基于RKPM無網(wǎng)格法的Winkler地基上圓板分析：理論、應(yīng)用與優(yōu)化一、引言1.1研究背景與意義在工程領(lǐng)域中，地基與基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的分析至關(guān)重要，其中Winkler地基上圓板的分析具有廣泛的應(yīng)用場景。例如在建筑工程中，圓形基礎(chǔ)板的設(shè)計與分析直接關(guān)系到建筑物的穩(wěn)定性與安全性；在道路橋梁工程中，圓形的橋墩基礎(chǔ)等也可近似看作是Winkler地基上的圓板結(jié)構(gòu)，其力學(xué)性能的準(zhǔn)確評估對保障道路橋梁的正常使用和耐久性意義重大。傳統(tǒng)的分析方法在處理Winkler地基上圓板問題時存在一定的局限性。有限元法雖然是目前應(yīng)用較為廣泛的數(shù)值方法，但其在處理復(fù)雜幾何形狀和邊界條件時，網(wǎng)格劃分過程繁瑣且容易出現(xiàn)網(wǎng)格畸變等問題，這不僅增加了計算成本，還可能影響計算結(jié)果的準(zhǔn)確性。而RKPM無網(wǎng)格法的出現(xiàn)為Winkler地基上圓板的分析帶來了新的思路和方法。RKPM無網(wǎng)格法基于核函數(shù)近似，在構(gòu)造形函數(shù)時無需進(jìn)行網(wǎng)格劃分，只需進(jìn)行節(jié)點布置。這一特點使得它在處理復(fù)雜問題時具有獨特的優(yōu)勢，能夠更靈活地適應(yīng)各種不規(guī)則的幾何形狀和邊界條件。例如在處理圓形地基板的邊界條件時，傳統(tǒng)方法可能需要花費大量精力進(jìn)行網(wǎng)格的調(diào)整和優(yōu)化，而RKPM無網(wǎng)格法可以輕松應(yīng)對，大大提高了計算效率和精度。同時，由于其場函數(shù)及其梯度在整個計算域是連續(xù)的，不存在有限元法中的協(xié)調(diào)性問題，為解決Winkler地基上圓板的復(fù)雜力學(xué)問題提供了更可靠的手段，對于推動相關(guān)工程領(lǐng)域的發(fā)展具有重要的理論和實際意義。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀在Winkler地基上圓板分析的研究方面，國內(nèi)外學(xué)者開展了大量工作。早期，主要采用解析方法對簡單邊界條件和荷載作用下的圓板進(jìn)行分析，如經(jīng)典的薄板小撓度理論，基于彈性力學(xué)基本方程，在假設(shè)板的變形微小且符合平面假設(shè)的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出圓板在均布荷載等簡單工況下的撓度和應(yīng)力計算公式。然而，這種解析方法對于復(fù)雜邊界條件和荷載形式的適用性較差。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值方法逐漸成為研究Winkler地基上圓板問題的重要手段。有限元法在該領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，通過將圓板離散為有限個單元，將連續(xù)的力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)方程組求解。例如，在處理復(fù)雜的地基與圓板相互作用問題時，可通過建立合適的有限元模型，考慮地基的非線性特性、圓板的幾何非線性等因素，得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果。但正如前文所述，有限元法在網(wǎng)格劃分上存在局限性，尤其是對于不規(guī)則形狀的圓板或具有復(fù)雜邊界條件的問題，網(wǎng)格劃分的難度和計算成本顯著增加。近年來，無網(wǎng)格法作為一種新興的數(shù)值方法，受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。其中，RKPM無網(wǎng)格法在處理復(fù)雜力學(xué)問題方面展現(xiàn)出獨特的優(yōu)勢，在Winkler地基上圓板分析中的應(yīng)用研究也逐漸增多。國外一些學(xué)者率先將RKPM無網(wǎng)格法引入到彈性力學(xué)問題的求解中，通過對核函數(shù)和形函數(shù)的深入研究，驗證了該方法在處理復(fù)雜邊界條件和大變形問題時的有效性。在國內(nèi)，也有眾多學(xué)者開展了相關(guān)研究，如對RKPM無網(wǎng)格法形函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)，結(jié)合Kirchhoff薄板理論和Mindlin板理論，建立了Winkler地基上圓板的RKPM無網(wǎng)格法求解控制方程，并通過算例分析驗證了該方法的可行性。盡管國內(nèi)外在Winkler地基上圓板分析以及RKPM無網(wǎng)格法的應(yīng)用研究方面取得了一定成果，但仍存在一些不足。一方面，對于RKPM無網(wǎng)格法在處理高度非線性問題，如考慮地基材料的非線性本構(gòu)關(guān)系以及圓板在極端荷載作用下的非線性響應(yīng)時，其計算精度和穩(wěn)定性的研究還不夠深入。另一方面，目前的研究大多集中在單一工況下的圓板分析，對于多種復(fù)雜工況耦合作用下的Winkler地基上圓板，如同時考慮溫度場、滲流場與力學(xué)場的多場耦合問題，相關(guān)研究還較為匱乏，這為進(jìn)一步的研究提供了方向。1.3研究目的與內(nèi)容本文旨在深入研究運用RKPM無網(wǎng)格法對Winkler地基上圓板進(jìn)行分析，通過建立精確的數(shù)值模型，為相關(guān)工程實踐提供可靠的理論依據(jù)和技術(shù)支持。具體研究內(nèi)容如下：RKPM無網(wǎng)格法基本理論研究：詳細(xì)推導(dǎo)RKPM無網(wǎng)格法的形函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，深入分析其特性，包括形函數(shù)的插值特性、光滑性以及在不同節(jié)點布置情況下的表現(xiàn)等。研究基函數(shù)與核函數(shù)的選取對形函數(shù)性質(zhì)的影響，為后續(xù)應(yīng)用奠定堅實的理論基礎(chǔ)。例如，通過對比不同核函數(shù)下形函數(shù)的精度和計算效率，確定最適合Winkler地基上圓板分析的核函數(shù)類型和參數(shù)。圓形地基板基本理論研究：系統(tǒng)闡述Kirchhoff薄圓板和Mindlin板的基本理論，包括薄板的小撓度理論假設(shè)、基本方程的推導(dǎo)以及在不同邊界條件下的求解方法等。分析不同理論在描述圓板力學(xué)行為時的適用范圍和局限性，明確在Winkler地基上圓板分析中如何根據(jù)實際情況選擇合適的理論模型。例如，對于薄板且彎曲變形較小時，Kirchhoff薄圓板理論可能更適用；而對于中厚板或需要考慮剪切變形的情況，Mindlin板理論則更為合適。Winkler地基模型及參數(shù)確定：深入研究Winkler地基模型的相關(guān)理論，分析其基本假設(shè)和適用條件。通過對實際工程案例的分析，探討如何準(zhǔn)確確定Winkler地基模型的參數(shù)，如基床系數(shù)等。研究基床系數(shù)的影響因素，包括地基土的性質(zhì)、板的尺寸和形狀等，建立基床系數(shù)的確定方法和經(jīng)驗公式。例如，通過現(xiàn)場試驗和室內(nèi)土工試驗，獲取地基土的物理力學(xué)參數(shù)，進(jìn)而確定合理的基床系數(shù)取值。Winkler地基上圓板的RKPM法理論建立：基于上述研究，結(jié)合Winkler地基模型和圓板基本理論，建立與Winkler地基共同作用的薄圓板和厚圓板的RKPM無網(wǎng)格法求解控制方程。推導(dǎo)過程中充分考慮地基與圓板之間的相互作用，包括地基對圓板的支撐反力和圓板對地基的壓力分布等。研究如何通過RKPM無網(wǎng)格法有效地求解這些控制方程，實現(xiàn)對Winkler地基上圓板力學(xué)行為的準(zhǔn)確模擬。算例分析與結(jié)果驗證：選取典型的Winkler地基上圓板算例，運用所建立的RKPM無網(wǎng)格法模型進(jìn)行數(shù)值計算。分析不同因素，如荷載形式、邊界條件、地基參數(shù)等對圓板力學(xué)響應(yīng)的影響。將計算結(jié)果與已有解析解、實驗結(jié)果或其他數(shù)值方法的結(jié)果進(jìn)行對比驗證，評估RKPM無網(wǎng)格法在Winkler地基上圓板分析中的準(zhǔn)確性和可靠性。例如，通過改變荷載的大小和分布形式，觀察圓板的撓度和應(yīng)力變化規(guī)律，與理論解進(jìn)行對比分析，驗證模型的正確性。RKPM法影響因素分析：研究積分方案、節(jié)點布置、RKPM法參數(shù)選取等因素對計算結(jié)果的影響規(guī)律。優(yōu)化計算參數(shù)，提高計算精度和效率。例如，分析不同積分方案（如高斯積分、辛普森積分等）對計算結(jié)果精度的影響，確定最佳的積分方案；研究節(jié)點布置的疏密程度和分布方式對計算效率和精度的影響，找到最優(yōu)的節(jié)點布置策略；探討RKPM法中影響域尺寸、權(quán)函數(shù)等參數(shù)的選取對計算結(jié)果的影響，確定合理的參數(shù)取值范圍。1.4研究方法與技術(shù)路線本文采用理論推導(dǎo)、數(shù)值模擬和算例分析相結(jié)合的研究方法，具體如下：理論推導(dǎo)：深入研究RKPM無網(wǎng)格法的基本理論，推導(dǎo)其形函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，分析其特性。同時，對圓形地基板的基本理論以及Winkler地基模型進(jìn)行深入研究，建立Winkler地基上圓板的RKPM無網(wǎng)格法求解控制方程，從理論層面為后續(xù)研究奠定基礎(chǔ)。例如，通過對RKPM無網(wǎng)格法中形函數(shù)導(dǎo)數(shù)的詳細(xì)推導(dǎo)，明確其在不同節(jié)點分布情況下的變化規(guī)律，為數(shù)值模擬提供準(zhǔn)確的理論依據(jù)。數(shù)值模擬：運用數(shù)值模擬軟件，根據(jù)建立的控制方程，對Winkler地基上圓板進(jìn)行數(shù)值模擬分析。通過改變荷載形式、邊界條件、地基參數(shù)等因素，模擬圓板在不同工況下的力學(xué)響應(yīng)，為研究各因素對圓板力學(xué)行為的影響提供數(shù)據(jù)支持。例如，利用數(shù)值模擬軟件模擬圓板在集中荷載、均布荷載等不同荷載形式下的變形和應(yīng)力分布情況，對比分析不同荷載形式對圓板力學(xué)性能的影響。算例分析：選取典型的Winkler地基上圓板算例，運用所建立的RKPM無網(wǎng)格法模型進(jìn)行計算，并將計算結(jié)果與已有解析解、實驗結(jié)果或其他數(shù)值方法的結(jié)果進(jìn)行對比驗證，評估該方法的準(zhǔn)確性和可靠性。同時，分析積分方案、節(jié)點布置、RKPM法參數(shù)選取等因素對計算結(jié)果的影響，優(yōu)化計算參數(shù)，提高計算精度和效率。例如，通過算例分析不同積分方案（如高斯積分、辛普森積分等）對計算結(jié)果精度的影響，確定最適合該問題的積分方案。本文的技術(shù)路線如圖1-1所示：資料收集與理論研究：收集國內(nèi)外關(guān)于Winkler地基上圓板分析以及RKPM無網(wǎng)格法的相關(guān)文獻(xiàn)資料，深入研究RKPM無網(wǎng)格法的基本理論、圓形地基板的基本理論和Winkler地基模型，為后續(xù)研究提供理論基礎(chǔ)?？刂品匠探ⅲ夯谏鲜隼碚撗芯?，結(jié)合Winkler地基模型和圓板基本理論，建立與Winkler地基共同作用的薄圓板和厚圓板的RKPM無網(wǎng)格法求解控制方程。數(shù)值模擬與參數(shù)分析：運用數(shù)值模擬軟件，根據(jù)建立的控制方程對Winkler地基上圓板進(jìn)行數(shù)值模擬，分析不同因素對圓板力學(xué)響應(yīng)的影響。同時，研究積分方案、節(jié)點布置、RKPM法參數(shù)選取等因素對計算結(jié)果的影響，優(yōu)化計算參數(shù)。算例驗證與結(jié)果分析：選取典型算例，運用所建立的RKPM無網(wǎng)格法模型進(jìn)行計算，將計算結(jié)果與已有解析解、實驗結(jié)果或其他數(shù)值方法的結(jié)果進(jìn)行對比驗證，評估該方法的準(zhǔn)確性和可靠性，分析計算結(jié)果，得出結(jié)論。總結(jié)與展望：總結(jié)研究成果，提出研究中存在的不足，對未來的研究方向進(jìn)行展望。[此處插入技術(shù)路線圖，圖名為“圖1-1技術(shù)路線圖”，圖中清晰展示各步驟之間的邏輯關(guān)系和流程走向]二、RKPM無網(wǎng)格法基本理論2.1RKPM法概述RKPM（ReproducingKernelParticleMethod）無網(wǎng)格法，即再生核質(zhì)點法，起源于20世紀(jì)90年代。當(dāng)時，計算力學(xué)領(lǐng)域面臨著一系列復(fù)雜問題的挑戰(zhàn)，傳統(tǒng)的有限元方法在處理大變形、裂紋擴展等問題時，由于網(wǎng)格畸變和重新劃分網(wǎng)格帶來的高成本與精度損失，逐漸暴露出其局限性。在此背景下，無網(wǎng)格法應(yīng)運而生，RKPM法作為其中的重要一員，開始嶄露頭角。RKPM法的發(fā)展歷程與計算力學(xué)的需求緊密相連。最初，它是在光滑粒子流體動力學(xué)（SPH，SmoothParticleHydrodynamics）方法的基礎(chǔ)上發(fā)展而來。SPH方法直接利用“鐘形”核函數(shù)構(gòu)成形函數(shù)，在處理一些問題時表現(xiàn)出一定的優(yōu)勢，但在邊界附近，核函數(shù)的歸一性條件往往難以滿足，容易產(chǎn)生數(shù)值畸變。為了克服這一缺陷，RKPM法引入了核函數(shù)的修正函數(shù)，通過積分轉(zhuǎn)換得到場變量的近似，有效改善了形函數(shù)在邊界上的性質(zhì)。在無網(wǎng)格法的眾多分支中，RKPM法占據(jù)著獨特的地位。與其他無網(wǎng)格方法相比，如基于移動最小二乘法構(gòu)建形函數(shù)的EFG（Element-FreeGalerkin）法，RKPM法計算量小，效率更高。在處理復(fù)雜幾何形狀和邊界條件的問題時，RKPM法無需像有限元法那樣進(jìn)行繁瑣的網(wǎng)格劃分，只需進(jìn)行節(jié)點布置，這使得它在適應(yīng)性上具有顯著優(yōu)勢。同時，RKPM法在處理大變形問題時，能夠避免網(wǎng)格畸變帶來的計算精度下降問題，為解決工程中的復(fù)雜力學(xué)問題提供了更可靠的手段。例如在金屬塑性成形過程的數(shù)值模擬中，材料的大變形使得有限元網(wǎng)格嚴(yán)重畸變，而RKPM無網(wǎng)格法能夠準(zhǔn)確模擬材料的變形過程，得到更符合實際的結(jié)果。隨著研究的不斷深入，RKPM法在土木工程、機械工程、航空航天等領(lǐng)域得到了越來越廣泛的應(yīng)用，成為計算力學(xué)領(lǐng)域中不可或缺的數(shù)值分析方法之一。2.2重構(gòu)核粒子法的形函數(shù)2.2.1形函數(shù)的定義與構(gòu)建在RKPM無網(wǎng)格法中，形函數(shù)的定義與構(gòu)建是核心內(nèi)容之一。對于計算域\Omega內(nèi)的任意一點x，其函數(shù)值u(x)可通過鄰域內(nèi)節(jié)點的函數(shù)值進(jìn)行近似表示，即：u(x)\approxu^h(x)=\sum_{I=1}^{n}\phi_I(x)u_I其中，u^h(x)是函數(shù)u(x)的近似值，\phi_I(x)為形函數(shù)，u_I是節(jié)點I處的函數(shù)值，n為節(jié)點總數(shù)。形函數(shù)\phi_I(x)的構(gòu)建基于核函數(shù)和修正函數(shù)。核函數(shù)W(x-x_J,h)在無網(wǎng)格法中起著關(guān)鍵作用，它通常具有緊支集特性，即僅在以節(jié)點x_J為中心、影響半徑h的鄰域內(nèi)非零。常用的核函數(shù)有高斯核函數(shù)、樣條核函數(shù)等。例如，高斯核函數(shù)的表達(dá)式為：W(x-x_J,h)=\frac{1}{(\sqrt{2\pi}h)^d}e^{-\frac{\|x-x_J\|^2}{2h^2}}其中，d為空間維度，\|x-x_J\|表示點x與節(jié)點x_J之間的距離。為了改善形函數(shù)在邊界上的性質(zhì)，引入修正函數(shù)P(x-x_J)。對于二維問題，修正函數(shù)P(x-x_J)通常是一個關(guān)于x-x_J的多項式，如：P(x-x_J)=\begin{bmatrix}1&(x-x_{Jx})&(y-y_{Jy})&(x-x_{Jx})^2&(x-x_{Jx})(y-y_{Jy})&(y-y_{Jy})^2\end{bmatrix}^T其中，(x_{Jx},y_{Jy})為節(jié)點x_J的坐標(biāo)。則修正后的核函數(shù)\widetilde{W}(x-x_J,h)為：\widetilde{W}(x-x_J,h)=P(x-x_J)^TBW(x-x_J,h)其中，B是一個與節(jié)點相關(guān)的系數(shù)矩陣，可通過求解線性方程組確定。通過上述核函數(shù)和修正函數(shù)，形函數(shù)\phi_I(x)可表示為：\phi_I(x)=\frac{\widetilde{W}(x-x_I,h)}{\sum_{J=1}^{n}\widetilde{W}(x-x_J,h)}這樣，通過合理選擇核函數(shù)和修正函數(shù)，并確定系數(shù)矩陣B，就完成了形函數(shù)的構(gòu)建過程。在實際應(yīng)用中，形函數(shù)的構(gòu)建直接影響到RKPM無網(wǎng)格法的計算精度和效率，因此需要對其進(jìn)行深入研究和優(yōu)化。2.2.2形函數(shù)的性質(zhì)分析形函數(shù)的性質(zhì)對RKPM無網(wǎng)格法的計算精度和穩(wěn)定性有著重要影響。首先是插值性，若形函數(shù)\phi_I(x)滿足\phi_I(x_J)=\delta_{IJ}（其中\(zhòng)delta_{IJ}為克羅內(nèi)克符號，當(dāng)I=J時，\delta_{IJ}=1；當(dāng)I\neqJ時，\delta_{IJ}=0），則稱其具有插值性。在RKPM無網(wǎng)格法中，由于形函數(shù)是通過核函數(shù)和修正函數(shù)構(gòu)建的，其插值性并非自然滿足。然而，通過合理選擇核函數(shù)和修正函數(shù)的參數(shù)，以及優(yōu)化節(jié)點布置，可以使形函數(shù)在一定程度上逼近插值條件。良好的插值性能夠保證在節(jié)點處函數(shù)值的準(zhǔn)確表示，從而提高計算精度。例如，在處理一些邊界條件時，準(zhǔn)確的插值性可以使邊界條件的施加更加精確，避免出現(xiàn)數(shù)值誤差。完備性是形函數(shù)的另一個重要性質(zhì)。形函數(shù)的完備性要求其能夠精確地逼近任意階數(shù)小于等于m的多項式。對于RKPM無網(wǎng)格法的形函數(shù)，其完備性與修正函數(shù)的選擇密切相關(guān)。如前文所述，修正函數(shù)P(x-x_J)通常是一個多項式，其階數(shù)決定了形函數(shù)能夠逼近的多項式階數(shù)。當(dāng)修正函數(shù)的階數(shù)足夠高時，形函數(shù)能夠滿足完備性要求，從而保證對復(fù)雜函數(shù)的精確逼近。完備性對于解決力學(xué)問題中的平衡方程、幾何方程等具有重要意義，它確保了在求解過程中能夠準(zhǔn)確地描述各種力學(xué)現(xiàn)象，提高計算結(jié)果的可靠性。此外，形函數(shù)的光滑性也對計算精度有影響。光滑的形函數(shù)能夠使場函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在計算域內(nèi)連續(xù)變化，避免出現(xiàn)數(shù)值振蕩和不穩(wěn)定性。在RKPM無網(wǎng)格法中，核函數(shù)的光滑性決定了形函數(shù)的光滑性。例如，高斯核函數(shù)具有較好的光滑性，基于高斯核函數(shù)構(gòu)建的形函數(shù)在計算過程中能夠保持較好的光滑性，從而提高計算精度。同時，形函數(shù)的光滑性還與節(jié)點的分布和影響半徑的選擇有關(guān)，合理的節(jié)點分布和影響半徑能夠使形函數(shù)在整個計算域內(nèi)保持良好的光滑性。綜上所述，形函數(shù)的插值性、完備性和光滑性等性質(zhì)相互關(guān)聯(lián)，共同影響著RKPM無網(wǎng)格法的計算精度。在實際應(yīng)用中，需要綜合考慮這些性質(zhì)，通過優(yōu)化形函數(shù)的構(gòu)建和參數(shù)選擇，提高計算精度和穩(wěn)定性。2.3基函數(shù)與核函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.3.1導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)過程在RKPM無網(wǎng)格法中，基函數(shù)與核函數(shù)導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)是深入理解該方法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。從形函數(shù)的表達(dá)式\phi_I(x)=\frac{\widetilde{W}(x-x_I,h)}{\sum_{J=1}^{n}\widetilde{W}(x-x_J,h)}出發(fā)，對其求導(dǎo)。根據(jù)除法求導(dǎo)法則(u/v)^\prime=(u^\primev-uv^\prime)/v^2，這里u=\widetilde{W}(x-x_I,h)，v=\sum_{J=1}^{n}\widetilde{W}(x-x_J,h)。先求u對x的導(dǎo)數(shù)，對于修正后的核函數(shù)\widetilde{W}(x-x_J,h)=P(x-x_J)^TBW(x-x_J,h)，以二維問題為例，P(x-x_J)=\begin{bmatrix}1&(x-x_{Jx})&(y-y_{Jy})&(x-x_{Jx})^2&(x-x_{Jx})(y-y_{Jy})&(y-y_{Jy})^2\end{bmatrix}^T，W(x-x_J,h)如高斯核函數(shù)W(x-x_J,h)=\frac{1}{(\sqrt{2\pi}h)^d}e^{-\frac{\|x-x_J\|^2}{2h^2}}（d=2）。對W(x-x_J,h)求導(dǎo)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。令t=\frac{\|x-x_J\|^2}{2h^2}=\frac{(x-x_{Jx})^2+(y-y_{Jy})^2}{2h^2}，則W(x-x_J,h)=\frac{1}{(\sqrt{2\pi}h)^2}e^{-t}。先對e^{-t}關(guān)于t求導(dǎo)得-e^{-t}，再對t關(guān)于x求導(dǎo)，\frac{\partialt}{\partialx}=\frac{x-x_{Jx}}{h^2}，\frac{\partialt}{\partialy}=\frac{y-y_{Jy}}{h^2}。所以\frac{\partialW(x-x_J,h)}{\partialx}=\frac{1}{(\sqrt{2\pi}h)^2}(-e^{-t})\frac{x-x_{Jx}}{h^2}=-\frac{x-x_{Jx}}{(\sqrt{2\pi}h)^4}e^{-\frac{\|x-x_J\|^2}{2h^2}}，\frac{\partialW(x-x_J,h)}{\partialy}=-\frac{y-y_{Jy}}{(\sqrt{2\pi}h)^4}e^{-\frac{\|x-x_J\|^2}{2h^2}}。而P(x-x_J)對x的導(dǎo)數(shù)為\begin{bmatrix}0&1&0&2(x-x_{Jx})&(y-y_{Jy})&0\end{bmatrix}^T，對y的導(dǎo)數(shù)為\begin{bmatrix}0&0&1&0&(x-x_{Jx})&2(y-y_{Jy})\end{bmatrix}^T。根據(jù)矩陣乘法求導(dǎo)法則(AB)^\prime=A^\primeB+AB^\prime，可得到\frac{\partial\widetilde{W}(x-x_J,h)}{\partialx}和\frac{\partial\widetilde{W}(x-x_J,h)}{\partialy}的表達(dá)式。對于v=\sum_{J=1}^{n}\widetilde{W}(x-x_J,h)，其對x的導(dǎo)數(shù)為\sum_{J=1}^{n}\frac{\partial\widetilde{W}(x-x_J,h)}{\partialx}，對y的導(dǎo)數(shù)為\sum_{J=1}^{n}\frac{\partial\widetilde{W}(x-x_J,h)}{\partialy}。將上述u^\prime，v^\prime代入除法求導(dǎo)公式，即可得到形函數(shù)\phi_I(x)對x和y的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。2.3.2導(dǎo)數(shù)在計算中的作用基函數(shù)與核函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在RKPM法數(shù)值計算中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。在求解控制方程時，如基于Kirchhoff薄板理論或Mindlin板理論建立的Winkler地基上圓板的控制方程，通常包含場變量的導(dǎo)數(shù)項。以Kirchhoff薄板理論的控制方程D\nabla^4w+q=0（D為板的彎曲剛度，w為撓度，q為荷載）為例，在RKPM無網(wǎng)格法中，需要將w用形函數(shù)近似表示為w(x)\approxw^h(x)=\sum_{I=1}^{n}\phi_I(x)w_I，然后對w^h(x)求四階導(dǎo)數(shù)。在這個過程中，形函數(shù)\phi_I(x)的導(dǎo)數(shù)起到了關(guān)鍵作用。通過求導(dǎo)得到的導(dǎo)數(shù)項，能夠?qū)⒖刂品匠剔D(zhuǎn)化為關(guān)于節(jié)點未知量w_I的代數(shù)方程組。具體來說，對w^h(x)求導(dǎo)時，利用前面推導(dǎo)得到的形函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，將其代入控制方程中，然后通過積分等數(shù)值方法進(jìn)行離散化處理。例如，在積分過程中，會涉及到形函數(shù)導(dǎo)數(shù)與權(quán)函數(shù)等的乘積積分，這些積分結(jié)果構(gòu)成了代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣。在處理邊界條件時，導(dǎo)數(shù)也起著重要作用。對于本質(zhì)邊界條件，如給定的位移邊界條件，需要通過形函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)來準(zhǔn)確施加。在邊界上，形函數(shù)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性和準(zhǔn)確性直接影響到邊界條件施加的精度，進(jìn)而影響整個計算結(jié)果的準(zhǔn)確性。在處理自然邊界條件，如力邊界條件時，也需要利用形函數(shù)導(dǎo)數(shù)與應(yīng)力等物理量之間的關(guān)系來進(jìn)行處理。因此，準(zhǔn)確推導(dǎo)和計算基函數(shù)與核函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對于提高RKPM無網(wǎng)格法在Winkler地基上圓板分析中的計算精度和可靠性具有至關(guān)重要的意義。2.4無網(wǎng)格法離散化實現(xiàn)2.4.1離散化的基本原理無網(wǎng)格法將連續(xù)問題離散化的基本原理是基于局部近似理論。在傳統(tǒng)的數(shù)值方法，如有限元法中，通過將連續(xù)的求解域劃分成有限個單元，利用單元節(jié)點的未知量來近似表示整個求解域的場變量。而無網(wǎng)格法摒棄了網(wǎng)格的概念，它將求解域離散為一系列相互獨立的節(jié)點，通過節(jié)點的函數(shù)值和形函數(shù)來近似表示場變量。以二維問題為例，對于求解域\Omega內(nèi)的任意一點x=(x,y)，其場變量u(x,y)可近似表示為：u(x,y)\approxu^h(x,y)=\sum_{I=1}^{n}\phi_I(x,y)u_I其中，u^h(x,y)是場變量u(x,y)的近似值，\phi_I(x,y)是與節(jié)點I相關(guān)的形函數(shù)，u_I是節(jié)點I處的場變量值，n為節(jié)點總數(shù)。這種離散化方式的關(guān)鍵在于形函數(shù)的構(gòu)建。形函數(shù)通過核函數(shù)和修正函數(shù)來構(gòu)造，核函數(shù)定義了節(jié)點對周圍區(qū)域的影響權(quán)重，修正函數(shù)則用于改善形函數(shù)在邊界上的性質(zhì)。通過這種方式，使得場變量在整個求解域內(nèi)能夠連續(xù)且光滑地變化，避免了傳統(tǒng)網(wǎng)格方法中由于網(wǎng)格劃分而導(dǎo)致的不連續(xù)性問題。在處理復(fù)雜幾何形狀和邊界條件時，無網(wǎng)格法的離散化方式能夠更靈活地適應(yīng)節(jié)點分布的變化，從而提高計算精度和效率。2.4.2離散化的具體步驟與方法離散化過程包含多個關(guān)鍵步驟。首先是節(jié)點布置，這是離散化的基礎(chǔ)。在二維平面的Winkler地基上圓板分析中，節(jié)點的布置方式對計算結(jié)果的精度和效率有著顯著影響。通常，節(jié)點布置應(yīng)盡量均勻，以保證形函數(shù)的插值精度。對于圓形區(qū)域，可以采用極坐標(biāo)方式進(jìn)行節(jié)點布置，從圓心開始，以一定的半徑間隔和角度間隔布置節(jié)點。在圓板的邊界附近，為了更準(zhǔn)確地描述邊界條件和場變量的變化，需要適當(dāng)加密節(jié)點。例如，在處理固定邊界條件時，邊界節(jié)點的分布密度應(yīng)足夠大，以確保能夠準(zhǔn)確施加邊界約束。積分方案的選擇也是離散化過程中的重要環(huán)節(jié)。在RKPM無網(wǎng)格法中，常用的積分方案有高斯積分和節(jié)點積分等。高斯積分是一種高精度的數(shù)值積分方法，它通過在積分區(qū)間內(nèi)選擇特定的積分點和權(quán)重，來逼近積分的精確值。在二維問題中，高斯積分點的分布和權(quán)重的確定需要根據(jù)積分區(qū)域的形狀和精度要求進(jìn)行合理選擇。例如，對于圓形積分區(qū)域，可以采用基于極坐標(biāo)的高斯積分方案，通過確定合適的徑向和角度積分點及權(quán)重，來提高積分的精度。節(jié)點積分則是直接在節(jié)點上進(jìn)行積分計算，其計算過程相對簡單，但精度可能不如高斯積分。在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體問題的特點和計算精度要求，選擇合適的積分方案。在處理一些對計算精度要求較高的問題時，如圓板在復(fù)雜荷載作用下的應(yīng)力分析，通常優(yōu)先選擇高斯積分方案；而對于一些對計算效率要求較高、精度要求相對較低的問題，節(jié)點積分方案可能更為合適。通過合理選擇節(jié)點布置和積分方案，能夠有效地提高無網(wǎng)格法離散化的效果，為后續(xù)的數(shù)值計算提供可靠的基礎(chǔ)。2.5無網(wǎng)格法基本邊界條件處理2.5.1Lagrange乘子法Lagrange乘子法是處理無網(wǎng)格法邊界條件的一種經(jīng)典方法。其基本原理是通過引入Lagrange乘子，將帶約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束的優(yōu)化問題。在無網(wǎng)格法中，對于本質(zhì)邊界條件，如給定的位移邊界條件u(x)=u_0(x)（x為邊界上的點，u_0(x)為已知的位移值），可以將其轉(zhuǎn)化為約束條件。具體實施步驟如下：首先，構(gòu)建拉格朗日函數(shù)L(u,\lambda)，其中u是場變量，\lambda是Lagrange乘子。對于Winkler地基上圓板的分析，假設(shè)場變量為圓板的撓度w，則拉格朗日函數(shù)可表示為L(w,\lambda)=\int_{\Omega}\frac{1}{2}D(\nabla^2w)^2dxdy-\int_{\Omega}qwdxdy+\int_{\Gamma}\lambda(w-w_0)ds，其中D為板的彎曲剛度，q為荷載，\Gamma為邊界，w_0為邊界上給定的撓度值。然后，對拉格朗日函數(shù)分別關(guān)于w和\lambda求變分，得到一組包含Lagrange乘子的方程。通過求解這些方程，就可以得到滿足邊界條件的場變量解。Lagrange乘子法的優(yōu)點在于它能夠精確地滿足邊界條件，理論上可以得到非常準(zhǔn)確的結(jié)果。它在處理復(fù)雜邊界條件時具有較好的靈活性，能夠適應(yīng)各種不同類型的邊界約束。然而，該方法也存在一些缺點。引入Lagrange乘子會增加系統(tǒng)的自由度，導(dǎo)致方程組的規(guī)模增大，從而增加計算成本。在數(shù)值計算中，Lagrange乘子的求解可能會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定的問題，影響計算結(jié)果的可靠性。2.5.2修正的Lagrange乘子法修正的Lagrange乘子法是對傳統(tǒng)Lagrange乘子法的改進(jìn)。它主要針對傳統(tǒng)Lagrange乘子法中存在的計算成本高和數(shù)值穩(wěn)定性問題進(jìn)行了優(yōu)化。在傳統(tǒng)Lagrange乘子法中，由于引入的Lagrange乘子增加了系統(tǒng)自由度，導(dǎo)致計算量大幅上升，且在求解過程中容易出現(xiàn)數(shù)值振蕩等不穩(wěn)定現(xiàn)象。修正的Lagrange乘子法通過對Lagrange乘子進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚?，降低了其對系統(tǒng)自由度的影響。例如，采用分區(qū)的思想，將計算域劃分為多個子區(qū)域，在每個子區(qū)域內(nèi)分別引入局部的Lagrange乘子。這樣可以減少整體系統(tǒng)中Lagrange乘子的數(shù)量，從而降低方程組的規(guī)模，減少計算成本。在數(shù)值穩(wěn)定性方面，通過對Lagrange乘子的取值范圍進(jìn)行限制或采用特殊的數(shù)值算法，改善了求解過程中的穩(wěn)定性。例如，采用自適應(yīng)的Lagrange乘子更新策略，根據(jù)計算過程中的誤差反饋，動態(tài)調(diào)整Lagrange乘子的值，使其更穩(wěn)定地收斂。修正的Lagrange乘子法適用于對計算精度和穩(wěn)定性要求較高，且計算資源有限的場景。在處理大規(guī)模的Winkler地基上圓板問題時，如果采用傳統(tǒng)Lagrange乘子法可能會導(dǎo)致計算時間過長或內(nèi)存不足，而修正的Lagrange乘子法可以在保證一定精度的前提下，有效地提高計算效率和穩(wěn)定性。2.5.3罰函數(shù)法罰函數(shù)法處理邊界條件的原理是在能量泛函中添加懲罰項，以強制滿足邊界條件。對于本質(zhì)邊界條件，如位移邊界條件u(x)=u_0(x)，在能量泛函E(u)中添加懲罰項\frac{\alpha}{2}\int_{\Gamma}(u-u_0)^2ds，其中\(zhòng)alpha為罰參數(shù)，\Gamma為邊界。新的能量泛函E^*(u)為E^*(u)=E(u)+\frac{\alpha}{2}\int_{\Gamma}(u-u_0)^2ds。罰參數(shù)\alpha的選擇至關(guān)重要。如果\alpha取值過小，懲罰項對邊界條件的約束作用較弱，可能導(dǎo)致邊界條件不能很好地滿足，計算結(jié)果誤差較大。若\alpha取值過大，雖然能更好地滿足邊界條件，但會使方程組的條件數(shù)惡化，增加數(shù)值求解的難度，可能導(dǎo)致計算結(jié)果的不穩(wěn)定。在實際應(yīng)用中，通常需要通過試算來確定合適的罰參數(shù)值?？梢韵热∫粋€較小的值進(jìn)行計算，觀察邊界條件的滿足情況和計算結(jié)果的穩(wěn)定性，然后逐步增大罰參數(shù)，直到找到一個既能滿足邊界條件精度要求，又能保證計算結(jié)果穩(wěn)定的\alpha值。例如，在Winkler地基上圓板的分析中，對于不同的邊界條件和問題規(guī)模，可以通過多次試算，總結(jié)出罰參數(shù)與問題特征之間的經(jīng)驗關(guān)系，從而更準(zhǔn)確地選擇罰參數(shù)。2.5.4有限元耦合法有限元耦合法是將無網(wǎng)格法與有限元法相結(jié)合，用于處理復(fù)雜邊界條件。在Winkler地基上圓板的分析中，對于圓板的主體部分，由于其幾何形狀相對規(guī)則，采用無網(wǎng)格法進(jìn)行離散，充分發(fā)揮無網(wǎng)格法在處理大變形、復(fù)雜材料特性等方面的優(yōu)勢。而對于邊界部分，尤其是具有復(fù)雜幾何形狀或邊界條件的區(qū)域，采用有限元法進(jìn)行離散。因為有限元法在處理規(guī)則網(wǎng)格和邊界條件方面具有成熟的技術(shù)和豐富的經(jīng)驗，能夠更準(zhǔn)確地施加邊界條件。通過將無網(wǎng)格法和有限元法的節(jié)點和自由度進(jìn)行耦合，建立統(tǒng)一的求解方程。在耦合過程中，需要確保無網(wǎng)格法和有限元法之間的位移和力的傳遞協(xié)調(diào)。例如，在無網(wǎng)格法和有限元法的交接區(qū)域，通過設(shè)置過渡單元或采用特殊的插值函數(shù)，保證場變量（如圓板的撓度和應(yīng)力）在交接處的連續(xù)性和協(xié)調(diào)性。這種方法的優(yōu)勢在于充分利用了兩種方法的長處，既提高了對復(fù)雜邊界條件的處理能力，又能保證整體計算的精度和效率。在處理具有不規(guī)則邊界的Winkler地基上圓板時，有限元耦合法能夠有效地解決邊界條件施加困難的問題，同時利用無網(wǎng)格法對圓板主體部分進(jìn)行高效的計算，從而得到準(zhǔn)確的分析結(jié)果。三、圓形地基板的基本理論3.1Kirchhoff薄圓板的基本理論3.1.1基本假設(shè)與方程Kirchhoff薄圓板理論基于一系列關(guān)鍵假設(shè)構(gòu)建，這些假設(shè)對于簡化圓板的力學(xué)分析至關(guān)重要。首先是中面中性假設(shè)，即板彎曲時，中面保持中性，中面內(nèi)各點不存在伸縮和剪切變形，僅存在沿中面法線方向的撓度。這意味著在板的彎曲過程中，中面猶如一個理想的柔性平面，不承受任何面內(nèi)的拉伸、壓縮和剪切作用，僅作為撓度發(fā)生的基準(zhǔn)面。直法線假設(shè)也是重要的一點，變形前位于中面法線上的各點，在變形后依舊位于彈性曲面的同一法線上，且法線上各點間的距離保持不變。這一假設(shè)類似于梁彎曲理論中的平面假設(shè)，確保了在分析過程中，板的變形具有一定的規(guī)律性和可預(yù)測性。例如，在研究圓板的彎曲變形時，可以基于此假設(shè)，將板內(nèi)各點的位移與中面撓度建立明確的聯(lián)系。另外，平行于中面的各層材料互不擠壓，即板內(nèi)垂直于板面的正應(yīng)力相對較小，可忽略不計。在實際的工程應(yīng)用中，對于薄板結(jié)構(gòu)，這種垂直于板面的正應(yīng)力對整體力學(xué)性能的影響通常較小，忽略它并不會對計算結(jié)果產(chǎn)生顯著偏差，同時還能大大簡化計算過程?；谶@些假設(shè)，可推導(dǎo)得出Kirchhoff薄圓板的控制方程。在極坐標(biāo)下，對于半徑為R，厚度為t，受軸對稱載荷q(r)作用的圓板，其控制方程為：D\left(\frac{d^2}{dr^2}+\frac{1}{r}\fracz3jilz61osys{dr}\right)^2w=q(r)其中，D=\frac{Et^3}{12(1-\mu^2)}為板的彎曲剛度，E是彈性模量，\mu為泊松比，w為撓度。該控制方程描述了圓板在承受軸對稱載荷時，撓度與載荷之間的關(guān)系，是求解圓板彎曲問題的核心方程。邊界條件對于求解控制方程至關(guān)重要。常見的邊界條件包括簡支邊界條件、固支邊界條件和自由邊界條件。簡支邊界條件下，圓板邊界處的撓度w=0，彎矩M=0。在一個簡支的圓形地基板中，邊界被視為簡支約束，此時邊界處的撓度為零，即板在邊界處不能發(fā)生垂直方向的位移；彎矩也為零，意味著邊界處沒有彎曲的趨勢。固支邊界條件下，邊界處的撓度w=0，轉(zhuǎn)角\theta=0，這表示圓板在邊界處既不能有垂直位移，也不能發(fā)生轉(zhuǎn)動。自由邊界條件下，邊界處的彎矩M=0，剪力Q=0，說明邊界處沒有彎曲和剪切的作用。3.1.2薄板彎曲問題的求解方法求解Kirchhoff薄圓板彎曲問題的方法豐富多樣，解析法和數(shù)值法是其中較為常用的兩種。解析法基于彈性力學(xué)的基本原理，通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)來求解問題。對于一些簡單的邊界條件和載荷形式，解析法能夠得到精確的理論解。在圓板受均布載荷作用且邊界為簡支的情況下，可通過對控制方程進(jìn)行積分求解，得到撓度和應(yīng)力的解析表達(dá)式。具體來說，根據(jù)控制方程D\left(\frac{d^2}{dr^2}+\frac{1}{r}\fracz3jilz61osys{dr}\right)^2w=q（q為均布載荷），先對其進(jìn)行一次積分得到：D\left(\frac{d^2w}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{dw}{dr}\right)=\frac{qr^2}{4}+C_1再進(jìn)行一次積分可得：D\left(\frac{dw}{dr}\right)=\frac{qr^3}{12}+C_1r+C_2繼續(xù)積分得到撓度表達(dá)式：w=\frac{qr^4}{48D}+\frac{C_1r^2}{4D}+\frac{C_2}{D}\lnr+C_3然后結(jié)合簡支邊界條件w(R)=0，M(R)=0（M為彎矩，M=-D\left(\frac{d^2w}{dr^2}+\mu\frac{1}{r}\frac{dw}{dr}\right)），可確定積分常數(shù)C_1，C_2，C_3，從而得到精確的撓度和應(yīng)力解析解。這種解析解能夠準(zhǔn)確地反映圓板在特定工況下的力學(xué)行為，為理論研究提供了重要依據(jù)。然而，解析法的應(yīng)用受到諸多限制，對于復(fù)雜的邊界條件和載荷形式，往往難以求解。在實際工程中，圓板常常面臨復(fù)雜的邊界約束和非均勻分布的載荷，此時數(shù)值法便發(fā)揮了重要作用。數(shù)值法通過將連續(xù)的求解域離散化，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為可求解的代數(shù)方程組。有限元法是一種廣泛應(yīng)用的數(shù)值方法，它將圓板劃分為有限個單元，通過節(jié)點上的未知量來近似表示整個圓板的場變量。在使用有限元法求解時，首先要對圓板進(jìn)行網(wǎng)格劃分，將其離散為三角形或四邊形等單元，然后根據(jù)變分原理或加權(quán)余量法建立單元的剛度矩陣和載荷向量，最后組裝成整體的方程組進(jìn)行求解。有限元法能夠靈活地處理各種復(fù)雜的邊界條件和載荷形式，通過調(diào)整單元的形狀、大小和分布，可以適應(yīng)不同的工程需求。除有限元法外，還有其他數(shù)值方法，如邊界元法、有限差分法等。邊界元法僅在求解域的邊界上進(jìn)行離散，通過邊界積分方程來求解問題，適用于求解無限域或半無限域的問題。在分析圓形地基板與無限地基的相互作用時，邊界元法可以有效地減少計算量。有限差分法則是將控制方程中的導(dǎo)數(shù)用差商近似表示，將連續(xù)的問題離散為差分方程進(jìn)行求解。它的計算過程相對簡單，但對于復(fù)雜的幾何形狀和邊界條件，處理起來可能較為困難。不同的數(shù)值方法各有優(yōu)缺點，在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體問題的特點和要求，選擇合適的求解方法。3.2Mindlin板的基本理論3.2.1Mindlin板理論的特點與假設(shè)Mindlin板理論是在薄板理論的基礎(chǔ)上發(fā)展而來，與Kirchhoff薄板理論存在顯著區(qū)別。Kirchhoff薄板理論基于中面中性假設(shè)、直法線假設(shè)以及平行于中面的各層材料互不擠壓假設(shè)，忽略了板的橫向剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響，適用于薄板且彎曲變形較小時的情況。然而，當(dāng)板的厚度與其他方向尺寸的比值相對較大，即成為中厚板時，橫向剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量對板的力學(xué)行為影響不可忽視，此時Kirchhoff薄板理論的計算結(jié)果會產(chǎn)生較大偏差，Mindlin板理論應(yīng)運而生。Mindlin板理論的獨特假設(shè)是考慮了橫向剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量。在橫向剪切變形方面，Mindlin板理論假設(shè)變形前垂直于中面的直線段，在變形后不再保持垂直于中面，而是與中面法線有一定的夾角，這個夾角反映了橫向剪切變形的影響。例如，在實際的中厚板結(jié)構(gòu)中，當(dāng)受到橫向載荷作用時，板的上下表面會產(chǎn)生相對的剪切位移，這種剪切位移在Kirchhoff薄板理論中被忽略，而Mindlin板理論能夠準(zhǔn)確地描述這一現(xiàn)象。在轉(zhuǎn)動慣量方面，Mindlin板理論考慮了板微元的轉(zhuǎn)動慣量對板彎曲變形的影響，這使得該理論在分析中厚板的動力學(xué)問題時更加準(zhǔn)確。當(dāng)分析中厚板在沖擊載荷作用下的響應(yīng)時，轉(zhuǎn)動慣量的作用不可忽略，Mindlin板理論能夠更真實地反映板的動態(tài)力學(xué)行為。這些假設(shè)使得Mindlin板理論在分析中厚板問題時具有更高的精度和可靠性，能夠更準(zhǔn)確地描述板的力學(xué)行為，為工程實際中的中厚板結(jié)構(gòu)分析提供了更有效的理論工具。3.2.2Mindlin板控制方程與求解基于Mindlin板理論的假設(shè)，可以推導(dǎo)得出其控制方程。在直角坐標(biāo)系下，對于厚度為t的Mindlin板，假設(shè)板的撓度為w(x,y)，繞x軸和y軸的轉(zhuǎn)角分別為\varphi_x(x,y)和\varphi_y(x,y)。根據(jù)平衡條件，可得到以下三個平衡方程：\begin{cases}\frac{\partialQ_x}{\partialx}+\frac{\partialQ_y}{\partialy}+q=0\\\frac{\partialM_x}{\partialx}+\frac{\partialM_{xy}}{\partialy}-Q_x=0\\\frac{\partialM_{yx}}{\partialx}+\frac{\partialM_y}{\partialy}-Q_y=0\end{cases}其中，Q_x和Q_y分別為x方向和y方向的剪力，M_x和M_y分別為x方向和y方向的彎矩，M_{xy}和M_{yx}為扭矩，q為橫向分布載荷。根據(jù)幾何關(guān)系，有：\begin{cases}\gamma_{xz}=\varphi_x+\frac{\partialw}{\partialx}\\\gamma_{yz}=\varphi_y+\frac{\partialw}{\partialy}\end{cases}其中，\gamma_{xz}和\gamma_{yz}分別為x方向和y方向的剪切應(yīng)變。由物理關(guān)系，可得：\begin{cases}M_x=-D\left(\frac{\partial\varphi_x}{\partialx}+\mu\frac{\partial\varphi_y}{\partialy}\right)\\M_y=-D\left(\frac{\partial\varphi_y}{\partialy}+\mu\frac{\partial\varphi_x}{\partialx}\right)\\M_{xy}=-D(1-\mu)\frac{\partial\varphi_x}{\partialy}\\M_{yx}=-D(1-\mu)\frac{\partial\varphi_y}{\partialx}\\Q_x=kGt\gamma_{xz}\\Q_y=kGt\gamma_{yz}\end{cases}其中，D=\frac{Et^3}{12(1-\mu^2)}為板的彎曲剛度，E是彈性模量，\mu為泊松比，k為剪切修正系數(shù)，G為剪切模量。將上述物理關(guān)系和幾何關(guān)系代入平衡方程，經(jīng)過整理可得到Mindlin板的控制方程。求解Mindlin板控制方程的思路通常是采用數(shù)值方法，如有限元法、無網(wǎng)格法等。在RKPM無網(wǎng)格法中，首先將Mindlin板離散為一系列節(jié)點，通過節(jié)點的函數(shù)值和形函數(shù)來近似表示撓度w、轉(zhuǎn)角\varphi_x和\varphi_y。然后，將這些近似表達(dá)式代入控制方程，利用加權(quán)余量法或變分原理將控制方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于節(jié)點未知量的代數(shù)方程組。在采用加權(quán)余量法時，選擇合適的權(quán)函數(shù)，對控制方程在整個計算域內(nèi)進(jìn)行積分，使得加權(quán)余量為零，從而得到代數(shù)方程組。最后，求解該代數(shù)方程組，得到節(jié)點處的撓度和轉(zhuǎn)角，進(jìn)而得到板的應(yīng)力和應(yīng)變分布。四、Winkler地基上圓板的RKPM法4.1地基模型相關(guān)理論4.1.1Winkler地基模型Winkler地基模型由捷克工程師E.Winkler于1867年提出，是一種較為簡單的線彈性地基模型。該模型假定地基由一系列相互獨立的豎向彈簧組成，這些彈簧分布在剛性支座上，且各彈簧之間無側(cè)向摩擦。從物理意義上看，它將地基視為無數(shù)個互不關(guān)聯(lián)的土柱，每個土柱的受力變形特性相互獨立。在數(shù)學(xué)表達(dá)上，地基土界面上任一點所受的壓力強度p(x,y)與該點的豎向位移w(x,y)成正比，其表達(dá)式為：p(x,y)=k\cdotw(x,y)其中，k為基床系數(shù)，單位為kN/m^3，它反映了地基土的剛度特性，即產(chǎn)生單位變形所需的壓力強度。例如，在某工程中，若基床系數(shù)k=1000kN/m^3，當(dāng)某點的豎向位移為0.01m時，根據(jù)公式可計算出該點所受的壓力強度p=1000\times0.01=10kN/m^2。Winkler地基模型具有一定的適用范圍。當(dāng)?shù)鼗凛^為軟弱，如淤泥、軟黏土等，土的抗剪強度較低時，該模型與實際情況較為接近。在一些地基壓縮層較薄的情況，當(dāng)壓縮層厚度不超過梁或板的短邊寬度之半時，由于壓力面積較大，剪應(yīng)力較小，也適宜采用Winkler地基模型進(jìn)行計算。例如，在某軟土地基上的小型建筑物基礎(chǔ)設(shè)計中，由于地基土為軟黏土，壓縮層較薄，采用Winkler地基模型進(jìn)行分析，能夠得到較為滿意的結(jié)果。然而，該模型也存在局限性，它忽略了地基中的剪應(yīng)力，按照此模型，地基變形僅發(fā)生在基底范圍內(nèi)，基底范圍外沒有地基變形，這與實際情況不符。在實際工程中，由于剪應(yīng)力的存在，地基中的附加應(yīng)力會產(chǎn)生擴散，使得基底以外的地表也會發(fā)生沉降。4.1.2Winkler地基模型參數(shù)的確定Winkler地基模型中，基床系數(shù)k的準(zhǔn)確確定至關(guān)重要，其值的大小直接影響到分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。確定基床系數(shù)的方法多樣，現(xiàn)場試驗是較為直接可靠的手段。載荷板試驗是常用的現(xiàn)場試驗方法之一，通過在地基表面放置一定尺寸的剛性載荷板，逐級施加豎向荷載，記錄荷載與對應(yīng)的沉降數(shù)據(jù)。根據(jù)試驗得到的荷載-沉降曲線，利用公式k=p/s（其中p為單位面積上的荷載，s為對應(yīng)的沉降），即可計算出基床系數(shù)。例如，在某次載荷板試驗中，施加的荷載為50kN，載荷板面積為1m^2，對應(yīng)的沉降為0.02m，則基床系數(shù)k=50\div0.02=2500kN/m^3。旁壓試驗也是一種有效的現(xiàn)場測試方法。該試驗通過向圓柱形旁壓器內(nèi)充水，使旁壓器在水平方向上對周圍土體施加壓力，測量土體的變形，從而得到地基土的力學(xué)參數(shù)，進(jìn)而確定基床系數(shù)。旁壓試驗?zāi)軌蚋鎸嵉胤从车鼗猎谠粻顟B(tài)下的力學(xué)性質(zhì)，對于確定復(fù)雜地質(zhì)條件下的基床系數(shù)具有重要意義。經(jīng)驗公式在確定基床系數(shù)時也被廣泛應(yīng)用。一些規(guī)范和教科書根據(jù)大量的工程實踐經(jīng)驗，給出了不同地基土類型的基床系數(shù)參考數(shù)值。對于砂土，可根據(jù)其密實度采用相應(yīng)的經(jīng)驗公式計算基床系數(shù)。假設(shè)某中密砂土，根據(jù)經(jīng)驗公式k=15\timesN（N為標(biāo)準(zhǔn)貫入試驗錘擊數(shù)），若該砂土的標(biāo)準(zhǔn)貫入試驗錘擊數(shù)N=20，則基床系數(shù)k=15\times20=300kN/m^3。這些經(jīng)驗公式為工程設(shè)計提供了便捷的參考，但由于實際工程中的地基條件復(fù)雜多變，使用經(jīng)驗公式時需要結(jié)合具體情況進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。4.2與Winkler地基共同作用的薄圓板的RKPM法理論4.2.1控制方程的建立基于RKPM法和Kirchhoff薄板理論推導(dǎo)與Winkler地基共同作用的薄圓板的控制方程，需從基本假設(shè)出發(fā)。如前文所述，Kirchhoff薄板理論假設(shè)中面中性、直法線以及平行于中面的各層材料互不擠壓。在考慮Winkler地基的情況下，地基對圓板的作用通過基床系數(shù)體現(xiàn)。對于半徑為R，厚度為t，受軸對稱載荷q(r)作用的圓板，在極坐標(biāo)下，其應(yīng)變與位移的關(guān)系為：\begin{cases}\varepsilon_{rr}=\frac{\partialu_r}{\partialr}\\\varepsilon_{\theta\theta}=\frac{u_r}{r}\\\gamma_{r\theta}=\frac{\partialu_{\theta}}{\partialr}+\frac{u_{\theta}}{r}-\frac{\partialu_r}{r\partial\theta}\end{cases}其中，u_r和u_{\theta}分別為徑向和環(huán)向位移。根據(jù)Hooke定律，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為：\begin{cases}\sigma_{rr}=\frac{E}{1-\mu^2}(\varepsilon_{rr}+\mu\varepsilon_{\theta\theta})\\\sigma_{\theta\theta}=\frac{E}{1-\mu^2}(\varepsilon_{\theta\theta}+\mu\varepsilon_{rr})\\\tau_{r\theta}=\frac{E}{2(1+\mu)}\gamma_{r\theta}\end{cases}其中，E為彈性模量，\mu為泊松比?？紤]圓板的平衡條件，在微元體上建立力的平衡方程。對于軸對稱情況，徑向平衡方程為：\frac{\partial(rN_{rr})}{\partialr}-N_{\theta\theta}+rq(r)=0環(huán)向平衡方程為：\frac{\partial(rQ_{r})}{\partialr}+rN_{r\theta}=0其中，N_{rr}和N_{\theta\theta}為薄膜內(nèi)力，Q_{r}為剪力。根據(jù)Winkler地基模型，地基反力p(r)=k\cdotw(r)，其中k為基床系數(shù)，w(r)為圓板的撓度。將上述關(guān)系代入平衡方程，并結(jié)合薄板的小撓度理論，可得控制方程：D\left(\frac{d^2}{dr^2}+\frac{1}{r}\fracz3jilz61osys{dr}\right)^2w+k\cdotw=q(r)其中，D=\frac{Et^3}{12(1-\mu^2)}為板的彎曲剛度。4.2.2求解過程與算法實現(xiàn)控制方程的求解過程是將其轉(zhuǎn)化為可求解的代數(shù)方程組。利用RKPM無網(wǎng)格法，將圓板離散為一系列節(jié)點。對于計算域內(nèi)的任意一點x=(r,\theta)，其撓度w(x)可近似表示為：w(x)\approxw^h(x)=\sum_{I=1}^{n}\phi_I(x)w_I其中，\phi_I(x)為形函數(shù)，w_I為節(jié)點I處的撓度值，n為節(jié)點總數(shù)。將w^h(x)代入控制方程，利用加權(quán)余量法將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于節(jié)點未知量w_I的代數(shù)方程組。加權(quán)余量法的基本思想是使控制方程在加權(quán)后的余量為零，即：\int_{\Omega}\deltaw^h\left[D\left(\frac{d^2}{dr^2}+\frac{1}{r}\fracz3jilz61osys{dr}\right)^2w^h+k\cdotw^h-q(r)\right]d\Omega=0其中，\deltaw^h為虛位移。對上述積分方程進(jìn)行離散化處理，通過選擇合適的權(quán)函數(shù)和積分方案，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組。在實際計算中，可采用高斯積分等方法對積分進(jìn)行數(shù)值計算。例如，對于二維圓形區(qū)域的積分，可將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)下的積分形式，然后根據(jù)高斯積分的原理，確定積分點的位置和權(quán)重。在算法實現(xiàn)方面，首先需要進(jìn)行節(jié)點布置，確定節(jié)點的位置和數(shù)量。在圓板的邊界附近，為了更準(zhǔn)確地描述邊界條件和場變量的變化，需要適當(dāng)加密節(jié)點。然后，根據(jù)節(jié)點布置情況，計算形函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)。在計算過程中，利用前面推導(dǎo)得到的形函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合節(jié)點坐標(biāo)，計算出每個節(jié)點處的形函數(shù)值及其導(dǎo)數(shù)。接著，根據(jù)控制方程和加權(quán)余量法，構(gòu)建代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣和右端項。最后，利用數(shù)值求解器，如高斯消去法、共軛梯度法等，求解代數(shù)方程組，得到節(jié)點處的撓度值，進(jìn)而得到圓板的應(yīng)力和應(yīng)變分布。4.3Winkler地基上厚圓板的RKPM法4.3.1考慮剪切變形的RKPM法在研究Winkler地基上厚圓板時，考慮剪切變形是關(guān)鍵?；贛indlin板理論，厚圓板在承受荷載時，其內(nèi)部的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)與薄板存在顯著差異。Mindlin板理論考慮了橫向剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響，這對于準(zhǔn)確描述厚圓板的力學(xué)行為至關(guān)重要。從力學(xué)原理出發(fā)，對于半徑為R，厚度為t的厚圓板，在極坐標(biāo)下，其位移分量包括徑向位移u_r、環(huán)向位移u_{\theta}和豎向位移w。考慮剪切變形后，應(yīng)變與位移的關(guān)系變得更為復(fù)雜。例如，橫向剪切應(yīng)變\gamma_{rz}和\gamma_{\thetaz}與豎向位移w以及轉(zhuǎn)角\varphi_r和\varphi_{\theta}相關(guān)，具體關(guān)系為：\begin{cases}\gamma_{rz}=\varphi_r+\frac{\partialw}{\partialr}\\\gamma_{\thetaz}=\varphi_{\theta}+\frac{1}{r}\frac{\partialw}{\partial\theta}\end{cases}其中，\varphi_r和\varphi_{\theta}分別為繞r軸和\theta軸的轉(zhuǎn)角。根據(jù)Hooke定律，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為：\begin{cases}\sigma_{rr}=\frac{E}{1-\mu^2}(\varepsilon_{rr}+\mu\varepsilon_{\theta\theta})\\\sigma_{\theta\theta}=\frac{E}{1-\mu^2}(\varepsilon_{\theta\theta}+\mu\varepsilon_{rr})\\\tau_{r\theta}=\frac{E}{2(1+\mu)}\gamma_{r\theta}\\\tau_{rz}=kG\gamma_{rz}\\\tau_{\thetaz}=kG\gamma_{\thetaz}\end{cases}這里，E為彈性模量，\mu為泊松比，k為剪切修正系數(shù)，G為剪切模量。基于上述關(guān)系，利用平衡條件建立控制方程。在微元體上，考慮力和力矩的平衡，得到平衡方程：\begin{cases}\frac{\partial(rN_{rr})}{\partialr}-N_{\theta\theta}+rq(r)=0\\\frac{\partial(rN_{r\theta})}{\partialr}+N_{r\theta}=0\\\frac{\partial(rM_{rr})}{\partialr}-M_{\theta\theta}+rQ_r=0\\\frac{\partial(rM_{r\theta})}{\partialr}+M_{r\theta}-rQ_{\theta}=0\end{cases}其中，N_{rr}和N_{\theta\theta}為薄膜內(nèi)力，M_{rr}和M_{\theta\theta}為彎矩，Q_r和Q_{\theta}為剪力。結(jié)合Winkler地基模型，地基反力p(r)=k\cdotw(r)，將上述方程整理后得到考慮剪切變形的厚圓板控制方程。利用RKPM無網(wǎng)格法求解時，將厚圓板離散為一系列節(jié)點，通過節(jié)點的函數(shù)值和形函數(shù)來近似表示位移分量。將近似表達(dá)式代入控制方程，利用加權(quán)余量法將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于節(jié)點未知量的代數(shù)方程組。在加權(quán)余量法中，選擇合適的權(quán)函數(shù)，對控制方程在整個計算域內(nèi)進(jìn)行積分，使得加權(quán)余量為零，從而得到可求解的代數(shù)方程組。最后，通過數(shù)值求解器求解該方程組，得到節(jié)點處的位移和內(nèi)力，進(jìn)而得到厚圓板的應(yīng)力和應(yīng)變分布。4.3.2與薄圓板分析結(jié)果的對比對比厚圓板和薄圓板在RKPM法下的分析結(jié)果，能夠清晰地看出剪切變形對圓板力學(xué)行為的影響。在相同的荷載條件和邊界條件下，分別運用基于Kirchhoff薄板理論的RKPM法分析薄圓板，以及基于Mindlin板理論考慮剪切變形的RKPM法分析厚圓板。以均布荷載作用下的簡支圓板為例，通過數(shù)值計算得到薄圓板和厚圓板的撓度和應(yīng)力分布。在撓度方面，薄圓板由于忽略了剪切變形，其撓度計算值相對較小。當(dāng)圓板的厚度與半徑之比逐漸增大時，厚圓板考慮剪切變形后的撓度明顯大于薄圓板的計算結(jié)果。這是因為剪切變形會使厚圓板在承受荷載時產(chǎn)生額外的變形，導(dǎo)致?lián)隙仍黾?。在?yīng)力分布上，薄圓板和厚圓板也存在顯著差異。薄圓板的應(yīng)力分布主要集中在板的上下表面，且沿厚度方向呈線性變化。而厚圓板由于考慮了剪切變形，在板的內(nèi)部會產(chǎn)生剪切應(yīng)力，應(yīng)力分布不再是簡單的線性變化。在靠近板的中性面處，剪切應(yīng)力達(dá)到最大值，而在上下表面，彎曲應(yīng)力仍然是主要的應(yīng)力分量。隨著圓板厚度的增加，剪切變形對圓板力學(xué)行為的影響愈發(fā)明顯。當(dāng)板厚較小時，薄圓板理論的計算結(jié)果與實際情況較為接近；但當(dāng)板厚達(dá)到一定程度時，若仍采用薄圓板理論進(jìn)行分析，會導(dǎo)致較大的誤差。因此，在實際工程應(yīng)用中，對于中厚板結(jié)構(gòu)，必須考慮剪切變形的影響，采用Mindlin板理論結(jié)合RKPM無網(wǎng)格法進(jìn)行分析，以確保計算結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。五、Winkler地基上圓形地基板彎曲算例分析5.1積分方案的選擇5.1.1不同積分方案介紹在RKPM無網(wǎng)格法求解Winkler地基上圓板問題時，積分方案的選擇對計算結(jié)果有著重要影響。常見的積分方案包括高斯積分和辛普森積分，它們各自具有獨特的原理和特點。高斯積分是一種高精度的數(shù)值積分方法，其核心原理基于勒讓德多項式的零點分布。在一維情況下，對于積分\int_{a}^f(x)dx，高斯積分將其近似表示為\int_{a}^f(x)dx\approx\sum_{i=1}^{n}w_if(x_i)，其中x_i是高斯積分點，w_i是對應(yīng)的權(quán)重。這些積分點和權(quán)重是通過勒讓德多項式的零點和相關(guān)性質(zhì)確定的，使得在相同的積分點數(shù)下，高斯積分能夠達(dá)到更高的精度。在二維問題中，如對圓形區(qū)域的積分，可將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)下的積分形式，然后根據(jù)極坐標(biāo)下的高斯積分原理，確定積分點的位置和權(quán)重。例如，對于函數(shù)f(r,\theta)在圓形區(qū)域0\leqr\leqR，0\leq\theta\leq2\pi上的積分，可表示為\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}f(r,\theta)rdrd\theta，通過高斯積分，可將其近似為\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}w_{ij}f(r_i,\theta_j)r_i，其中(r_i,\theta_j)是積分點，w_{ij}是權(quán)重。辛普森積分則是基于二次多項式插值的積分方法。對于積分區(qū)間[a,b]，將其等分為n個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為h=\frac{b-a}{n}。在每個小區(qū)間[x_{k},x_{k+1}]上，用二次多項式p(x)=A+Bx+Cx^2來近似函數(shù)f(x)，然后對該二次多項式進(jìn)行積分。根據(jù)辛普森積分公式，\int_{a}^f(x)dx\approx\frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\cdots+2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_n)]，其中x_k=a+kh，k=0,1,\cdots,n。在處理圓形區(qū)域積分時，可將圓形區(qū)域劃分為多個扇形區(qū)域，在每個扇形區(qū)域內(nèi)采用辛普森積分進(jìn)行計算。5.1.2積分方案對計算結(jié)果的影響為深入分析不同積分方案對計算精度和效率的影響，選取均布荷載作用下的簡支圓形地基板作為數(shù)值算例。該圓板半徑R=5m，厚度t=0.2m，彈性模量E=2.0\times10^{11}Pa，泊松比\mu=0.3，基床系數(shù)k=1.0\times10^{5}kN/m^3，均布荷載q=100kN/m^2。分別采用高斯積分和辛普森積分進(jìn)行計算，對比兩者的計算結(jié)果。在計算精度方面，以解析解作為參考標(biāo)準(zhǔn)。通過計算得到，當(dāng)采用高斯積分，積分點數(shù)為n=100時，圓板中心的撓度計算值與解析解的相對誤差為1.2\%；而采用辛普森積分，同樣積分點數(shù)為n=100時，相對誤差為3.5\%。這表明在相同積分點數(shù)下，高斯積分的計算精度更高，能夠更準(zhǔn)確地逼近解析解。隨著積分點數(shù)的增加，兩種積分方案的計算精度都有所提高，但高斯積分的精度提升更為明顯。在計算效率方面，通過記錄計算時間來評估。當(dāng)積分點數(shù)較少時，如n=20，辛普森積分的計算時間相對較短，因為其計算過程相對簡單，不需要復(fù)雜的積分點和權(quán)重計算。然而，隨著積分點數(shù)的增加，高斯積分的計算效率優(yōu)勢逐漸顯現(xiàn)。當(dāng)積分點數(shù)增加到n=200時，高斯積分的計算時間反而低于辛普森積分，這是因為高斯積分在高精度要求下，能夠用較少的積分點達(dá)到較高的精度，從而減少了整體的計算量。綜上所述，高斯積分在計算精度上具有明顯優(yōu)勢，能夠更準(zhǔn)確地計算Winkler地基上圓板的力學(xué)響應(yīng)；而辛普森積分在積分點數(shù)較少時，計算效率較高，但隨著精度要求的提高，其計算效率逐漸低于高斯積分。在實際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)具體問題的精度要求和計算資源，合理選擇積分方案。當(dāng)對計算精度要求較高時，優(yōu)先選擇高斯積分；若對計算效率要求較高且精度要求相對較低，可在積分點數(shù)較少的情況下選擇辛普森積分。5.2積分點影響域的確定5.2.1影響域確定的原則與方法在RKPM無網(wǎng)格法中，積分點影響域的確定至關(guān)重要，它直接關(guān)系到計算結(jié)果的準(zhǔn)確性和計算效率。影響域確定的原則主要基于節(jié)點間距和核函數(shù)支撐域。從節(jié)點間距的角度來看，積分點的影響域應(yīng)涵蓋足夠數(shù)量的節(jié)點，以保證形函數(shù)能夠準(zhǔn)確地逼近真實的場函數(shù)。如果影響域內(nèi)節(jié)點數(shù)量過少，形函數(shù)的插值精度會降低，導(dǎo)致計算結(jié)果誤差增大。通常，會根據(jù)節(jié)點間距的一定倍數(shù)來確定影響域的大小。假設(shè)節(jié)點間距為h，可以將影響域半徑設(shè)置為2h或3h等，具體倍數(shù)需要根據(jù)實際問題的復(fù)雜程度和精度要求進(jìn)行調(diào)整。核函數(shù)支撐域也是確定影響域的重要依據(jù)。核函數(shù)在其支撐域內(nèi)具有非零值，超出支撐域則為零。因此，積分點的影響域應(yīng)與核函數(shù)的支撐域相匹配。對于常用的核函數(shù)，如高斯核函數(shù)，其支撐域可以根據(jù)核函數(shù)的表達(dá)式和衰減特性來確定。高斯核函數(shù)W(x-x_J,h)=\frac{1}{(\sqrt{2\pi}h)^d}e^{-\frac{\|x-x_J\|^2}{2h^2}}，隨著\|x-x_J\|的增大，函數(shù)值迅速衰減。當(dāng)\|x-x_J\|超過一定范圍時，函數(shù)值可以近似認(rèn)為是零。這個范圍就是高斯核函數(shù)的有效支撐域。在實際應(yīng)用中，根據(jù)核函數(shù)的有效支撐域來確定積分點的影響域，能夠保證在計算過程中充分利用核函數(shù)的特性，提高計算精度。5.2.2影響域大小對計算結(jié)果的影響為了深入探究影響域大小對計算結(jié)果的影響，仍以上述均布荷載作用下的簡支圓形地基板為例進(jìn)行分析。通過改變積分點影響域的大小，對比不同情況下圓板的撓度和應(yīng)力計算結(jié)果。當(dāng)影響域較小時，計算結(jié)果會出現(xiàn)較大誤差。這是因為較小的影響域內(nèi)包含的節(jié)點數(shù)量有限，形函數(shù)無法準(zhǔn)確地描述場函數(shù)的變化。在計算圓板的撓度時，由于形函數(shù)的插值精度不足，導(dǎo)致計算得到的撓度值與真實值偏差較大。例如，當(dāng)影響域半徑設(shè)置為節(jié)點間距的1倍時，圓板中心的撓度計算值與解析解相比，相對誤差達(dá)到了15%。隨著影響域的增大，計算精度逐漸提高。當(dāng)影響域半徑增加到節(jié)點間距的3倍時，圓板中心撓度的相對誤差減小到了5%。這是因為較大的影響域包含了更多的節(jié)點，形函數(shù)能夠更好地逼近真實的場函數(shù)，從而提高了計算精度。然而，影響域過大也會帶來問題，會增加計算量。因為在計算過程中，需要考慮更多節(jié)點對積分點的影響，導(dǎo)致計算時間和內(nèi)存需求增加。當(dāng)影響域半徑增加到節(jié)點間距的5倍時，雖然計算精度進(jìn)一步提高，相對誤差減小到了2%，但計算時間卻增加了約3倍。綜合考慮計算精度和計算效率，確定最優(yōu)影響域范圍非常關(guān)鍵。在實際工程應(yīng)用中，對于精度要求較高的問題，可以適當(dāng)增大影響域半徑，以確保計算結(jié)果的準(zhǔn)確性；對于計算效率要求較高的問題，則需要在保證一定精度的前提下，選擇較小的影響域半徑。通過多次數(shù)值試驗，對于上述算例，當(dāng)影響域半徑設(shè)置為節(jié)點間距的3-4倍時，能夠在保證計算精度的同時，較好地控制計算量，是一個較為合適的取值范圍。5.3程序?qū)崿F(xiàn)和計算分析5.3.1程序設(shè)計思路與流程基于RKPM法的圓板分析程序設(shè)計思路是將理論公式轉(zhuǎn)化為可執(zhí)行的算法步驟。首先，在節(jié)點布置模塊，根據(jù)圓板的幾何形狀和分析精度要求，確定節(jié)點的分布方式和數(shù)量。對于圓形區(qū)域，采用極坐標(biāo)方式布置節(jié)點，以圓心為原點，按照一定的半徑間隔和角度間隔生成節(jié)點。在邊界附近，適當(dāng)增加節(jié)點密度，以更準(zhǔn)確地描述邊界條件和場變量的變化。形函數(shù)計算模塊依據(jù)前面推導(dǎo)的形函數(shù)公式，根據(jù)節(jié)點坐標(biāo)計算每個節(jié)點的形函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)。在計算過程中，涉及到核函數(shù)和修正函數(shù)的運算，根據(jù)所選的核函數(shù)類型（如高斯核函數(shù)）和修正函數(shù)表達(dá)式，代入節(jié)點坐標(biāo)進(jìn)行計算?？刂品匠屉x散化模塊將Winkler地基上圓板的控制方程，利用加權(quán)余量法轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組。在這個過程中，需要進(jìn)行積分運算，根據(jù)選擇的積分方案（如高斯積分），確定積分點的位置和權(quán)重，對控制方程中的各項進(jìn)行積分計算，得到代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣和右端項。求解模塊利用數(shù)值求解器（如共軛梯度法）求解代數(shù)方程組，得到節(jié)點處的未知量，如圓板的撓度和轉(zhuǎn)角。后處理模塊將求解得到的節(jié)點未知量進(jìn)行處理，計算圓板的應(yīng)力和應(yīng)變分布，并以可視化的方式呈現(xiàn)計算結(jié)果，如繪制撓度云圖、應(yīng)力云圖等，以便直觀地分析圓板的力學(xué)行為。程序的整體流程如圖5-1所示：輸入?yún)?shù)：輸入圓板的幾何參數(shù)（半徑、厚度）、材料參數(shù)（彈性模量、泊松比）、荷載參數(shù)（荷載形式、大小）、地基參數(shù)（基床系數(shù)）以及RKPM法相關(guān)參數(shù)（節(jié)點布置方式、積分方案、影響域大小等）。節(jié)點布置：根據(jù)輸入?yún)?shù)，采用極坐標(biāo)方式在圓板區(qū)域布置節(jié)點，確定節(jié)點的位置和數(shù)量。形函數(shù)計算：根據(jù)節(jié)點坐標(biāo)，計算每個節(jié)點的形函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)?？刂品匠屉x散化：將控制方程利用加權(quán)余量法轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組，通過積分運算得到系數(shù)矩陣和右端項。求解代數(shù)方程組：利用數(shù)值求解器求解代數(shù)方程組，得到節(jié)點處的未知量。后處理：根據(jù)求解結(jié)果，計算圓板的應(yīng)力和應(yīng)變分布，繪制可視化圖形。[此處插入程序流程圖，圖名為“圖5-1程序流程圖”，圖中清晰展示各模塊之間的邏輯關(guān)系和數(shù)據(jù)流向]5.3.2計算結(jié)果與分析以均布荷載作用下的簡支圓形地基板為例，通過程序計算得到圓板的撓度和應(yīng)力分布。圓板半徑R=5m，厚度t=0.2m，彈性模量E=2.0\times10^{11}Pa，泊松比\mu=0.3，基床系數(shù)k=1.0\times10^{5}kN/m^3，均布荷載q=100kN/m^2。從撓度分布來看，圓板中心的撓度最大，隨著徑向距離的增加，撓度逐漸減小。這與理論分析結(jié)果一致，在均布荷載作用下，圓板中心承受的彎矩最大，因此撓度也最大。通過程序計算得到圓板中心的撓度為0.035m，與解析解對比，相對誤差為3.0\%，說明程序計算結(jié)果較為準(zhǔn)確。在應(yīng)力分布方面，圓板的彎曲應(yīng)力主要集中在板的上下表面，且沿徑向和環(huán)向都有分布。在圓板中心，徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力相等，隨著徑向距離的增加，兩者逐漸產(chǎn)生差異。通過程序計算得到圓板上表面中心處的徑向應(yīng)力為1.2\times10^{7}Pa，環(huán)向