高考理科歷年拋物線例題解析拋物線作為解析幾何的重要組成部分，因其獨(dú)特的幾何性質(zhì)及在實(shí)際問題中的廣泛應(yīng)用，始終是高考數(shù)學(xué)理科試卷中的?？?。它不僅能單獨(dú)考查學(xué)生對定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)的掌握程度，更能與函數(shù)、方程、不等式、向量、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)交匯融合，形成綜合性強(qiáng)、難度層次分明的考題。本文旨在通過對歷年高考理科數(shù)學(xué)中拋物線經(jīng)典例題的深度剖析，梳理常見考點(diǎn)，歸納解題策略，幫助同學(xué)們更好地把握這一核心內(nèi)容。一、拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程——回歸本源，夯實(shí)基礎(chǔ)拋物線的定義是解決許多問題的“根”。理解并靈活運(yùn)用定義，往往能起到化繁為簡的奇效。標(biāo)準(zhǔn)方程則是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，準(zhǔn)確寫出并熟練運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程是解題的基本要求。例題一：利用拋物線定義解題題目：（某年高考真題改編）已知點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離比它到定直線l的距離小1，若點(diǎn)M的軌跡是拋物線，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。審題要點(diǎn)：題目中明確提到“點(diǎn)M的軌跡是拋物線”，這提示我們應(yīng)從拋物線的定義出發(fā)。拋物線定義的核心是“平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過F）的距離相等的點(diǎn)的軌跡”。思路分析：題目說“點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離比它到定直線l的距離小1”，即|MF|=d-1（d為點(diǎn)M到直線l的距離）。要使軌跡為拋物線，需將其轉(zhuǎn)化為定義形式。若我們將定直線l向上（或向下，取決于F與l的相對位置，此處需假設(shè)一種情況進(jìn)行分析，通常高考題會(huì)給出明確方向或可通過題意判斷）平移1個(gè)單位長度得到新的直線l'，則點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離等于它到定直線l'的距離。此時(shí)，根據(jù)拋物線定義，F(xiàn)為焦點(diǎn)，l'為準(zhǔn)線。解答過程：設(shè)F在l的上方。依題意，|MF|+1=d，即|MF|=d-1。若將直線l向下平移1個(gè)單位得到直線l''，則點(diǎn)M到l''的距離為d-1。因此，點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離等于它到定直線l''的距離。根據(jù)拋物線定義，點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l''為準(zhǔn)線的拋物線。由于題目未給出具體的F和l的坐標(biāo)，我們假設(shè)一種最常見的坐標(biāo)系設(shè)置：不妨設(shè)定點(diǎn)F為(0,1)，定直線l為y=0（x軸）。則平移后的直線l''為y=-1。此時(shí)，拋物線焦點(diǎn)為(0,1)，準(zhǔn)線為y=-1。對于拋物線，焦點(diǎn)在y軸正半軸，標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py(p>0)，焦點(diǎn)為(0,p/2)，準(zhǔn)線為y=-p/2。所以p/2=1，解得p=2。故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y。題后反思：1.深刻理解定義中的“距離相等”是關(guān)鍵。題目中的“小1”是干擾項(xiàng)，也是突破口，通過平移直線將其轉(zhuǎn)化為定義形式是常用技巧。2.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并根據(jù)焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的位置準(zhǔn)確判斷拋物線的開口方向，從而選擇正確的標(biāo)準(zhǔn)方程形式。3.注意p的幾何意義：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p。例題二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及基本量題目：（某年高考真題）已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)P(2,2√2)。(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。審題要點(diǎn)：頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，這明確了拋物線的類型，可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程。經(jīng)過定點(diǎn)，則可代入求解。思路分析：焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種可能：開口向右y2=2px(p>0)或開口向左y2=-2px(p>0)。但點(diǎn)P(2,2√2)在第一象限，因此拋物線開口向右，排除開口向左的情況。故可設(shè)方程為y2=2px(p>0)，將點(diǎn)P坐標(biāo)代入即可求出p。解答過程：(1)因?yàn)閽佄锞€C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過第一象限的點(diǎn)P(2,2√2)，所以可設(shè)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0)。將點(diǎn)P(2,2√2)代入方程得：(2√2)2=2p*2即8=4p，解得p=2。所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x。(2)對于拋物線y2=4x，對比標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)2=2px，可知2p=4，p=2。焦點(diǎn)坐標(biāo)為(p/2,0)=(1,0)。準(zhǔn)線方程為x=-p/2=-1。題后反思：1.根據(jù)拋物線的位置特征（頂點(diǎn)、對稱軸、開口方向）選擇正確的標(biāo)準(zhǔn)方程形式是前提。2.待定系數(shù)法是求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)求解參數(shù)是關(guān)鍵步驟。3.牢記不同開口方向拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程公式，避免混淆。二、拋物線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用——深化理解，靈活運(yùn)用拋物線的幾何性質(zhì)包括范圍、對稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、離心率(e=1)以及過焦點(diǎn)的弦（通徑是其中的特例）等。對這些性質(zhì)的深入理解和靈活運(yùn)用，是解決復(fù)雜拋物線問題的基礎(chǔ)。例題三：拋物線的焦點(diǎn)弦問題題目：（某年高考真題改編）過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若|AF|=3，求|BF|的長。審題要點(diǎn)：拋物線y2=4x，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)可求。直線l過焦點(diǎn)，與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，涉及焦半徑|AF|、|BF|的長度。思路分析：方法一（定義法）：利用拋物線定義，將點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)F的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離。拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為x=-1，焦點(diǎn)F(1,0)。設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，則|AF|=x?+1=3，可求出x?，進(jìn)而得到A點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線l的方程，聯(lián)立拋物線方程求出B點(diǎn)橫坐標(biāo)x?，再由定義求|BF|=x?+1。方法二（焦點(diǎn)弦性質(zhì)）：對于拋物線y2=2px(p>0)，過焦點(diǎn)的弦交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若|AF|=m，|BF|=n，則有1/m+1/n=2/p。此結(jié)論在選擇填空題中可直接應(yīng)用，解答題中需推導(dǎo)。解答過程：（此處采用方法一進(jìn)行規(guī)范解答，方法二作為技巧補(bǔ)充）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=-1。設(shè)A(x?,y?)，由拋物線定義知，|AF|=x?-(-1)=x?+1=3，解得x?=2。將x?=2代入y2=4x，得y?2=8，所以y?=±2√2。不妨取A(2,2√2)（取A(2,-2√2)結(jié)果相同）。直線AF的斜率k=(2√2-0)/(2-1)=2√2。所以直線l的方程為y=2√2(x-1)。聯(lián)立方程組：{y=2√2(x-1){y2=4x將第一個(gè)方程代入第二個(gè)方程：[2√2(x-1)]2=4x即8(x2-2x+1)=4x化簡得2x2-5x+2=0解得x=2或x=1/2。x=2對應(yīng)點(diǎn)A，所以x?=1/2，即B點(diǎn)橫坐標(biāo)為1/2。由拋物線定義，|BF|=x?+1=1/2+1=3/2。題后反思：1.定義法是解決焦半徑問題的“萬能鑰匙”，必須熟練掌握。2.焦點(diǎn)弦有許多重要性質(zhì)，如1/|AF|+1/|BF|=2/p（針對y2=2px），記住這些性質(zhì)可以快速解題。推導(dǎo)過程通常是聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理和拋物線定義。3.解決直線與拋物線相交問題，聯(lián)立方程、消元、利用韋達(dá)定理是常用手段。三、直線與拋物線的位置關(guān)系——綜合應(yīng)用，能力提升直線與拋物線的位置關(guān)系是高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)，常涉及交點(diǎn)個(gè)數(shù)、弦長、中點(diǎn)弦、定點(diǎn)、定值、最值等問題。這類題目往往運(yùn)算量較大，需要扎實(shí)的代數(shù)運(yùn)算能力和清晰的解題思路。例題四：直線與拋物線相交弦長問題題目：（某年高考真題）已知拋物線C:y2=8x，過點(diǎn)P(2,3)作一條直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，若P為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程及弦AB的長度。審題要點(diǎn)：拋物線C:y2=8x，點(diǎn)P(2,3)是弦AB的中點(diǎn)，求直線l方程和弦長|AB|。思路分析：求中點(diǎn)弦所在直線方程，常用方法有“點(diǎn)差法”和“韋達(dá)定理法”。點(diǎn)差法：設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，代入拋物線方程后作差，利用中點(diǎn)坐標(biāo)(x?+x?=4,y?+y?=6)和斜率公式k=(y?-y?)/(x?-x?)求出斜率，進(jìn)而得到直線方程。得到直線方程后，聯(lián)立拋物線方程，利用弦長公式|AB|=√(1+k2)*|x?-x?|或√(1+1/k2)*|y?-y?|求解弦長，其中|x?-x?|=√[(x?+x?)2-4x?x?]，可由韋達(dá)定理得到。解答過程：設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，因?yàn)锳、B在拋物線C:y2=8x上，所以y?2=8x?①y?2=8x?②②-①得：(y?2-y?2)=8(x?-x?)即(y?-y?)(y?+y?)=8(x?-x?)因?yàn)镻(2,3)是AB的中點(diǎn)，所以(x?+x?)/2=2，(y?+y?)/2=3，即x?+x?=4，y?+y?=6。若x?≠x?，則直線l的斜率k=(y?-y?)/(x?-x?)=8/(y?+y?)=8/6=4/3。所以直線l的方程為y-3=(4/3)(x-2)，化簡得4x-3y+1=0。（若x?=x?，則AB垂直于x軸，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x?=x?=2，代入拋物線方程得y2=16，y=±4，中點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，與P(2,3)矛盾，故舍去。）接下來求弦AB的長度。聯(lián)立方程組：{4x-3y+1=0→x=(3y-1)/4{y2=8x將x=(3y-1)/4代入y2=8x得：y2=8*(3y-1)/4→y2=2(3y-1)→y2-6y+2=0。判別式Δ=(-6)2-4*1*2=36-8=28>0，方程有兩實(shí)根y?,y?。由韋達(dá)定理得：y?+y?=6，y?y?=2。所以|y?-y?|=√[(y?+y?)2-4y?y?]=√(36-8)=√28=2√7。則弦長|AB|=√(1+1/k2)*|y?-y?|=√(1+(3/4)2)*2√7=√(25/16)*2√7=(5/4)*2√7=(5√7)/2。題后反思：1.“點(diǎn)差法”是解決中點(diǎn)弦問題的常用方法，它巧妙地避開了求交點(diǎn)坐標(biāo)，通過設(shè)而不求，利用平方差公式和中點(diǎn)坐標(biāo)求出斜率。但要注意檢驗(yàn)直線與拋物線是否相交（判別式）。2.弦長公式的選擇：若直線斜率k存在且不為0，已知x?+x?和x?x?用√(1+k2)*√[(x?+x?)2-4x?x?]；已知y?+y?和y?y?用√(1+1/k2)*√[(y?+y?)2-4y?y?]。3.運(yùn)算過程要細(xì)心，尤其是一元二次方程的整理和韋達(dá)定理的應(yīng)用。例題五：拋物線中的定點(diǎn)與定值問題題目：（某年高考真題改編）已知拋物線C:y2=4x，直線l:y=kx+m(k≠0)與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A、B。若以AB為直徑的圓過拋物線C的焦點(diǎn)F，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。審題要點(diǎn)：拋物線y2=4x，焦點(diǎn)F(1,0)。直線l與拋物線交于A、B，以AB為直徑的圓過F，即FA⊥FB。要求證直線l過定點(diǎn)。思路分析：以AB為直徑的圓過點(diǎn)F，等價(jià)于向量FA·向量FB=0。設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，則向量FA=(x?-1,y?)，向量FB=(x?-1,y?)，所以(x?-1)(x?-1)+y?y?=0。聯(lián)立直線與拋物線方程，消去x（或y），得到關(guān)于y（或x）的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出y?+y?，y?y?（或x?+x?，x?x?），代入上述向量垂直的條件，化簡整理，可得到k與m的關(guān)系，進(jìn)而判斷直線l是否過定點(diǎn)。解答過程：拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0)。設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)。因?yàn)橐訟B為直徑的圓過點(diǎn)F，所以FA⊥FB，即向量FA·向量FB=0。向量FA=(x?-1,y?)，向量FB=(x?-1,y?)，所以(x?-1)(x?-1)+y?y?=0③。聯(lián)立直線l與拋物線C的方程：{y=kx+m{y2=4x消去x得：y2=4*(y-m)/k→ky2-4y+4m=0(k≠0)。