專題01勾股定理中的五類最短路徑模型模型一：圓柱中的最短路徑模型模型二：長(zhǎng)方體中的最短路徑模型模型三：階梯中的最短路徑模型模型四：將軍飲馬與空間最短路徑模型模型五：幾何構(gòu)圖法解代數(shù)最值模型模型一：圓柱中的最短路徑模型1．（24-25八年級(jí)上·江蘇·期中）“江南水鄉(xiāng)琉璃瓦，白墻墨瓦凌霄開(kāi)．”凌霄在蘇州園林綠化中隨處可見(jiàn)．如圖，凌霄枝蔓繞著附近的樹(shù)干沿最短路線盤旋而上，如果把樹(shù)干看成圓柱體，它的底面周長(zhǎng)是，當(dāng)一段枝蔓繞樹(shù)干盤旋1圈升高時(shí)，這段枝蔓的長(zhǎng)是．

2．（24-25八年級(jí)下·廣東廣州·期中）如圖，圓柱的高厘米，底面周長(zhǎng)厘米，在圓柱下底面的點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面點(diǎn)處的食物，則螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是（

）

A． B． C． D．3．（24-25八年級(jí)下·廣西北?！て谥校┤鐖D，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到的中點(diǎn)，若，點(diǎn)P移動(dòng)的最短距離為，則圓柱的底面周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4．（24-25八年級(jí)上·江蘇·?？计谀┤鐖D，這是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的型池，該型池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為的半圓，其邊緣，點(diǎn)在上，，一滑板愛(ài)好者從點(diǎn)滑到點(diǎn)，則他滑行的最短距離約為m．（邊緣部分的厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留整數(shù)）（

）A．18 B．20 C．22 D．245．（24-25八年級(jí)下·山東臨沂·期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)中有這樣一道數(shù)學(xué)題：如圖，有一棵枯樹(shù)直立在地上，樹(shù)高12尺，粗3尺，有一根藤條從樹(shù)根纏繞而上，纏繞3周到達(dá)樹(shù)頂，則這根藤條的長(zhǎng)度是尺（注：枯樹(shù)可以看成圓柱；樹(shù)粗3尺，指的是底面圓周長(zhǎng)為3尺）模型二：長(zhǎng)方體中的最短路徑模型6．（24-25八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）如圖是一塊長(zhǎng)、寬、高分別是的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要從長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處，沿著長(zhǎng)方體的表面爬到長(zhǎng)方體上和A相對(duì)的頂點(diǎn)B處吃食物，那么它需要爬行的最短路線的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．7．（24-25八年級(jí)下·云南昆明·期中）如圖，教室墻面與地面垂直，點(diǎn)P在墻面上，若米，米，點(diǎn)到的距離是米，一只螞蟻要從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它的最短行程是（

）米A． B． C．5 D．8．（24-25八年級(jí)下·廣西柳州·期中）如圖，正方體盒子的棱長(zhǎng)為2，的中點(diǎn)為M，一只螞蟻從M點(diǎn)沿正方體的表面爬到點(diǎn)，螞蟻爬行的最短距離是（

）A． B．3 C．5 D．2＋9．（24-25八年級(jí)上·江蘇淮安·階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)的正方形，高為．如果從點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞2圈到達(dá)，那么所用細(xì)線最短需要．10．（24-25八年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）十九世紀(jì)英國(guó)赫赫有名的謎題創(chuàng)作者在1903年的英國(guó)報(bào)紙上發(fā)表的“螞蟻爬行”的問(wèn)題．問(wèn)題是：如圖1，在一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為的長(zhǎng)方體房間內(nèi)，一只螞蟻在右面墻的高度一半位置（即M點(diǎn)處），并且距離前面墻，蒼蠅正好在左面墻高度一半的位置（即N點(diǎn)處），并且距離后面墻，螞蟻爬到蒼蠅處應(yīng)該怎樣爬行所走路程最短，最短路程是多少m？這只螞蟻在長(zhǎng)方體表面爬行的問(wèn)題，引起了當(dāng)時(shí)很多數(shù)學(xué)愛(ài)好者的研究與討論，今天我們也一起來(lái)研究一下這個(gè)當(dāng)時(shí)非常熱門的數(shù)學(xué)問(wèn)題！【基礎(chǔ)研究】如圖2，在長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c的長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)A處有一只螞蟻，欲從長(zhǎng)方體表面爬行去另一個(gè)頂點(diǎn)處吃食物，探究哪種爬行路徑是最短的？(1)觀察發(fā)現(xiàn)：螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，為了走出最短路線，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)，并結(jié)合展開(kāi)與折疊原理，一共有3種不同的爬行路線，即圖3、圖4、圖5所示.填空：圖5是由______面與______面展開(kāi)得到的平面圖形；（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”）(2)推理驗(yàn)證：如圖3，由勾股定理得，，如圖4，由勾股定理得，，如圖5，．要使得的值最小，∵……（請(qǐng)補(bǔ)全推理過(guò)程）∴∴選擇如圖______情況，此時(shí)的值最小，則的值最小，即這種爬行路徑是最短的．(3)【簡(jiǎn)單應(yīng)用】如圖6，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，一只螞蟻要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P，則爬行的最短路程長(zhǎng)為_(kāi)_____cm．(4)【問(wèn)題回歸】最后讓我們?cè)倩氐侥堑朗攀兰o(jì)英國(guó)報(bào)紙上發(fā)表的“螞蟻爬行”的問(wèn)題（如圖1），那只螞蟻所走的最短路程是______m．模型三：階梯中的最短路徑模型11．（24-25八年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）如圖是一個(gè)臺(tái)階示意圖，每一層臺(tái)階的高都是，寬都是，一只螞蟻沿臺(tái)階從點(diǎn)A出發(fā)到點(diǎn)B，其爬行的最短線路的長(zhǎng)度是（

）

A． B． C． D．12．（24-25八年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）在一個(gè)長(zhǎng)12米，寬為8米的長(zhǎng)方形草地上，如圖堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長(zhǎng)平行且大于場(chǎng)地寬，木塊的主視圖是邊長(zhǎng)3米的等邊三角形，一只螞蟻從點(diǎn)A處到C處需要走的最短路程是米．13．（24-25八年級(jí)上·江蘇淮安·期中）如圖，在一個(gè)長(zhǎng)方形草坪上，放著一根長(zhǎng)方體的木塊，已知米，米，該木塊的較長(zhǎng)邊與平行，橫截面是邊長(zhǎng)為1米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A爬過(guò)木塊到達(dá)C處需要走的最短路程是（

）A．19米 B．米 C．15米 D．米14．（2024·江蘇南京·二模）如圖，用3個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體搭成一個(gè)幾何體，沿著該幾何體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)B的所有路徑中，最短路徑的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．15．（24-25·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，其中，，為上靠近的三等分點(diǎn)，在大長(zhǎng)方體盒子上有一個(gè)小長(zhǎng)方體盒子，，，，一只螞蟻要沿著長(zhǎng)方體盒子的表面從點(diǎn)爬行到點(diǎn)，它爬行的最短路程為．

16．（24-25七年級(jí)上·福建寧德·期中）在一個(gè)長(zhǎng)為、寬為、高為的長(zhǎng)方體上，居中截去一個(gè)長(zhǎng)為、寬為、深為的長(zhǎng)方體后，得到一個(gè)如圖所示的幾何體．一只螞蟻要從該幾何體的頂點(diǎn)處，沿著幾何體的表面到幾何體上和相對(duì)的頂點(diǎn)處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．模型四：將軍飲馬與空間最短路徑模型17．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為_(kāi)__________．（杯壁厚度不計(jì)）

18．（24-25八年級(jí)上·遼寧遼陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的U型池，該U型池可以看成是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行的部分的截面是半徑為的半圓，其邊緣．小明要在AB上選取一點(diǎn)E，能夠使他從點(diǎn)D滑到點(diǎn)E再滑到點(diǎn)C的滑行距離最短，則他滑行的最短距離約為（取3）．19.（24-25八年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期中）如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體透明玻璃魚(yú)缸，其中長(zhǎng)，寬，高，水深，在魚(yú)缸內(nèi)水面上緊貼內(nèi)壁處有一魚(yú)餌，在水面線上，且．一只小蟲(chóng)想從魚(yú)缸外的點(diǎn)沿魚(yú)缸壁爬進(jìn)魚(yú)缸內(nèi)壁處吃魚(yú)餌，小蟲(chóng)爬行的最短路線長(zhǎng)為．20.（2024·陜西·八年級(jí)期中）有一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方體透明玻璃水缸，高，水深，在水面線上緊貼內(nèi)壁處有一粒食物，且，一只小蟲(chóng)想從水缸外的處沿水缸壁爬到水缸內(nèi)的處吃掉食物．（1）你認(rèn)為小蟲(chóng)應(yīng)該沿怎樣的路線爬行才能使爬行的路線最短，請(qǐng)你畫(huà)出它爬行的最短路線，并用箭頭標(biāo)注．（2）求小蟲(chóng)爬行的最短路線長(zhǎng)（不計(jì)缸壁厚度）．21．（24-25·浙江·八年級(jí)月考）如圖，開(kāi)口玻璃罐長(zhǎng)、寬、高分別為16、6和6，在罐內(nèi)點(diǎn)E處有一小塊餅干碎末，此時(shí)一只螞蟻正好在罐外長(zhǎng)方形的中心H處，螞蟻到達(dá)餅干的最短距離是多少（）A． B． C． D．1722．（24-25八年級(jí)下·河北邢臺(tái)·期末）如圖，在學(xué)校工地的一根空心鋼管外表面距離左側(cè)管口的點(diǎn)處有一只小蜘蛛，它要爬行到鋼管內(nèi)表面距離右側(cè)管口的點(diǎn)處覓食，已知鋼管橫截面的周長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，則小蜘蛛需要爬行的最短距離是（

）

A． B． C． D．23．（24-25八年級(jí)下·山東聊城·期中）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師提出如下問(wèn)題：一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20、3、2，A和B是一個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)．【探究實(shí)踐】老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到B點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺(tái)階爬到B點(diǎn)的最短路程是多少？（1）同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考得到如下解題方法：如圖②，將三級(jí)臺(tái)階展開(kāi)成平面圖形，可得到長(zhǎng)為20，寬為15的長(zhǎng)方形，連接，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到長(zhǎng)度為_(kāi)_____，就是最短路程．【變式探究】（2）如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長(zhǎng)是30cm，高是8cm，若螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)B，則螞蟻爬行的最短距離為_(kāi)_____．【拓展應(yīng)用】（3）如圖④，圓柱形玻璃杯的高9cm，底面周長(zhǎng)為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不計(jì)）模型五：幾何構(gòu)圖法解代數(shù)最值模型24．（24-25八年級(jí)上·湖南永州·階段練習(xí)）代數(shù)式最小值為（

）A．4 B．5 C． D．25．（2025·吉林·一模）吉林市某中學(xué)開(kāi)展師生角色互換活動(dòng)，學(xué)生考老師是該活動(dòng)的主題之一．美婷同學(xué)考老師的問(wèn)題是：若，，，則的最小值是多少？張新老師運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，畫(huà)如下草圖．大偉老師運(yùn)用代數(shù)推理法，代入閔可夫斯基不等式：（取等條件…）董婷老師應(yīng)用拉格朗日數(shù)乘法…王浩老師應(yīng)用柯西不等式……老師們通過(guò)不同方法解出正確答案，有的老師用的方法，學(xué)生現(xiàn)階段可以理解．有的老師用的方法，學(xué)生需要步入更高學(xué)府，學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)知識(shí)后才能理解．通過(guò)這次主題活動(dòng)，同學(xué)們感受到了數(shù)學(xué)的魅力，對(duì)今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)充滿了興趣和渴望．請(qǐng)問(wèn)美婷同學(xué)考老師的問(wèn)題的正確答案是．26．（24-25八年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）已知，從勾股定理的學(xué)習(xí)中可以將該式看成直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)度分別為、，計(jì)算結(jié)果為斜邊長(zhǎng)度，同理計(jì)算可以看成直角邊長(zhǎng)度分別為、，結(jié)果為斜邊長(zhǎng)度，利用此原理并結(jié)合圖形解決問(wèn)題：已知，計(jì)算的最小值為．27．（23-24八年級(jí)下·重慶九龍坡·開(kāi)學(xué)考試）數(shù)形結(jié)合思想是一種數(shù)學(xué)思想方法．?dāng)?shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老，也是最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化——可以借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間某種關(guān)系．(1)勾股定理的證明方法有很多種，如圖1是“總統(tǒng)法”（半弦圖）——將兩個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)直角梯形．請(qǐng)用兩種不同的方法表示出梯形的面積，從而證明出勾股定理；(2)若線段上有一點(diǎn)C，，，，求的最小值．28．（24-25八年級(jí)上·四川內(nèi)江·期末）（1）課堂上，老師提問(wèn)：