2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試：抽樣調(diào)查方法與統(tǒng)計(jì)推斷試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述抽樣調(diào)查相比全面調(diào)查的主要優(yōu)點(diǎn)。二、簡述抽樣誤差和非抽樣誤差的區(qū)別。三、在分層抽樣中，確定各層樣本量的方法有哪些？簡述比例分配法和最優(yōu)分配法的核心思想。四、某地區(qū)欲調(diào)查成年男性吸煙率，計(jì)劃進(jìn)行整群抽樣。簡述整群抽樣的主要步驟，并指出其與簡單隨機(jī)抽樣的主要區(qū)別。五、解釋抽樣平均誤差的含義。在什么情況下，分層抽樣的抽樣平均誤差一定小于或等于簡單隨機(jī)抽樣的抽樣平均誤差？六、已知某總體服從正態(tài)分布，方差已知。欲對(duì)總體均值μ進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，若要求置信水平為95%，且希望置信區(qū)間長度不超過5個(gè)單位，問至少需要抽取多少樣本量？七、從正態(tài)分布總體（方差未知）中抽取樣本，樣本量為n=16，樣本均值為x?=50，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=8。試求總體均值μ的95%置信區(qū)間。八、假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟是什么？在假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第一類錯(cuò)誤和犯第二類錯(cuò)誤的含義分別是什么？九、設(shè)總體服從正態(tài)分布，方差未知?，F(xiàn)檢驗(yàn)假設(shè)H?:μ=75vsH?:μ≠75。抽取樣本n=25，樣本均值為x?=78，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=10。若顯著性水平α=0.05，請(qǐng)完成檢驗(yàn)的步驟（包括計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定拒絕域或p值、做出統(tǒng)計(jì)決策）。十、解釋p值的意義。在假設(shè)檢驗(yàn)中，如果p值小于顯著性水平α，應(yīng)做出怎樣的統(tǒng)計(jì)決策？十一、某研究者欲比較兩種不同的教學(xué)方法（A和B）對(duì)學(xué)生的考試成績是否有顯著影響。隨機(jī)抽取60名學(xué)生，平均分成兩組，分別接受A和B兩種教學(xué)方法。A組平均分x??=85，標(biāo)準(zhǔn)差s?=10；B組平均分x??=82，標(biāo)準(zhǔn)差s?=12。在α=0.01的顯著性水平下，檢驗(yàn)兩種教學(xué)方法的效果是否有顯著差異（假設(shè)兩組方差相等）。十二、在實(shí)際抽樣調(diào)查中，如何控制或減少抽樣誤差和非抽樣誤差？請(qǐng)分別提出至少兩種具體的措施。試卷答案一、抽樣調(diào)查可以節(jié)省人力、物力和時(shí)間成本；可以更快地獲得信息；可以調(diào)查那些無法進(jìn)行全面調(diào)查的現(xiàn)象；抽樣結(jié)果可以通過推斷總體，提供比全面調(diào)查更可靠的信息（答對(duì)其中任意三點(diǎn)即可）。二、抽樣誤差是由于抽樣引起的、用樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差，具有隨機(jī)性，可以通過改進(jìn)抽樣組織方式來控制其大小。非抽樣誤差是指除抽樣誤差之外，在調(diào)查過程中由于各種原因造成的誤差，包括登記誤差、測量誤差、無回答誤差、抽樣框誤差等，具有系統(tǒng)性或隨機(jī)性，控制難度較大。三、確定各層樣本量的方法有：比例分配法（按各層總體單位數(shù)占總體單位總數(shù)的比例分配樣本量）、奈曼分配法（最優(yōu)分配法，按各層方差與層單位數(shù)比例的反比分配樣本量，使總體方差為最小的樣本方差）。比例分配法的核心思想是保持樣本在各層中的比例與總體在各層中的比例相同。最優(yōu)分配法的核心思想是優(yōu)先抽取方差較大、單位數(shù)較少的層，以在相同樣本量的情況下獲得最小的抽樣誤差。四、整群抽樣的主要步驟：確定總體單元、劃分群、確定群的大小、確定抽取的群數(shù)（采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣抽取群）、對(duì)抽中的群內(nèi)所有單元進(jìn)行調(diào)查。主要區(qū)別在于：簡單隨機(jī)抽樣直接從總體中抽取個(gè)體，而整群抽樣是先抽取群，再對(duì)群內(nèi)所有或部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查。五、抽樣平均誤差是指樣本統(tǒng)計(jì)量（如樣本均值）的標(biāo)準(zhǔn)差，反映了樣本統(tǒng)計(jì)量圍繞總體參數(shù)波動(dòng)的平均程度。在分層抽樣中，若各層內(nèi)方差較小且層間方差較大，且各層樣本量按比例分配時(shí)，其抽樣平均誤差可能小于簡單隨機(jī)抽樣。最優(yōu)分配法通過考慮各層方差和層單位數(shù)，使得在相同樣本量下，分層抽樣的抽樣平均誤差最小，因此最優(yōu)分配法的抽樣平均誤差一定小于或等于簡單隨機(jī)抽樣的抽樣平均誤差。六、設(shè)總體方差為σ2，置信水平為1-α，置信區(qū)間長度為L。對(duì)于正態(tài)總體，均值的置信區(qū)間為(x?-z_(α/2)*σ/√n,x?+z_(α/2)*σ/√n)。區(qū)間長度L=2*z_(α/2)*σ/√n。已知L=5，α=0.05，z_(α/2)=z_0.025=1.96。5=2*1.96*σ/√n需要知道總體方差σ2（或σ），才能確定具體的樣本量n。若假設(shè)總體方差σ2已知（例如σ=102=100），則：5=2*1.96*10/√n√n=2*1.96*10/5=7.84n=7.842≈61.4656由于樣本量必須為整數(shù)，且要保證置信區(qū)間長度不超過5，需取n≥62。七、總體方差未知，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ。置信水平為95%，自由度df=n-1=16-1=15。查t分布表得t_(α/2)=t_0.025(df=15)≈2.131。置信區(qū)間=(x?-t_(α/2)*s/√n,x?+t_(α/2)*s/√n)=(50-2.131*8/√16,50+2.131*8/√16)=(50-2.131*2,50+2.131*2)=(50-4.262,50+4.262)=(45.738,54.262)八、假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟：1.提出原假設(shè)H?和備擇假設(shè)H?。2.選擇顯著性水平α。3.確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布。4.根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布和α確定拒絕域（臨界值法）或計(jì)算p值（p值法）。5.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值，或計(jì)算p值。6.做出統(tǒng)計(jì)決策：若觀察值落入拒絕域或p值小于α，則拒絕H?；否則，不拒絕H?。犯第一類錯(cuò)誤的含義是在原假設(shè)H?為真時(shí)，錯(cuò)誤地拒絕了H?，即“棄真”錯(cuò)誤。犯第二類錯(cuò)誤的含義是在原假設(shè)H?為假時(shí)，錯(cuò)誤地接受了H?，即“取偽”錯(cuò)誤。九、檢驗(yàn)假設(shè)H?:μ=75vsH?:μ≠75?？傮w方差未知，用t檢驗(yàn)。樣本量n=25，樣本均值x?=78，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=10，μ?=75。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(x?-μ?)/(s/√n)=(78-75)/(10/√25)=3/(10/5)=3/2=1.5。自由度df=n-1=25-1=24。顯著性水平α=0.05。這是雙側(cè)檢驗(yàn)，拒絕域?yàn)閨t|>t_(α/2,df=24)。查t分布表得t_(0.025,df=24)≈2.064。拒絕域?yàn)閨t|>2.064，即t<-2.064或t>2.064。計(jì)算得到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=1.5，不落入拒絕域（1.5<2.064）。或者計(jì)算p值：p值=2*P(T>|t|)=2*P(T>1.5)，其中T~t_(24)。查t分布表或使用計(jì)算器，P(T>1.5,df=24)≈0.1292。p值=2*0.1292=0.2584。比較p值與α：p值(0.2584)>α(0.05)。決策：不拒絕H?。十、p值是在原假設(shè)H?為真的前提下，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。在假設(shè)檢驗(yàn)中，如果p值小于顯著性水平α，說明在H?為真時(shí)，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果的概率很小（小于我們?cè)O(shè)定的閾值α），根據(jù)小概率原理，有理由懷疑H?的真實(shí)性，因此應(yīng)做出拒絕H?的統(tǒng)計(jì)決策。十一、檢驗(yàn)假設(shè)H?:μ?=μ?vsH?:μ?≠μ?（兩獨(dú)立樣本均值差檢驗(yàn)，假設(shè)方差相等）。樣本量n?=n?=30，A組均值x??=85，標(biāo)準(zhǔn)差s?=10；B組均值x??=82，標(biāo)準(zhǔn)差s?=12。合并方差估計(jì)s_p2=[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2]/(n?+n?-2)=[(30-1)102+(30-1)122]/(30+30-2)=[29*100+29*144]/58=[2900+4176]/58=7076/58≈121.5862合并標(biāo)準(zhǔn)差s_p=√121.5862≈11.0276。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(x??-x??)/[s_p*√(1/n?+1/n?)]=(85-82)/[11.0276*√(1/30+1/30)]=3/[11.0276*√(2/30)]=3/[11.0276*√(1/15)]=3/[11.0276*(1/√15)]=3*√15/11.0276≈3*3.87298/11.0276≈11.62894/11.0276≈1.0547。自由度df=n?+n?-2=30+30-2=58。顯著性水平α=0.01。這是雙側(cè)檢驗(yàn)，拒絕域?yàn)閨t|>t_(α/2,df=58)。查t分布表得t_(0.005,df=58)≈2.660。拒絕域?yàn)閨t|>2.660，即t<-2.660或t>2.660。計(jì)算得到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t≈1.0547，不落入拒絕域（1.0547<2.660）?；蛘哂?jì)算p值：p值=2*P(T>|t|)=2*P(T>1.0547)，其中T~t_(58)。查t分布表或使用計(jì)算器，P(T>1.0547,df=58)≈0.1505。p值=2*0.1505=0.3010。比較p值與α：p值(0.3010)>α(0.01)。決策：不拒絕H?。十二、控制或減少抽樣誤差：1.增加樣本量n：在其他條件不變的情況下，增大樣本量可以減小抽樣平均誤差。2.改進(jìn)抽樣組織方式：采用更有效的抽樣方法（如分層抽樣、整群抽樣的優(yōu)化設(shè)計(jì)），可以減小抽樣誤差。3.減小總體方差σ2：雖然總體方差是客觀存在的，但選擇研究變量或改進(jìn)測量工具可能有助于相對(duì)