試題試題廣州市海珠中學2023-2024學年第一學期高一12月月考數(shù)學試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合U=R，集合，則（）A.(1,2) B.[1,2] C.(-2，-1) D.[-2，-1]2.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.3.設(shè)，則“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知定義在上的奇函數(shù)，滿足時，，則的值為（）A.-15 B.-7 C.3 D.155.若滿足，則（）A. B. C. D.6.已知，則的最小值為（）A. B.4C D.7.已知方程的實數(shù)解為，且，，則（）A.1 B.2 C.3 D.48.若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對任意，都有，且當時，，若函數(shù)（）在區(qū)間恰有3個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C.（35］ D.（1,5]二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分）9.（多選題）下列命題中的真命題是（）A. B.C. D.10.下列結(jié)論中，正確的是（）A.函數(shù)是指數(shù)函數(shù)B.函數(shù)值域是C.若，則D.函數(shù)的圖像必過定點11.下面命題正確的是（）A.“”是“”必要不充分條件B.“”是“一元二次方程有一正一負根”的充要條件C.設(shè)，則“”是“且”的充分不必要條件D.“”是“”的必要不充分條件12.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.在上是增函數(shù) D.的值域是三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上）13._______．14.已知函數(shù)對任意、，都有，則實數(shù)取值范圍為______.15.已知t是實數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上恰好有1個零點，則t的取值范圍是_________．16.定義：關(guān)于x的兩個不等式和的解集分別為和，則稱這兩個不等式為對偶不等式.如果不等式與不等式為對偶不等式，且，則______.四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.（1）已知，求的值；（2）已知（），求的值.18.已知：變量滿足不等式.（1）求變量的取值范圍；（2）在(1)的條件下，求函數(shù)的最大值和最小值.19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取得最值時的值．20.已知函數(shù)f(x)＝log2.（1）若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，求a的值；（2）若函數(shù)f(x)的定義域是一切實數(shù)，求a的取值范圍；（3）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值與最小值的差不小于2，求實數(shù)a的取值范圍．21.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量（單位：千克）與施用肥料（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費）元．已知這種水果的市場售價大約為15元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求．記該水果樹的單株利潤為（單位：元）．（1）求的函數(shù)關(guān)系式；（2）當施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？22.已知函數(shù)，在區(qū)間上有最大值，有最小值，設(shè)．（1）求的值；（2）不等式在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．

廣州市海珠中學2023-2024學年第一學期高一12月月考數(shù)學試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合U=R，集合，則（）A.(1,2) B.[1,2] C.(-2，-1) D.[-2，-1]【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式化簡集合的表示，再利用補集的定義，結(jié)合數(shù)軸求出即可.【詳解】因為，U=R,所以[1,2]．故選：B【點睛】本題考查了一元二次不等式的解法，考查了集合補集的定義，屬于基礎(chǔ)題.2.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式即可得出答案.【詳解】要使得函數(shù)有意義，必須解得，則該函數(shù)的定義域為故選：A3.設(shè)，則“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】分析：首先求解絕對值不等式，然后求解三次不等式即可確定兩者之間的關(guān)系.詳解：絕對值不等式，由.據(jù)此可知是的充分而不必要條件.本題選擇A選項.點睛：本題主要考查絕對值不等式的解法，充分不必要條件的判斷等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.4.已知定義在上的奇函數(shù)，滿足時，，則的值為（）A.-15 B.-7 C.3 D.15【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義域關(guān)于原點中心對稱,可求得的值.根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì),即可求得的值.【詳解】因為奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點中心對稱則,解得因為奇函數(shù)當時,則故選:A【點睛】本題考查了奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,奇函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5.若滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可.【詳解】，，因，，所以，所以，即，而，所以，故選：C6.已知，則的最小值為（）A. B.4C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用配湊方法，結(jié)合均值不等式求解作答.【詳解】因為，則，，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故選：D7.已知方程的實數(shù)解為，且，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】先轉(zhuǎn)化為兩個簡單函數(shù)判斷交點所在區(qū)間的大致范圍，再由零點判定定理確定即可．【詳解】解：，令，在同一坐標系畫出圖象可得由圖可知，令，，，，，，故選：．【點睛】本題主要考查函數(shù)零點所在區(qū)間的求法，圖象法和零點判定定理．將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點的問題是常用的手段，屬于基礎(chǔ)題．8.若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對任意，都有，且當時，，若函數(shù)（）在區(qū)間恰有3個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C.（3,5］ D.（1,5]【答案】C【解析】【分析】求得當時，函數(shù)，根據(jù)，得到函數(shù)的周期為2，把函數(shù)在區(qū)間恰有3個不同的零點，轉(zhuǎn)化為即函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有3個不同的交點，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則當時，則，函數(shù)，又由對任意，都有，則，即周期為2，又由函數(shù)（）在區(qū)間恰有3個不同的零點，即函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有3個不同的交點，又由，則滿足且，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中解答中根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的解析式，以及求得函數(shù)的周期，再集合兩個函數(shù)的圖象的性質(zhì)列出不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分）9.（多選題）下列命題中的真命題是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)對應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，判斷命題的真假.【詳解】指數(shù)函數(shù)值域，所以，A選項正確；當時，，所以假命題，B選項錯誤；當時，，所以，C選項正確；函數(shù)值域為R，所以，D選項正確.故選：ACD.10.下列結(jié)論中，正確的是（）A.函數(shù)是指數(shù)函數(shù)B.函數(shù)的值域是C.若，則D.函數(shù)的圖像必過定點【答案】BD【解析】【分析】對每一個選項進行逐一判斷其真假，得出答案.【詳解】選項A.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，可得不是指數(shù)函數(shù)，故A不正確.選項B.當時，，故B正確.選項C.當時，函數(shù)單調(diào)遞減，由，則，故C不正確.選項D.由，可得的圖象恒過點，故D正確.故選：BD【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查指數(shù)函數(shù)的定義、單調(diào)性以及圖象過定點的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11.下面命題正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.“”是“一元二次方程有一正一負根”的充要條件C.設(shè)，則“”是“且”的充分不必要條件D.“”是“”的必要不充分條件【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義，即可判斷A選項；根據(jù)一元二次方程中根的個數(shù)和根與系數(shù)的關(guān)系，即可判斷B選項；由“”，則不一定有“且”，即可判斷C選項；若，則或，結(jié)合必要不充分條件的定義，即可判斷D選項.【詳解】解：對于A，根據(jù)必要不充分條件定義，可知A正確；對于B，若，則，所以一元二次方程有兩個根，且一正一負根，若一元二次方程有一正一負根，則，則，故B正確；對于C，若“”，則不一定有“且”，而若“且”，則一定有“”，所以“”是“且”的必要不充分條件，故C不正確；對于D，若，則或，則若“”，則不一定有“”，而“”時，一定有“”，所以“”是“”的必要不充分條件，故D正確.故選：ABD.12.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.在上是增函數(shù) D.的值域是【答案】BC【解析】【分析】計算出和的值后結(jié)合奇偶性定義可判斷A，由奇偶性定義判斷B，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷C，確定出的取值范圍后得出的值域判斷D．【詳解】根據(jù)題意知，．∵，，，∴函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，A錯誤；，∴是奇函數(shù)，B正確；∵在R上是增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在R上是增函數(shù)，C正確；∵，∴，，∴，∴，D錯誤．故選：BC．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上）13._______．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)和指數(shù)的運算性質(zhì)計算即可.【詳解】.故答案為：.14.已知函數(shù)對任意、，都有，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件任意、，都有，得到函數(shù)是增函數(shù)，根據(jù)分段函數(shù)在定義域上單調(diào)增的條件，列出相應(yīng)的式子，求得結(jié)果.【詳解】函數(shù)對任意、，都有，所以函數(shù)是增函數(shù)，可得，解得，故答案為：.【點睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題，涉及到的知識點有根據(jù)分段函數(shù)在定義域上單調(diào)增求參數(shù)的取值范圍，屬于簡單題目.15.已知t是實數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上恰好有1個零點，則t的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)是否為零，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和零點的定義進行求解即可.【詳解】當時，，不符合題意；當時，因為函數(shù)在區(qū)間上恰好有1個零點，所以在上有唯一實根，（1）；（2），當時，，或，顯然符合題意；當時，，或，在區(qū)間上恰好有2個零點，顯然不符合題意綜上所述：t的取值范圍是.故答案為：16.定義：關(guān)于x的兩個不等式和的解集分別為和，則稱這兩個不等式為對偶不等式.如果不等式與不等式為對偶不等式，且，則______.【答案】【解析】【分析】先設(shè)出兩個不等式對應(yīng)的一元二次方程的兩個根，根據(jù)韋達定理得到三角關(guān)系式，再利用同角三角關(guān)系及特殊角正切值解得即可.【詳解】因為不等式與不等式為對偶不等式，設(shè)不等式的對應(yīng)方程兩個根為a、b，則不等式對應(yīng)方程兩個根為：、，所以，，，故即：.因為，，所以所以.故答案為：.【點睛】本題考查了新定義，考查了一元二次不等式與對應(yīng)的一元二次方程的根之間的關(guān)系及韋達定理，以及同角三角關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.（1）已知，求的值；（2）已知（），求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由得，代入原式，化簡即可得結(jié)果；（2）由，得，平方后可求的值，再求，然后判斷符號即可得答案.【詳解】（1）由得，所以，.（2）由，得①，將①兩邊平方得，故，所以.又，所以，，，則.【點睛】方法點睛：對誘導(dǎo)公式的記憶不但要正確理解“奇變偶不變，符號看象限”的含義，同時還要加強記憶幾組常見的誘導(dǎo)公式，以便提高做題速度.18.已知：變量滿足不等式.（1）求變量的取值范圍；（2）在(1)的條件下，求函數(shù)的最大值和最小值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】(1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解；(2)將看成整體，采用換元法即可求函數(shù)的最值.【小問1詳解】，解得，∴的取值范圍為.【小問2詳解】令，，則，.∴當，即，時，，當，即，時，.19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取得最值時的值．【答案】（1）；（2）最小值，；最大值1，【解析】【分析】（1）將化為，根據(jù)最小正周期公式即可求得最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得單調(diào)遞減區(qū)間；（2）根據(jù)x的范圍，確定的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.【小問1詳解】由于，故的最小正周期為；令，即，故的單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】因為，所以，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又，故當，即時，取到最大值；當，即時，取到最小值.20.已知函數(shù)f(x)＝log2.（1）若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，求a的值；（2）若函數(shù)f(x)的定義域是一切實數(shù)，求a的取值范圍；（3）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值與最小值的差不小于2，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）a＝0；（2）a≥0；（3）－<a≤－.【解析】【分析】（1）由解得，然后檢驗函數(shù)是奇函數(shù)即可；（2）由真數(shù)恒大于0即恒成立可得；（3）由函數(shù)單調(diào)性得，解之可得．【詳解】（1）若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0，解得a＝0.當a＝0時，f(x)＝－x＝－f(－x)是R上的奇函數(shù)，所以a＝0為所求．（2）若函數(shù)f(x)的定義域是一切實數(shù)，則＋a>0恒成立，即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，故只要a≥0即可．（3）由已知，得函數(shù)f(x)是減函數(shù)，故f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f（1）＝log2.由題設(shè)，得log2(1＋a)－log2≥2?，解得－<a≤－.【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，掌握對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的研究方法是解題關(guān)鍵．21.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量（單位：千克）與施用肥料（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費）元．已知這種水果的市場售價大約為15元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求．記該水果樹的單株利潤為（單位：元）．（1）求的函數(shù)關(guān)系式；（2）當施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？【答