)=1滿足題意;(b)當(dāng)k>1時(shí),f(x)在(0,k)上單調(diào)遞減,在(k,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)min=f(k)=lnk﹣k+2>0,令g(x)=lnx﹣x+2,則<0,所以g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,且g(2)=ln2>0,g(3)=ln3﹣1>0,g(4)=ln4﹣2<0,所以存在x0∈(3,4)使得g(x0)=0,則g(x)=lnx﹣x+2>0的解集為(1,x0),綜上k的取值范圍(﹣∞,x0),其中x0∈(3,4),所以正整數(shù)k的最大值3;(ii)證明:要證兩邊取對(duì)數(shù),即證也即證由(i)知,令x=1+n(n+1),則ln[n(n+1)+1]>2﹣所以所以(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>.2.(重慶市第八中學(xué)2022屆高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考(四)數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù).(1)若,求的值;(2)證明:對(duì)一切均有成立.(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)求出函數(shù)導(dǎo)數(shù),分類討論確定函數(shù)單調(diào)性求出最值即可求解;(2)命題轉(zhuǎn)化為,根據(jù)(1)構(gòu)造函數(shù)不等式可證,再根據(jù)裂項(xiàng)累加的方法得到.(1)由題知定義域?yàn)?,故等價(jià)于,注意到,,若,則,故在上單調(diào)遞增,從而時(shí),,舍去;若,令,得,從而在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,由,則必有.(2)證明:一方面:命題等價(jià)于:,由(1)可知,當(dāng)時(shí),恒有,令得,,從而,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.在上式中令,得到,從而,即,從而另一方面:.由以上兩方面可知,命題成立.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,一般要結(jié)合所證不等式,抽象構(gòu)造出函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性或最值,證明不等式成立,然后把已經(jīng)證明的不等式替換,或應(yīng)用得到需要證明的不等式,能力要求較高,屬于難題.3.(第23講證明數(shù)列不等式-2022年新高考數(shù)學(xué)二輪專題突破精練)設(shè)函數(shù),.(1)若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,求的取值范圍;(2)設(shè),證明:(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)由于在內(nèi)單調(diào)遞減,則對(duì)恒成立,求出的導(dǎo)數(shù),再根據(jù)分離參數(shù)法,即可求出結(jié)果;(2)取,由第(1)問(wèn)可知在為單調(diào)遞減函數(shù),可知,即對(duì)成立,令,則有,根據(jù)不等式放縮和裂項(xiàng)相消法即可求證結(jié)果.(1)解:函數(shù)的定義域?yàn)?,且,則,由于在內(nèi)單調(diào)遞減,則對(duì)恒成立,即對(duì)恒成立,從而,則,故的取值范圍為(2)證明:取,由第(1)問(wèn)可知在為單調(diào)遞減函數(shù),從而;則對(duì)成立,令,有;從而,故.4.(貴州省貴陽(yáng)市第一中學(xué)2022屆高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考卷(五)數(shù)學(xué)(文)試題)已知函數(shù).(1)證明:當(dāng)時(shí),;(2)證明:.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,可得出,即可證得結(jié)論成立;(2)由不等式的性質(zhì)可得,同理,,,,可證得,再利用函數(shù)在上的單調(diào)性證得,即可證得結(jié)論成立.(1)證明:,當(dāng)時(shí),,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,即.(2)證明:先證,即證,又,同理,,,,所以,,即,故,再證,即證,即證,即證,由(1)知,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,即當(dāng)時(shí),,取,則,因此,.5.(山東省2021屆高考考前熱身押題卷數(shù)學(xué)試題)函數(shù),(1),求的單調(diào)區(qū)間;(2)若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)令函數(shù),求證:.【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為,;單調(diào)增區(qū)間為,.(2);(3)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),判斷與,即可得單調(diào)區(qū)間;(2)將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立,然后構(gòu)造新函數(shù),根據(jù)不等式恒成立列不等式組求解,代入構(gòu)造新函數(shù),然后分類討論證明;(3)利用(2)的結(jié)論,可得,令,,,,2,…,8,代入,即可證明不等式.【詳解】(1),,當(dāng),時(shí),,當(dāng),時(shí),,所以,的單調(diào)遞增區(qū)間是,.的單調(diào)遞減區(qū)間是,.(2)不等式恒成立等價(jià)于在上恒成立,令,則由可得,∵可以看作是關(guān)于的一次函數(shù),單調(diào)遞增,∴令,對(duì)于,,恒成立.只需證明即可.①當(dāng),,則,在上單調(diào)遞減,又,所以此時(shí)恒成立.②當(dāng)時(shí),恒成立,所以在上單調(diào)遞增,又,所以此時(shí)恒成立.③當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,,,所以在上存在唯一的,使得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在時(shí)單調(diào)遞減,在時(shí)單調(diào)遞增.∴,,∴恒成立,故恒成立,∴.(3)由(2)可知令,,,,2,…,8,可得到,從而,即得證.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具,而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn),對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行:(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷單調(diào)性;已知單調(diào)性,求參數(shù).(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值),解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題.(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.6.(全國(guó)2022屆高三第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測(cè)理科數(shù)學(xué)(老高考)試題)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值;(2)證明:,.【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,函數(shù)的最小值是,無(wú)最大值;(2)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)求的導(dǎo)函數(shù),判斷時(shí),,當(dāng)時(shí),求,逐步判斷和的正負(fù),得到的單調(diào)性.(2)利用第(1)問(wèn)的結(jié)論,時(shí),,將放縮變形為,【詳解】(1)解:,當(dāng)時(shí),,所以,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,所以單調(diào)遞增,,所以,所以單調(diào)遞增.所以.綜上,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,函數(shù)的最小值是,無(wú)最大值.(2)證明:由第(1)問(wèn)知,當(dāng)時(shí),,取,,,,…,,,有故,,,……所以.7.(全國(guó)新高考2021屆高三數(shù)學(xué)方向卷試題(A))已知函數(shù),其中,.(1)若,證明:;(2)若單調(diào)遞增,求a的取值范圍;(3)當(dāng)且時(shí),證明:.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2);(3)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)由,得到,然后用導(dǎo)數(shù)法證明;(2)求導(dǎo),根據(jù),得到,時(shí),由(1)可知成立,當(dāng)時(shí),,再分,討論求解;(3)由(2),取,得到時(shí),,從而得到,再?。ǎ玫?,進(jìn)而得到,然后利用裂項(xiàng)相消法證明.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,有,所以單調(diào)遞增,有;(2)由,依題意有,得,當(dāng)時(shí),由(1)可知單調(diào)遞增,符合;當(dāng)時(shí),(i)若,即,由(1)可知,所以單調(diào)遞增,符合;(ii)若,,記,,,所以單調(diào)遞增,又,,故可知有唯一零點(diǎn),記為,所以,有,單調(diào)遞減,所以,所以,單調(diào)遞減,不符合;綜上可知;(3)取,由(2)可知單調(diào)遞增,有,即,有,可得,?。ǎ?,則有,所以,所以,故不等式得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題第三問(wèn)關(guān)鍵是根據(jù)不等式的信息,利用第二問(wèn)的結(jié)論,取,得到,轉(zhuǎn)化為,再取(),則構(gòu)造,再用數(shù)列求和法而得解.8.(山東省濟(jì)寧市嘉祥縣第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù),,.(1)求的最大值;(2)若對(duì),總存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)證明不等式(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).【答案】(1)0(2)(3)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間,計(jì)算最值得到答案.(2)題目轉(zhuǎn)化為存在,使得,考慮,,,分別考慮函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算最值得到答案.(3)根據(jù)前面結(jié)論得到,,代入式子結(jié)合等比數(shù)列求和公式化簡(jiǎn)得到證明.(1),,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上遞增,在上遞減,所以當(dāng)時(shí),取得最大值,即.(2)對(duì),總存在使得成立,等價(jià)于存在使得成立,由

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