第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年貴州省貴陽一中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（一）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1}，集合B={(x,y)|y=x?1}A.0 B.1 C.2 D.32.設(shè)x∈R，則“x2?5x<0”是“1x>1A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.一個數(shù)陣有m行6列，第一行的六個數(shù)互不相同，其余行都由這六個數(shù)以不同的順序組成.如果要使任意兩行的順序都不相同，則m的最大值是(

)A.119 B.120 C.719 D.7204.已知圓C：x2+(y?5)2=1與雙曲線A.15 B.52 C.5 5.設(shè)a≠0，若x=3為函數(shù)f(x)=a(x?2)(x?a)2的極小值點(diǎn)，則a=(

)A.3 B.5 C.3或5 D.?26.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，若直線l滿足l⊥m，l⊥n，則下列說法一定錯誤的是(

)A.α∩β=l B.α與β相交，且交線平行于l

C.α⊥β，且交線平行于l D.α//β，l//α7.設(shè)x1，x2分別是函數(shù)f(x)=x?1ax和g(x)=xlogax?1A.(81,+∞) B.(82,+∞) C.(83,+∞) D.(84,+∞)8.已知函數(shù)f(x)=1+lnx,x>0|ex+2?1|,x≤0，若方程3?m2+2mf(x)=[f(x)A.(?3,1?3) B.(1?二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是(

)A.函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇?2,2]

B.該函數(shù)的解析式為f(x)=2sin(23x+π6)

C.(7π2,0)是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心

D.函數(shù)f(x)的減區(qū)間是[3kπ?11π4,3kπ?5π4](k∈Z)

A.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(32,0)對稱 B.f(32)=0

C.f(x)的最小正周期為6 D.11.在直角坐標(biāo)系xOy中，過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，則下列說法正確的是(

)A.OA?OB=?34p2

B.若直線AB傾斜角為30°，線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為7，則p=145

C.若F是線段AC的中點(diǎn)，|AF|=4，則線段AB的長為163

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.曲線y=cosx+1在點(diǎn)(π2,1)處的切線方程是______．13.已知正實(shí)數(shù)m，n滿足mn+m+n?8=0，則2m+n的最小值為______．14.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA=PB=4,PC=PD=22

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知數(shù)列{an}中，a1=1，n(an+1?an)=1?an+1．

(1)16.(本小題15分)

如圖，在四面體S?ABC中，SC⊥平面ABC，D是SC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn).點(diǎn)F在線段BS上，且BS=4BF．

(1)求證：EF//平面ABC；

(2)若2CA=2CS=BC，AC⊥BC，求平面SEF與平面SBC的夾角的正弦值．17.(本小題15分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(2,0)，點(diǎn)(2,63)在橢圓C上．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P(3,m)(m>0)18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ex?x+axlnx，g(x)=(a+b)x?a(x>0)．

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求f′(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(3)若對任意a≥1，函數(shù)f(x)圖象恒在g(x)圖象的上方，求證：19.(本小題17分)

某校生物科技班開展“核酸自組裝”實(shí)驗(yàn)，記錄200名學(xué)生在限制性末端配對實(shí)驗(yàn)中的操作表現(xiàn)：組別操作評級合計(jì)優(yōu)良男生35100女生45合計(jì)200(1)完成列聯(lián)表，依據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生組別與操作評級存在關(guān)聯(lián)？

(2)在后續(xù)的“環(huán)狀核酸構(gòu)建”實(shí)驗(yàn)中，需處理n(n∈N?)條線性核酸片段：每條片段有兩個末端；每次隨機(jī)選取2個未配對的末端進(jìn)行連接；連接后可能形成一個或多個環(huán)狀結(jié)構(gòu)，所有核酸片段末端連接完畢視為結(jié)束．

(i)當(dāng)n=3時(shí)，記隨機(jī)變量X為最終形成的環(huán)狀結(jié)構(gòu)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(ii)求證：所有核酸片段連接成一個完整環(huán)狀結(jié)構(gòu)的概率為2n?1?(n?1)!(2n?1)?(2n?3)???5?3?1．α0.050.010.0050.001x3.8416.6357.87910.828

答案解析1.【答案】C

【解析】解：集合A={(x,y)|x2+y2=1}，集合B={(x,y)|y=x?1}，

如圖，由圖可知x2+y2=1與y=x?1有兩個交點(diǎn)，

所以集合A∩B有22.【答案】B

【解析】解：不等式x2?5x<0的解集A={x|0<x<5}，

不等式1x>1可得1x?1=1?xx>0，

解得0<x<1，

則解集B={x|0<x<1}，

因?yàn)锳?B，所以“x2?5x<03.【答案】D

【解析】解：由題意，六個互不相同的數(shù)全排列共有A66=720種排法，

為使m行中的任意兩行都不重復(fù)，則需m≤720，故m的最大值為720．

故選：D．

4.【答案】C

【解析】解：∵由圓C：x2+(y?5)2=1，可得圓心為C(0,5)，半徑為1，

雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線為y=±bax，即bx±ay=0，

∴圓心到漸近線的距離d=|±5a|b2+a2=5ac，

又∵圓C與雙曲線漸近線相切，圓5.【答案】A

【解析】解：導(dǎo)函數(shù)f′(x)=a[(x?a)2+2(x?2)(x?a)]=a(x?a)(3x?a?4)，

由f′(3)=0，得a(3?a)(5?a)=0，

又因?yàn)閍≠0，所以a=3或5．

當(dāng)a=3時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3(x?3)(3x?7)，x=3為f(x)的極小值點(diǎn)；

當(dāng)a=5時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)=15(x?3)(x?5)，x=3為f(x)的極大值點(diǎn)，不合題意．

故選：A．

根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0，求出a6.【答案】D

【解析】解：m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，

直線l滿足l⊥m，l⊥n，

對于A，如圖，可滿足題干要求：

；

對于BC，如圖，可滿足題干要求：

；

對于D，若α/?/β，則m/?/n，與m，n為異面直線矛盾，故D錯誤．

故選：D．

ABC，作出圖象即可，D，反證法，若α/?/β，則m/?/n，這與m，n為異面直線矛盾，從而可以判斷．

本題考查直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識及運(yùn)算求解能力，是中檔題．7.【答案】B

【解析】解：根據(jù)a>1，根據(jù)題有x1?1ax1=0，即ax1=1x1,0<x1<1，同理logax2=1x2,x2>1，

y=ax與y=logax的圖象關(guān)于直線y=x對稱，y=1x的圖象也關(guān)于y=x對稱，8.【答案】D

【解析】解：令函數(shù)f(x)=t，那么有3?m2+2mt=t2，即[t?(m?3)][t?(m+3)]=0，

解得t1=m?3或t2=m+3，

作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，

因?yàn)??m2+2mf(x)=f2(x)有且僅有5個不同實(shí)數(shù)根，

那么根據(jù)圖得0<m?3<11≤m+3≤e2?1或m?9.【答案】AD

【解析】解：根據(jù)所給圖象，可知f(x)的最大值為2，最小值為?2，

所以f(x)值域?yàn)閇?2,2]，且A=2，可得A項(xiàng)正確；

f(x)的周期T滿足π?π4=T4，解得T=3π，所以ω=23，可得f(x)=2sin(23x+φ)，

根據(jù)(π4,2)，可得f(π4)=2sin(π6+φ)=2，

所以sin(π6+φ)=1，可得π6+φ=π2+2kπ(k∈Z)，

結(jié)合0<φ<π，解得φ=π3，可得f(x)=2sin(23x+π3)，所以B項(xiàng)錯誤；

由23x+π3=kπ，k∈Z，解得x=?π2+32kπ(k∈Z)，

所以f(x)圖象的對稱中心為(?π210.【答案】ABD

【解析】解：對于A，由f(x+3)=?f(?x)得f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(32,0)對稱，故A正確；

對于B，由f(x+3)=?f(?x)，得f(32)=?f(32)，得f(32)=0，故B正確；

對于C，又f(x)是奇函數(shù)，由f(x+3)=?f(?x)=f(x)，f(x)有一個周期為3，故C錯誤；

對于D，∵f(0)=f(3)=f(6)=0，f(5)=f(2)=0，f(4)=f(1)=f(?2)=?f(2)=0，f(92)=f(32)=0，

∴f(x)在[0,6]上至少有9個零點(diǎn)，故11.【答案】ACD

【解析】解：設(shè)直線AB為x=my+p2，代入拋物線得y2?2pmy?p2=0，

設(shè)B(x2,y2)，A(x1,y1)，

那么根據(jù)Δ>0得y1y2=?p2,x1x2=y12y224p2=p24,x1+x2=m(y1+y2)+p=m?2pm+p=2pm2+p，

對于選項(xiàng)A：OA?OB=x1x2+y1y2=p24?p2=?34p2，因此選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B：若直線AB傾斜角為30°，那么1m=33?m=3，

因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為7，

所以x1+x2=14，

又因?yàn)閤1+x2=2pm2+p=7p，所以7p=14?p=2，因此選項(xiàng)B錯誤；

C：若F是線段AC的中點(diǎn)，那么|AF|=|FC|=4，

根據(jù)拋物線的定義，|AF|=x1+p2=4①，

因?yàn)镕(p2,0)是線段AC的中點(diǎn)，C的橫坐標(biāo)為?p2，

所以A、F、C三點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足x1+(?p2)2=p2?x1=3p2，

代入①得3p2+p2=4，解得p=2，

那么x1=3，

因?yàn)閤1x2=p24=1，所以x2=13，

所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p=3+13+2=163，故C正確；

D：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為G，則G的橫坐標(biāo)為x1+x22，

所以G到拋物線準(zhǔn)線的距離d=x1+x22+p2，

又因?yàn)閨AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p，12.【答案】y=?x+π【解析】解：因?yàn)閥=cosx+1，所以y′=?sinx，

所以切線的斜率為?sinπ2=?1，

所以所求切線方程為y?1=?1?(x?π2)，即y=?x+π213.【答案】6【解析】解：∵m，n>0，(m+1)(n+1)=9，

∴2m+n=2(m+1)+(n+1)?3≥22(m+1)(n+1)?3=62?3，

當(dāng)且僅當(dāng)2(m+1)=n+1，即m=322?1,n=32?1時(shí)取等號．14.【答案】16【解析】解：如圖，

底面ABCD為正方形，

分別取AB，CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接PE，PF，EF，

則PE⊥AB，EF⊥AB，且PE∩EF=E，PE，EF?平面PEF，

可知AB⊥平面PEF，且AB?平面ABCD，

所以平面PEF⊥平面ABCD，

過P作EF的垂線，垂足為O，即PO⊥EF，

由平面PEF∩平面ABCD=EF，PO?平面PEF，

所以PO⊥平面ABCD，

由題意可得：PE=23,PF=2,EF=4，則PE2+PF2=EF2，即PE⊥PF，

則12PE?PF=12PO?EF，可得PO=PE?PFEF=3，

所以該四棱錐的體積為15.【答案】數(shù)列{an}中，a1=1，n(an+1?an)=1?an+1，

可得(n+1)an+1【解析】(1)證明：數(shù)列{an}中，a1=1，n(an+1?an)=1?an+1，

可得(n+1)an+1?nan=1，

則{nan}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；

(2)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可知nan=1+(n?1)×1=n，則an=1，

函數(shù)f(x)=a1x+a2x216.【答案】取線段AC的中點(diǎn)M，線段BC靠近B點(diǎn)的四等分點(diǎn)N，

連接EM，MN，NF，

∵E是AD的中點(diǎn)，

∴EM/?/CD，且EM=12CD，即EM=14SC，

又BS=4BF，

∴FN//SC，且FN=14SC，

∴EM/?/FN，且EM=FN，

∴四邊形EMNF為平行四邊形，

∴EF/?/MN，

∵EF?平面ABC，MN?平面ABC，【解析】(1)由題意，在四面體S?ABC中，SC⊥平面ABC，D是SC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)．點(diǎn)F在線段BS上，且BS=4BF，

取線段AC的中點(diǎn)M，線段BC靠近B點(diǎn)的四等分點(diǎn)N，

連接EM，MN，NF，如圖所示，

∴EM/?/CD，且EM=12CD，即EM=14SC，F(xiàn)N//SC，且FN=14SC，

∴EM/?/FN，且EM=FN，

∴四邊形EMNF為平行四邊形，

∴EF/?/MN，

∵EF?平面ABC，MN?平面ABC，

∴EF/?/平面ABC，得證；

(2)如圖建系，

設(shè)CB=2，

則E(12,0,14),F(0,32,14),S(0,0,1)，

∴SE=(12,0,?34),SF=(0,32,?34)．

設(shè)平面SEF的法向量為n=(x,y,z)，

則12x?34z=032y?34z=0，令z=2，得n=(3,1,2)．

17.【答案】x26+y2【解析】(1)由右焦點(diǎn)為F(2,0)，得c=2，因此a2=b2+c2=b2+4，

又點(diǎn)(2,63)在C上，因此22a2+(63)2b2=1，即4a2+23b2=1，

聯(lián)立a2=b2+44a2+23b2=1，

解得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x26+y22=1；

(2)

因?yàn)镻(3,m)(m>0)，F(xiàn)(2,0)，因此kPF=m3?2=m，

因?yàn)镻F⊥AB，因此kAB=?1m，

故直線AB的方程為y=?1m(x?2)，即x=?my+2，

聯(lián)立18.【答案】單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)，無遞減區(qū)間；

[1?e,+∞)；

證明：依題意有對任意a≥1,x>0,exx?1+a(lnx?1+1x)>b恒成立，

令r(x)=lnx?1+1x,x>0，則r′(x)=x?1x2，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，r′(x)<0，r(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，r′(x)>0，r(x)單調(diào)遞增，

所以r(x)≥r

=0，即lnx?1+1x≥0，

所以exx?1+a(lnx?1+1x)≥exx?2+lnx+1x，

令【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ex?x+xlnx，則f′(x)=ex+lnx，

令u(x)=f′(x)，則u′(x)=ex+1x>0，x∈(0,+∞)，

所以u(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

即f′(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)，無遞減區(qū)間；

(2)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí)，1+lnx≥1，若f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，則f′(x)=ex?1+a(1+lnx)≥0在[1,+∞)上恒成立，

即a≥1?ex1+lnx在[1,+∞)上恒成立．

令?(x)=1?ex1+lnx,x≥1，則?′(x)=xex(1+lnx)+1?ex?x(1+lnx)2，

因?yàn)閤ex(1+lnx)+1?ex≥xex+1?ex=(x?1)ex+1>0(x≥1)，所以?′(x)<0(x≥1)，

所以?(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，所以?(x)max=?(1)=1?e，

故a≥1?e，即a的取值范圍為[1?e,+∞)；

(3)證明：依題意有對任意a≥1,x>0,exx?1+a(lnx?1+1x)>b恒成立，

令r(x)=lnx?1+1x,x>0，則r′(x)=x?1x2，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，r′(x)<0，r(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，r′(x)>0，r(x)單調(diào)遞增，

所以r(x)≥r(1)=0，即lnx?1+1x≥0，19.【答案】(1)列聯(lián)表為：組別操作評級合計(jì)優(yōu)良男生6535100女生4555100合計(jì)11090200能認(rèn)為學(xué)生組別與操作評級有關(guān)聯(lián)；

(2)(i)分布列為：X123P821數(shù)學(xué)期望為E(X)